Bài 1 : Tìm trung bình cộng của : a, Tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 9 b , Tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 99
Phân tích : Muốn tìm trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 9 thì ta phải làm nh thế nào ? ( Lấy tổng các số tự nhiên từ 1 đến 9 rồi chia cho số các số hạng )
Các số tự nhiên từ 1 đến 9 có bao nhiêu số ? ( 9 số )
Em hãy tính tổng các số tự nhiên từ 1 đến 9 ? ( Đây là tổng của một dãy số cách đều nên :
Tổng = ( số bé nhất + số lớn nhất ) x số số hạng : 2 = ( 1 + 9 ) x 9 : 2
= 45
Từ đó các em có thể tìm trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 9
Tơng tự đối với ý b
Bài giải a , Từ 1 đến 9 có số các số hạng là : ( 9 - 1 ) : 1 + 1 = 9 ( sè )
1 + 2 + 3+ ... + 8 + 9 = ( 1+ 9 ) x 9 : 2 = 45
Vậy trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 9 là :
(1 + 2 + 3+ ... + 8 + 9 ) : 9 = 45 : 9 = 5 b , Từ 1 đến 99 có số các số hạng là : ( 99 - 1 ) : 1 + 1 = 99 ( sè )
1 + 2 + 3+ ... + 98 + 99 = ( 1+ 99 ) x 99 : 2 = 4950
Vậy trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 9 là :
(1 + 2 + 3+ ... + 98 + 99 ) : 99 = 4950 : 99 = 50
Từ bài tập trên tôi khắc sâu kiến thức cho các em bằng cách giúp các em đa ra phơng pháp tìm trung bình cộng của một dãy số cách đều nh sau :
Bớc 1 : Tìm số các số hạng của dãy
Số các số hạng = ( số lớn nhất - số bé nhất ) : khoảng cách + 1
Bớc 2 : Tính tổng các số hạng của dãy số cách đều Tổng = ( số bé nhất + số lớn nhất ) x số các số hạng : 2
Bớc 3 : Tìm trung bình cộng của các số Trung bình cộng = Tổng : số các số hạng
Từ đó tôi yêu cầu học sinh làm bài tập sau theo các bớc làm tôi vừa trình bày
Bài 2 : Tìm số trung bình cộng của tất cả các số cách
đều nhau 4 đơn vị :
3 ; 7 ; 11 ; ... 95 ; 99 ; 103
Phân tích : Dãy số 3 ; 7 ; 11 ; ... ; 95 ; 99 ; 103 là dãy số cách đều nên bài toán thuộc dạng tìm trung bình cộng của 1 dãy các số cách đều . Từ phơng pháp trên học sinh sẽ dễ dàng tìm ra đợc bài giải đúng nh sau :
Bài giải Bớc 1 : Tìm số các số hạng của dãy
Dãy số 3 ; 7 ; 11; ... ; 95 ; 99 ; 103 có tất cả số các số hạng là :
( 103 - 3 ) : 4 + 1 = 26 ( sè )
Bớc 2 : Tính tổng các số hạng của dãy số cách đều
3 + 7 + 11 + ...+ 95 + 99 + 103 = ( 103 + 3 ) x 26 : 2 = 1378
Bíc 3 : T×m trung b×nh céng
Trung bình cộng của tất cả các số cách đều nhau 4 đơn vị 3 ; 7 ; 11 ; ...; 95 ; 99; 103 là :
( 3 + 7 + 11 + ...+ 95 + 99 + 103 ) : 26 = 1378 : 26 = 53 Nh vậy , từ 2 bài tập trên tôi giúp học sinh đa ra nhận xét sau :
+ Trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 9 là 5
mà 5 = ( 1+ 9 ) : 2 nghĩa là TBC = ( Số bé nhất + Số lớn nhÊt ) : 2
+ Trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 99 là 50
