đều
Bài 1 : Tính tổng sau một cách hợp lí
S = 1 + 2 + 3+ 4 + 5 + ....+ 23 + 24 + 25 Ph©n tÝch :
Dãy số 1 ; 2 ; 3 ;4 ....; 23 ; 24 ; 25 là dãy số cách đều có khoảng cách là 1
Tính tổng S chính là tính tổng các số hạng của dãy số cách đều
Ta nhËn thÊy : 25 + 1 = 24 + 2 = 23 + 3 = ....= 26
Mà tổng S có 25 số hạng nên số hạng chính giữa là 13 ( 26 : 2 ) sẽ thừa không cộng với số nào . Còn 24 số hạng còn lại sẽ tạo thành 12 cặp , mỗi cặp có tổng là 26
Nh vậy tổng S = 26x 12 + 13 = 26 x 25 : 2 Bài giải ( Cách 1)
Tổng trên có 25 số hạng nên có : 25 : 2 = 12 ( cặp ) d 1 số Ta cã :
S = 1 + 2 + 3 +4 + .... + 24 + 25
S = ( 1 + 25 ) + ( 2 + 24 ) + ( 3 + 23 ) + ....+ ( 12 + 14 ) + 13
12 cặp
S = 26 + 26 + .... + 26 + 13 12 sè
S = 26 x 12 + 13 S = 312 + 13 S = 325
Tơng tự ta cũng có thể có cách nhóm các số hạng của dãy số cách đều thành 12 cặp mà mỗi cặp có tổng bằng nhau nh thế nào ?
( 2 + 25 = 3 + 24 = ... = 13 + 14 ) do đó ta có cách giải sau :
Bài giải ( Cách 2 )
Tổng trên có 25 số hạng nên ta có : 25 : 2 = 12 ( cặp ) d 1 sè
Ta cã :
S = 1 + 2 + 3 +4 + .... + 24 + 25
S = ( 2 + 25 ) + ( 3 + 24 ) + ( 4 + 23 ) + ....+ ( 13 + 14 ) + 1
12 cặp S = 27 + 27 + .... + 27 + 1
12 sè S = 27 x 12 + 1 S = 325
Dãy số có 25 số hạng nên có 12 cặp d 1 số . Vậy ta cần thêm số nào vào để có đủ 13 cặp mà tổng S vẫn không thay
đổi ? ( Thêm số 0 )
Do đó ta có cách giải thứ 3 nh sau : Bài giải ( Cách 3 )
Vì tổng trên có 25 số hạng nên nếu thêm 1 số 0 vào tổng
đó thì ta đợc 26 số hạng mà tổng vẫn không đổi Khi đó ta sẽ có 13 cặp
S = 0 + 1 + 2 + 3 +4 + .... + 24 + 25
S = ( 0 + 25 ) + ( 1 + 24 ) + ( 2 + 23 ) + ....+ ( 12 + 13 )
13 cặp S = 25 + 25 + .... + 25
13 sè S = 25 x 13 S = 325
Ngoài ra ta cũng có thể viết lại tổng S nh sau :
S = 25 + 24 + 23 + ....+ 3 + 2 + 1 rồi cộng vế với vế của 2 tổng S . Từ đó ta tìm ra kết quả
Bài giải ( Cách 4) Ta cã :
S = 1 + 2 + 3 +4 + .... + 24 + 25 S = 25 + 24 + 23 + ....+ 3 + 2 + 1 Cộng vế với vế ta đợc :
S x 2 = ( 1 + 25 ) + ( 2 + 24 ) + .... + ( 24 + 2 ) + ( 25 + 1 )
S x 2 = 26 + 26 + .... + 26 + 26 25 sè
S x 2 = 26 x 25 S x 2 = 650 S = 650 : 2 S = 325
Từ các cách làm trên đặc biệt là cách 1 ta rút ra đợc công thức :
Tổng các số hạng = ( số lớn nhất + số bé nhất ) x số các số hạng : 2
Do đó ta có cách 5 nh sau :
Bài giải ( cách 5 ) Số các số hạng của dãy số là :
( 25 - 1 ) : 1 + 1 = 25 ( số hạng ) Tổng các số hạng của dãy là :
S = ( 25 + 1 ) x 25 : 2 = 26 x 25 : 2 = 325
Nh vậy để tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ta làm nh sau :
Bớc 1 : Tìm số các số hạng của dãy ( dạng 1 )
Số các số hạng = ( số lớn nhất – số bé nhất ) : khoảng cách + 1
Bớc 2 : Tính tổng các số hạng của dãy theo công thức Tổng = ( số lớn nhất - số bé nhất ) x số các số hạng : 2
Để minh hoạ cho phơng pháp trên tôi đa ra 1 số bài tập nh sau :
Bài tập áp dụng
Bài 1 . Cho dãy số : 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; ....; 97 ; 100 Hãy tính tổng các số hạng của dãy số trên
Phân tích : Bài toán cho biết gì ? ( Cho dãy số : 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; ....; 97 ; 100 )
Nhận xét về dãy số bài ra ( dãy số cách đều )
Bài yêu cầu tìm gì ? (Hãy tính tổng các số hạng của dãy số trên)
Muốn tính tổng các số hạng của dãy số trên nghĩa là cần tính tổng của dãy số cách đều .