mà 50 = ( 1 + 99 ) : 2 nghĩa là TBC = ( Số bé nhất + Số lín nhÊt ) : 2
+ Trung bình cộng của các số 3 ; 7 ; 11; ... ; 99 ; 103 là 53 mà 53 = ( 103 + 3 ) : 2 nghĩa là : TBC = ( Số bé nhất + Số lín nhÊt ) : 2
Do đó ta có nhận xét : Trung bình cộng của một dãy số cách đều nhau thì bằng trung bình cộng của 2 số cách
đều 2 đầu dãy số . Nếu số các số hạng của dãy số là số lẻ thì trung bình cộng của chúng là ở chính giữa
Bài 3 . Tìm 4 số chẵn liên tiếp biết trung bình cộng của 4 số ấy là 9
Phân tích : Bài toán 1 và bài 2 cho biết các số trong dãy số cách đều yêu cầu tìm trung bình cộng , còn bài tập 3 cho biết trung bình cộng yêu cầu tìm các số hạng trong dãy số cách đều . Do đó ta có thể coi đây là bài toán ngợc với bài toán 2
Bài toán cho biết gì ? ( biết trung bình cộng của 4 số tự nhiên chẵn liên tiếp là 9 )
Khi biết trung bình cộng của 4 số chẵn liên tiếp là 9 ta sẽ tính đợc gì ? ( tổng của 4 số chẵn liên tiếp = 9 x4 = 36 )
Để tìm ra 4 số chẵn liên tiếp tôi yêu cầu học sinh thảo luận nhãm
GV có thể gợi ý cho học sinh : Biểu thị các số bằng sơ đồ
đoạn thẳng , lu ý 2 số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị . Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng ta sẽ tìm đợc kết quả .
Bài giải
Tổng của 4 số chẵn liên tiếp là : 9 x4 = 36
Biểu thị số chẵn bé nhất là 1 phần , ta có sơ đồ : số thứ nhất
Số thứ hai Số thứ ba Số thứ t
Số chẵn bé nhất là : ( 36 - 2 x 6 ) : 4 = 6 Số chẵn thứ hai là : 6 + 2 = 8
Số chẵn thứ ba là : 8 + 2 = 10 Số chẵn thứ t là : 10 + 2 = 12
Bốn số chẵn liên tiếp là : 6 ; 8 ; 10 ; 12 thoả mãn yêu cầu bài ra
Ngoài ra ta cũng có thể tìm đợc tổng và hiệu của số chẵn thứ nhất và số chẵn thứ t . Từ đó tìm đợc số chẵn thứ nhất và số chẵn thứ t và tiếp tục dễ dàng tìm đợc số chẵn thứ 2 và số chẵn thứ 3
Từ gợi ý đó tôi yêu cầu học sinh thảo luận nhóm để tìm ra bài giải nh sau :
Bài giải ( cách 2 )
Gọi các số lần lợt từ số bé nhất là số thứ nhất Ta cã :
Số thứ nhất + số thứ t = số thứ hai + số thứ ba . Do đó tổng của số thứ nhât và số thứ t sẽ bằng :
9 x 2 = 18
Vì mỗi nhóm gồm 2 số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2
đơn vị mà trong đó 4 số chẵn liên tiếp có 3 nhóm nh vậy . Do
đó hiệu của số thứ t và số thứ nhất là : 2 x 3 = 6
Số thứ nhất
2 2 2 2 2 2
3 6
6
Số thứ t
Số thứ nhất là : ( 18 - 6 ) : 2 = 6 Số thứ t là :
6 + 6 = 12
Vậy 4 số chẵn liên tiếp cần tìm là : 6 ; 8 ; 10 ; 12
Tơng tự chúng ta cũng có thể tìm tổng và hiệu của 2 số chính giữa . Từ đó tìm ra 2 số chính giữa rồi suy ra các số còn lại
Bài giải ( cách 3 )
Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị , có 4 số chẵn liên tiếp nên trung bình cộng của 4 số đó chính là trung bình cộng của 2 số chính giữa . Vậy trung bình cộng của 2 số ở giữa là 9
Tổng của 2 số ở giữa là : 9 x 2 = 18
Theo thứ tự từ bé đến lớn thì 2 số ở giữa chính là số thứ 2 và số thứ 3
Số thứ hai Số thứ ba
Số thứ hai là : ( 18 - 2 ) : 2 = 8 Số thứ ba là : ( 18 + 2 ) : 2 = 10
Vậy 4 số chẵn liên tiếp cần tìm là : 6 ; 8 ; 10 ; 12
Nh vậy khi biết trung bình cộng của các số cách đều và yêu cầu tìm các số thì ta có thể chọn 1 trong 3 cách :
Cách 1
Bớc 1 : Tìm tổng các số hạng cách đều = TBC x số các số hạng
Bớc 2 : Lập sơ đồ đoạn thẳng biểu thị tổng và hiệu các số đó
Bớc 3 : Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng đó để tìm ra các số Cách 2
Bớc 1 Tìm tổng của số bé nhất và số lớn nhất của dãy tổng = TBC x 2
2 18
Bớc 2 : Lập sơ đồ đoạn thẳng biểu thị tổng và hiệu của số bé nhất và số lớn nhất
Bớc 3 : Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng đó để tìm ra số bé nhất và số lớn nhất . Từ đó tìm ra các số còn lại
Cách 3
Bớc 1 Tìm tổng 2 số chính giữa của dãy tổng = TBC x 2
Bớc 2 : Lập sơ đồ đoạn thẳng biểu thị tổng và hiệu của 2 sè chÝnh gi÷a
Bớc 3 : Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng đó để tìm ra 2 số chính giữa . Từ đó tìm ra các số còn lại
Tuy nhiên trong 1 số bài toán thì 1 trong 3 cách trên sẽ không phù hợp . Để làm sáng tỏ điều này tôi yêu cầu học sinh làm bài tập sau :
Bài 4 : Tìm 10 số lẻ liên tiếp biết trung bình cộng của chúng bằng 1310
Phân tích : Em có nên sử dụng cách 1 không ? Vì sao ? ( Không vì nếu sử dụng cách 1 tức là tìm tổng của 10 số lẻ rồi biểu thị 10 đoạn thẳng tơng ứng thì sẽ mất thời gian và trình bày bài giải không đẹp
Vậy các em nên tìm số nào trớc ? ( Số thứ nhất và số thứ 10 hoặc số thứ 5 và số thứ 6 )
Tìm bằng cách nào ? ( tính tổng 2 số = TBC x 2 = 1310 x2 - 2620 và hiệu 2 số rồi tìm ra kết quả đó )
Và bài tập này tôi tổ chức cho học sinh thi " ai nhanh ai
đúng "
Bài giải ( cách 1 )
Gọi các số lần lợt từ số bé nhất là số thứ nhất Ta cã :
Số thứ nhất + số thứ 10 = số thứ 2 + số thứ 9 = ... Do đó tổng của số thứ nhất và số thứ 10 sẽ bằng
1310 x 2 = 2620
Vì mỗi nhóm gồm 2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị mà trong đó 10 số lẻ liên tiếp có 9 nhóm nh vậy . Do đó hiệu của số thứ mời và số thứ nhất là :
2 x 9 = 18
Số thứ nhất Số thứ mời
Số thứ nhất là : ( 2620 - 18 ) : 2 = 1301 Số thứ mời là :
1301 + 18 = 1319
Ta dễ dàng tìm đợc các số còn lại là :
1303 ; 1305 ; 1307 ; 1309 ; 1311 ; 1313 ; 1317 ; 1315
Vậy 10 số lẻ liên tiếp cần tìm là : 1301 ; 1303 ; 1305 ; 1307 ; 1309 ; 1311 ; 1313 ; 1315 ; 1317 ; 1319
Bài giải ( cách 2 )
Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị , có 10 số lẻ liên tiếp nên trung bình cộng của 10 số đó chính là trung bình cộng của 2 số chính giữa . Vậy trung bình cộng của 2 số ở giữa là 1310