Bài giải Bớc 1 :Tìm số các số hạng của dãy
Quy luật : Hai số tự nhiên liền nhau của dãy hơn ( kém ) nhau 3 đơn vị
Số các số hạng của dãy là : ( 100 - 1 ) : 3 + 1 = 34 ( sè )
Bớc 2 : Tính tổng các số hạng của dãy theo công thức Tổng các số hạng của dãy là :
( 100 + 1 ) x 34 : 2 = 1717
VËy 1 + 4 + 7 + ....+ 97 + 100 = 1717
Tơng tự nh phần bài tập minh hoạ ngoài cách làm trên ta còn có nhiều cách làm khác nhng ở phần này tôi xin đề cập trọng tâm tới cách làm theo phơng pháp trên
Bài 2 Cho dãy số : 0 ; 5 ; 10 ....; 245 ; 250 Tính tổng các số hạng của dãy
ở bài tập này tôi yêu cầu học sinh tự làm . Sau đó GV - HS nhận xét và chỉnh sửa . Tôi đã chấmvà nhận thấy các em đều rất hiểu bài
Bài giải B ớc 1 : Tìm số các số hạng của dãy
Quy luật : Hai số tự nhiên liền nhau của dãy hơn ( kém ) nhau 5 đơn vị
Số các số hạng của dãy là :
( 250 - 0 ) : 5 + 1 = 51 ( số hạng )
B ớc 2 : Tính tổng các số hạng của dãy theo công thức Tổng các số hạng của dãy
( 250 + 0 ) x 51 : 2 = 6375
VËy 0 + 5 + 10 + .... + 245 + 250 = 6375 Bài 3 Tính tổng của :
a, 20 số chẵn liên tiếp từ 2 trở đi
b, 20 số hạng của dãy : 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; ....
Phân tích : ở Bài này ta cha biết các số hạng cụ thể của dãy số cần tính
a, Dãy số tự nhiên chẵn cách đều này gồm 20 số hạng trong
đó số hạng bé nhất là 2 . Từ đó ta tìm đợc số hạng thứ 20 ( là số hạng lớn nhất của dãy )
áp dụng công thức :
Tổng các số hạng = ( số lớn nhất + số bé nhất ) x số các số hạng : 2
Từ đó ta sẽ tìm đợc kết quả
Tơng tự đối với câu b
Bài giải
a, Gọi số hạng thứ 20 của dãy số tụ nhiên chẵn liên tiếp kể từ 2 là x , ta có :
( x - 2 ) : 2 + 1 = 20
( x - 2 ) : 2 = 19 - 2 = 19 x 2 x - 2 = 38
x = 40
Vậy 20 số tự nhiên chẵn liên tiếp kể từ 2 là : 2 ; 4 ; 6 ; 8; ....; 38 ; 40
Tổng của 20 số chẵn liên tiếp kể từ 2 là : ( 40 + 2) x 20 : 2 = 420
VËy 2 + 4 + 6 + .. + 38 + 40 = 420
b , Gọi số hạng thứ 20 của dãy số 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; .... là y Ta cã :
( y - 1 ) : 3 + 1 = 20 ( y - 1 ) : 3 = 19
y - 1 = 19 x 3 y - 1 = 57 y = 58
Tổng 20 số hạng của dãy số nghĩa là :
1 + 4 + 7 + .... + 55 + 58 = ( 58 + 1 ) x 20 : 2 = 590
Từ đó tôi đa ra bài tập về nhà nhằm củng cố kiến thức cho các em nh sau
Bài 4 Tính nhanh tổng sau : a, 1 + 2+ 3 + .... + 12
b , 1+ 5 + 9 + .... + 25
c , Tính tổng tất cả các số lẻ liên tiếp từ 11 đến 99
Đáp án :
a , Tổng = ( 12 + 1 ) x 12 : 2 = 78
b ,Số các số hạng = ( 25 + 1 ) : 4 + 1 = 7 ( số ) Tổng = ( 25 + 1 ) x 7 : 2 = 91
c , Số các số hạng = ( 99 - 11 ) : 2 + 1 = 45 ( số ) Tổng = ( 99 + 11 ) x 45 : 2 = 2475
Bài tập nâng cao Bài 1 : Cho biểu thức :
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ....+ 99 - 100 + 101
Trong đó lần lợt cứ 1 phép trừ lại đến một phép cộng . Hãy tính giá trị của biểu thức đó một cách hợp lí
Phân tích : ở bài tập này đối với học sinh tiểu học thì
không thể thực hiện từ trái sang phải ( vì với các em 1 không trừ đợc 2 )