Tổng của 2 số ở giữa là : 1310 x 2 = 2620
Theo thứ tự từ bé đến lớn thì 2 số ở giữa chính là số thứ 5 và số thứ 6
Số thứ năm Số thứ sáu
Số thứ năm là : ( 2620 - 2 ) : 2 = 1309 Số thứ sáu là : ( 1309 + 2 ) = 1311 Ta dễ dàng tìm đợc các số còn lại là :
1307 ; 1305 ; 1303 ; 1301 ; 1313 ; 1315 ; 1317 ; 1319
Vậy 10 số lẻ liên tiếp cần tìm là : 1301 ; 1303 ; 1305 ; 1307 ; 1309 ; 1311 ; 1313 ; 1315 ; 1317 ; 1319
Bài 5 Tìm 7 số tự nhiên cách đều 3 đơn vị và có trung bình cộng là 1391
Ph©n tÝch :
18 262
0
2 262
0
+ Nếu tính tổng của 7 số tự nhiên cách đều rồi sau đó biểu thị 7 đoạn thẳng tơng ứng , Khi đó sẽ phức tạp và mất thêi gian
+ Đối với bài này có 7 số tự nhiên cách đều nên số ở vị trí chính giữa sẽ là số thứ t ( kể từ số bé nhất ) . Vậy số thứ là số nào ? ( Vì trung bình cộng của 7 số là 1391 nên số thứ t là số 1391 )
Vì đây là 7 số tự nhiên cách đều 3 đơn vị nên ta có thể tìm các số còn lại là bao nhiêu ? ( 1388 ; 1385 ; 1382 ; 1394 ; 1397 ; 1400 )
+ Tơng tự bài tập 4 ta cũng có thể tìm 2 số lớn nhất và số bé nhất rồi từ đó tìm ra các số còn lại
Bài giải ( cách 1 )
Gọi các số lần lợt từ số bé nhất là số thứ nhất Ta cã :
Số thứ nhất + số thứ 7 = số thứ 2 + số thứ 8 = ... Do đó tổng của số thứ nhất và số thứ 7 sẽ bằng :
1391 x 2 = 2782
Vì mỗi nhóm gồm 2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 3 đơn vị mà trong đó 7 số liên tiếp có 6 nhóm nh vậy . Do đó hiệu của số thứ mời và số thứ nhất là :
3 x 6 = 18 Số thứ nhất Số thứ bảy
Số thứ nhất là : ( 2782 - 18 ) : 2 = 1382 Số thứ mời là :
1382 + 18 = 1400
Ta dễ dàng tìm đợc các số còn lại là : 1385 ; 1388 ; 1391 ; 1394 ; 1397 ;
Vậy 7 số liên tiếp cần tìm là : 1382 ; 1385 ; 1388 ; 1391 ; 1394 ; 1397 ; 1400
Bài giải ( cách 2 ) 1
8 278
2
Theo bài ra có 7 số tự nhiên cách đều nên số ở chính giữa ( số thứ t sẽ bằng trung bình cộng của 7 số tự nhiên
Do đó : số thứ t sẽ là : 1391
Vì đây là 7 số tự nhiên cách đều 3 đơn vị nên : Số thứ 3 sẽ là : 1391 - 3 = 1388
Số thứ 2 sẽ là : 1388 - 3 = 1385 Số thứ 1 sẽ là : 1385 - 3 = 1382 Số thứ 5 sẽ là : 1391 + 3 = 1394 Số thứ 6 sẽ là : 1394 + 3 = 1397 Số thứ 7 sẽ là : 1397 + 3 = 1400
Vậy 7 số tự nhiên cần tìm là : 1382 ; 1385 ; 1388 ; 1391 ; 1394 ; 1397 ; 1400
Nh vậy từ bài tập trên ta có thể rút ra nhận xét dạng bài tìm các số hạng trong dãy số cách đều khi biết trung bình céng nh sau :
+ Nếu dãy số cần tìm có nhiều số thì không nên tìm tổng các số trong dãy số
+ Nếu số các số hạng của dãy số cần tìm là số lẻ thì trung bình cộng của chúng chính là số chính giữa . Từ đó ta dễ dàng tìm đợc các số còn lại
+ Nếu số các số hạng của dãy số cần tìm là số chẵn thì
trung bình cộng x 2 = tổng của 2 số chính giữa Tóm lại
Để giải tốt dạng bài tìm trung bình cộng của 1 dãy các số cách đều , GV cần hớng dẫn và củng cố cho các em tốt các kĩ năng đã đợc học đó là : Kĩ năng tính số các số hạng của dãy số cách đều , kĩ năng tính tổng các số hạng của dãy số cách đều và cách tìm trung bình cộng của nhiều số hạng
Đối với bài toán ngợc : Cho biết trung bình cộng các số trong dãy số cách đều yêu cầu tìm các số đó . GV cần hớng dẫn và củng cố cho các em tốt các kĩ năng và phơng pháp tìm 2 số khi biết tổng và hiệu của 2 số , vận dụng linh hoạt trong những tròng hợp cụ thể
Ngoài ra GV cũng có thể thay đổi nhiều hình thức trong quá trình dạy nh : Hình thức vấn đáp , thảo luận nhóm , thi giải toán nhanh và đúng ... để nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh .
5 . Kết quả
Trên đây tôi đã trình bày đợc 1 số dạng bài tập " liên quan đến dãy số cách đều " . Với cách phân tích , tổng hợp kiến thức các em đã nắm chắc cách giải bài toán cơ bản có t duy lôgic , phát triển khả năng sáng tạo trong quá trình giải quyết các bài tập ở dạng khó hơn và phơng pháp hợp lí đối với các bài toán đòi hỏi sự t duy nhiều hơn . Qua quá trình dạy học thực nghiệm để thấy đợc kết quả sát thực của các em tôi chọn 25 HS của lớp 4A do tôi dạy thực nghiệm và 25 HS ở lớp 4B do 1 GV trong khối 4 dạy để đối chứng kết quả với đề bài nh nhau và đối tợng HS tơng đồng nhau:
Đề bài :
Bài 1: Tìm quy luật viét số trong mỗi dãy số đợc cho tơng ứng nh dới đây rồi viết thêm 5 số nữa
a, 1 ; 3; 5; 7; 9 ; ...
b , 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; ...
c, 3 ; 7; 11 ; 15 ; ...
Bài 2 Tìm trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên chẵn từ 2 đến 98
Bài 3 Tìm 3 số tự nhiên biết 2 số liền nhau hơn kém nhau 70
đơn vị và trung bình cộng của 3 số đó là 140 Bài 4 Cho dãy số : 2 ; 4; 6 ; 8 ; ...190
a, Hỏi dãy số trên có bao nhiêu chữ số ? b , Tìm chữ số thứ 200 của dãy
Bài 5 Cho dãy số lẻ liên tiếp 1 ; 3; 5; 7; ... ; x
Tìm x để số chữ số của dãy gấp 4 lần số số hạng của dãy Thang điểm của mỗi bài nh sau :
Bài 1 : 1,5 điểm Bài 2 : 2 điểm
Bài 3 : 1,5 điẻm Bài 4 : 3 điểm bài 5 : 2 điểm
Tôi thu đợc kết quả nh sau :
Điểm Lớp 4A Sĩ số 25 HS Cách dạy mới
Lớp 4B Sĩ số 25 HS Cách dạy truyền thèng
Giái 12 HS = 48 % 2 HS = 8 %
Khá 11 HS = 44 % 10 HS = 40 %
Trung b×nh
2 HS = 8 % 10 HS = 40 %
YÕu 0 3 HS = 12 %
6 . Bài học kinh nghiệm
Với mỗi dạng toán , loại toán trớpc khi gợi ý , hớng dẫn học sinh giảI thì giáo viên cần cho học sinh đọc kĩ đề bài , phân tích đợc đề bài và giúp các em có t duy đúng . Từ đó cho các em nhận dạng đúng bài toán , tìm đợc cách giảI hợp lí cho từng bài . Sau mỗi dạng bài giáo viên nên chốt kiến thức cho học sinh
để các em dễ dàng làm đợc các bài tập tơng tự .