Ta nhận thấy dãy số 1 ; 3 ;’ 5; 7 ....101 có tổng chính là số bị trừ
Dãy số 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; .. 100 có tổng chính là số trừ. Mà 2 dãy số này là 2 dãy số cách đều . Do đó ta có thể tính tổng 1 cách dễ dàng :
Bài giải ( Cách 1) Ta cã :
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ....+ 99 - 100 + 101
= ( 1 + 3+ 5+ .. + 99 + 101 ) - ( 2+ 4+ 6 + .. + 98 + 100 ) * Tính số bị trừ : 1 + 3+ 5+ .. + 99 + 101
Dãy số 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; .... 99 ; 101 có :
Quy luật : 2 số tự nhiên đứng liền nhau của dãy hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị
Số các số hạng của dãy là : ( 101 - 1 ) : 2 + 1 = 51 ( số ) Tổng : 1 + 3+ 5+ .. + 99 + 101 = ( 101 + 1 ) x 51 : 2
= 2601
* TÝnh sè trõ :
Dãy số 2 ; 4 ; 6; 8; .. 98 ; 100 có :
Quy luật : 2 số tự nhiên đứng liền nhau của dãy hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị
Số các số hạng của dãy là : ( 100 -2 ) : 2 + 1 = 50 ( số )
Tổng : 2+ 4+ 6 + .. + 98 + 100 = ( 100 + 2 ) x 50 : 2 = 2550
Vậy biểu thức trên có giá trị là : 2601 - 2550 = 51
Ngoài ra ta còn có cách giải khác . Tôi hớng dẫn học sinh bằng các câu hỏi nh sau :
Biểu thức trên gồm bao nhiêu số ? ( 101 số )
Có thể lập đợc bao nhiêu hiệu có kết quả bằng 1 ? ( 50 hiệu đó là : 101 - 100 = 99 - 98 = ... = 3- 2 ) Từ đó ta cũng dễ dàng tính đợc kết quả
Bài giải ( Cách 2 )
Biểu thức đã cho gồm 101 số nên từ 2 đến 101 có 50 cặp và 1 số
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ....+ 99 -100 + 101
= ( 101 - 100 ) + ( 99 - 98 ) + .... + ( 3 - 2 ) + 1
50 hiệu
= 1 + 1 + .... + 1 + 1
50 sè 1
= 1 x 50 + 1
= 50 + 1 = 51
Bài giải ( Cách 3 )
Biểu thức có 101 số nên có 50 cặp và 1 số , ta có : 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ....+ 99 - 100 + 101
= 1 + ( 3 - 2 ) + ( 5 - 4 ) + .... + ( 99 - 98 ) + ( 101 - 100 )
50 hiệu
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 50 sè 1
= 1 x 51
= 51
Trong biểu thức đã cho , khi thay phép trừ bằng phép cộng thì ta đợc tổng mới nào ? ( A = 1 + 2+ 3+ 4 + .... + 100 + 101 )
Khi đó muốn tính tổng ban đầu ta làm thế nào ? ( tính tổng A trừ đi số giảm )
Từ đó ta có bài giải nh sau :
Bài giải ( Cách 4)
Thay phép thừ bằng phép cộng thì đây chính là tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 101 nên kết quả sẽ là :
A = 1 + 2+ 3+ 4 + .... + 100 + 101 A = ( 1 + 101 ) x 101 : 2
A = 5151
Mỗi lần thay dấu cộng bằng dấu trừ đối với số nào thì
tổng giảm đi 2 lần số đó . Có 50 số phải thay dấu cộng bằng dấu trừ nên tổng A giảm đi là :
2 x ( 2 + 4 + 6+ .. + 98 + 100 ) = 2 x ( 2 + 100 ) x 50 : 2 = 2 x 2550 = 5100
Vậy giá trị của biểu thức ban đầu là : 5154 - 5100 = 51
Ta cũng có thể sử dụng trung bình cộng các số hạng để giải bài tập này nh sau :
Bài giải ( Cách 5 ) Ta cã :
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ....+ 99 - 100 + 101
= ( 1 + 3+ 5+ .. + 99 + 101 ) - ( 2+ 4+ 6 + .. + 98 + 100 ) * Tính số bị trừ : 1 + 3+ 5+ .. + 99 + 101 ( gồm 51 số hạng )