Bài tập giáo viên đa ra cũng cần có 1 hệ thống từ dễ
đến khó và bài sau liên quan đến kiến thức bài trớc để vừa phát triển t duy , vừa củng cố kiến thức cho học sinh
7. Vấn đề còn hạn chế , hớng tiếp tục nghiên cứu
a, Về phía học sinh : Do trình độ nhận thức , khả năng tiếp thu bài của các em còn hạn chế , đối tợng học siinh trong một lớp cha đồng đều và ý thức tự giác ở một số em cha cao nên kết quả sáng kiến này còn cha đạt nh mong muốn
b, Về phía giáo viên : Do thời gian có hạn nên trong phạm vi sáng kiến này tôI cha đề cập đợc hết các loại bài trong từng dạng và một số dạng khác có liên quan và cũng cha đa ra đợc “ Phơng pháp giải một số dạng toán về dãy số nói chung” để làm
đối chứng cho học sinh phân biệt với trờng hợp dãy số cách
đều . Nếu có điều kiện , tôi sẽ nghiên cứu và trình bày vào nh÷ng n¨m sau .
8 . Điều kiện áp dụng
Sau một thời gian tìm tòi nghiên cứu , tôi dã su tầm tổng hợp và phân dạng đợc một số bài toán dạng “ liên quan đến dãy số cách đều “ hệ thống các bài tập tôi cũng sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó để phù hợp với sự t duy của các em song các bài toán , dạng toán này chủ yếu áp dụng cho đối tợng học sinh khá giỏi , chỉ có phần : dạng bài tập tìm quy luật của dãy số cách đều và viết thêm vào dãy số và dạng bài “cho trung bình cộng của dãy các số cách đều yêu cầu tìm các số đó”
thì tôi áp dụng vào dạy cho cả đối tợng học sinh đại trà .
C. KÕt luËn chung
Xuất phát từ thực tế , chơng trình Tiểu học mới ra đời với phơng pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm , học sinh tự chiếm lĩnh tri thức còn giáo viên chỉ là ngời hớng dẫn điều khiển các hoạt động học tập của học sinh . Tôi đã đi theo
đúng hớng đó , đồng thời trong quá trình dạy học tôi kết hợp cả hình thức trò chơi đố vui , thi đua khen thởng , động viên khích lệ các em tạo cho các em khí thế hăng hái phát biểu , say mê học tập chủ động trong việc nắm bài giúp các em hiểu s©u , nhí l©u .
Với sự giúp đỡ của tổ chuyên môn , của ban giám hiệu nhà trờng , tôi đã thực hiện đổi mới phơng pháp dạy học khi h- ớng dãn học sinh học tốt các dạng bài “ liên quan đến dãy số cách đều”. Nhng do thời gian còn hạn chế và kinh nghiệm cha nhiều nên trong phần trình bày sáng kiến này không thể tránh khỏi những thiếu sót , hạn chế . Tôi kính mong lãnh đạo các cấp , tổ nghiệp vụ Phòng giáo dục huyện , bạn bè góp ý chỉ bảo thêm để sáng kiến của tôi hoàn thiện hơn nữa .
Tôi xin chân thành cảm ơn !