Trung bình cộng của 51 số hạng đó là : ( 1 + 101 ) : 2 = 51
Kết quả tổng là : 51 x 51 = 2601
* TÝnh sè trõ : 2+ 4+ 6 + .. + 98 + 100 Trung bình cộng của 50 số hạng đó là : ( 100 + 2 ) : 2 = 51
Kết quả của tổng đó là : 51 x 50 = 2550
Gía trị của biểu thức trên là :
2601 - 2550 = 51
Sau khi giải bài tập trên , tôi yêu cầu học sinh tự làm bài tập sau :
Bài 2 Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí : 1 - 6 + 11 - 16 + 21 - 26 + ... + 91 - 96 + 101
Cách giải tơng tự bài tập 1
Đáp án :
1 - 6 + 11 - 16 + 21 - 26 + ... + 91 - 96 + 101
= ( 1+ 11+ 21 + 31 + ....+ 91 + 101 ) - ( 6 +16 + 26 + 36 + .... + 86 + 96 )
= ( 101 + 1 ) x 11 :2 - ( 96 + 6 ) x 10 : 2
= 561 - 510
= 51
Bài 3 Hãy tính giá trị của x trong dãy tính sau :
(x + 1 ) + ( x + 4 ) + ( x + 7 ) + ...+ ( x + 28 ) = 155 Phân tích : GV vừa chỉ vừa hỏi học sinh ;
Em có nhận xét gì về dãy số : 1 ; 4 ; 7 ; ...; 25; 28 ?(Đây là dãy số cách đều)
Trong dãy tính trên có bao nhiêu số hạng x ?
( 10 số hạng x vì dãy số 1 ; 4 ; 7; ...; 25 ; 28 có ( 28 - 1 ) : 3 + 1 = 10 ( sè )
Vậy ta có thể viết gọn và tính dãy tính trên nh thế nào ? (x + 1 ) + ( x + 4 ) + ( x + 7 ) + ...+ ( x + 28 ) = 155 X x 10 + ( 1 + 4 + 7 + ... + 25 + 28 ) = 155
X x 10 + ( 28 + 1 ) x 10 : 2 = 155 X x 10 + 145 = 155
X x 10 = 10 X = 1
Bài giải Dãy số 1 ; 4 ; 7; ....; 25 ; 28 có :
Quy luật : 2 số liền nhau hơn ( kém) nhau 3 đơn vị Số các số hạng của dãy trên là :
( 28 - 1 ) : 3 + 1 = 10 ( sè )
Do đó tổng (x + 1 ) + ( x + 4 ) + ( x + 7 ) + ...+ ( x + 28 ) có 10 số hạng x và có thể viết lại nh sau :
(x + 1 ) + ( x + 4 ) + ( x + 7 ) + ...+ ( x + 28 ) = 155 X x 10 + ( 1 + 4 + 7 + ... + 25 + 28 ) = 155
X x 10 + ( 28 + 1 ) x 10 : 2 = 155 X x 10 + 145 = 155
X x 10 = 10 X = 1
Vậy x = 1 thoả mãn yêu cầu bài ra
Nh vậy ta cũng có thể sử dụng tổng các số hạng của dãy số cách đều , tính số các số hạng trong bài tập tìm x
Bài 4 Có thể tìm số tự nhiên n để :
1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = 9999 hay không ? Ph©n tÝch :
Em có nhận xét gì về các số hạng bài ra ở vế trái biểu thức trên ?
( các số hạng bài ra tạo thành dãy số cách đều )
Vậy để tính vế trái của biểu thức trên nghĩa là tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ta . Do đó ta có thể áp dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều để tìm ra kết quả
Bài giải Ta cã :
1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = 9999 ( 1 + n ) x n : 2 = 9999
( 1 + n ) x n = 19998
n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp mà tích của 2 số tự nhiên liên tiếp không bao giờ tận cùng là 8 nên không thể tìm
đợc n .
Tóm lại : Để làm tốt dạng bài này , HS cần có kĩ năng nhận diện bài toán tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ở
mức độ đơn giản nh bài tập 1 phần bài tập áp dụng và ở mức
độ nâng cao một chút nh các bài tập ở phần nâng cao GV nhắc học sinh ghi nhớ công thức :
Tổng = ( số bé nhất + số lớn nhất ) x số số hạng : 2 . Từ đó làm công cụ khi giải bài tập .