3.3 Hệ thống rời rạc
3.3.2 Phân loại hệ thống
Trong quá trình phân tích và thiết kế các hệ thống rời rạc, tính chất đặc trưng của hệ thống đóng một vai trò rất quan trọng. Các hệ thống được phân loại theo các tính chất đặc trưng này.
3.3. Hệ thống rời rạc
Hệ thống tĩnh và hệ thống động
Một hệ thống rời rạc được gọi là hệ thống tĩnhhay hệ thống không nhớ nếu mẫu ở đầu ra y(n)tại thời điểmnchỉ phụ thuộc mẫu ở đầu vàox(n)tại cùng một thời điểmn.
Ngược lại, nếu mẫu đầu ra y(n) tại thời điểmn phụ thuộc vào nhiều mẫu tại các thời điểm khác nhau của đầu vàox(n)thì hệ thống được gọi làhệ thống độnghoặc có nhớ.
Ví dụ 3.5(Hệ thống tĩnh và hệ thống động) Xét các hệ thống cho bởi các phương trình sai phân sau:
y(n)=10nx(n) (3.33)
y(n)= −7x(n)+0,2x3(n) (3.34)
y(n)=2x(n)−0,5x(n−1) (3.35)
y(n)=Xn
k=0x(n) (3.36)
y(n)=X∞
k=0x(n) (3.37)
Các hệ thống mô tả bởi các phương trình (3.33) và (3.34) là tĩnh và bởi các phương trình (3.35), (3.36) và (3.37) là động. Các hệ thống trong (3.35) và (3.36) có bộ nhớ hữu hạn và trong (3.37) có bộ nhớ vô hạn.
Hệ thống bất biến
Về mặt vật lý, hệ thống thường gặp được gọi là bất biến nếu việc quan sát hệ thống tại các thời điểm khác nhau đều cho ra kết quả giống nhau. Có nghĩa là nếu dùng cùng một tín hiệu kích thích nhưng tại các thời điểm khác nhau thì các đáp ứng của hệ thống đó là giống nhau. Xét một hệ thốngT được kích thích bởix(n)và có đáp ứng
y(n)=T{x(n)}. (3.38)
Chương 3. Tín hiệu và hệ thống rời rạc
Giả sử kích thích lại hệ thống bởi chính tín hiệu đó nhưng đã được dịch trễn0 bước bất kỳ thì có đáp ứng là
z(n)=T{x(n−n0)}. (3.39) Hệ thống này bất biến nếu z(n)chính là đáp ứng y(n) nhưng được dịch trễ đúngn0 bước
z(n)=y(n−n0). (3.40) Hệ thống tuyến tính
Giáo trình này quan tâm đến một loại hệ thống có đặc tính là tuyến tính. Loại hệ thống này thỏa mãn hai tính chất vật lý quan trọng. Thứ nhất là, nếu đầu vào của hệ thống được khuếch đạialần thì đầu ra của hệ thống cũng được khuếch đạialần. Thứ hai là, nếu đầu vào là tổng của hai tín hiệu thì đầu ra là tổng của hai tín hiệu đầu ra tương ứng.
Khái niệm tuyến tính này cho thấy là nếu đầu vào của hệ thống tuyến tính là một tổ hợp của nhiều tín hiệu thì đầu ra của nó là tổ hợp của các đầu ra tương ứng
T (X
k akxk(n) )
=X
k akT {xk(n)}. (3.41) Tính chất tuyến tính đóng vai trò cực kỳ quan trọng khi xây dựng mô hình các hệ thống. Giáo trình này quan tâm đến họ các hệ thống vừa tuyến tính vừa bất biến. Các hệ thống loại này có thể được thiết kế bởi các mạch điện tử tương tự hay rời rạc phổ cập.
Hệ thống nhân quả
Một hệ thống được gọi là nhân quả khi tín hiệu đầu ra xuất hiện sau khi đầu vào xuất hiện. Khái niệm nhân quả trong vật lý vừa có tính trực giác, vừa có tính cơ bản.
Cho tín hiệu đầu vàox(n)thỏa mãn
x(n)=0 với mọin<n0. (3.42)
3.3. Hệ thống rời rạc
Nếu hệ thống là nhân quả thì đầu ra y(n)cũng thỏa mãn
y(n)=0 với mọin<n0. (3.43) Điều này cho thấy, tại thời điểm quan sát hiện tạin, đầu ra y(n)chỉ phụ thuộc vào hiện tại và quá khứ của đầu vào, tức là x(n), x(n−1), x(n−2), ... Hay nói cách khác, nếu y(n)phụ thuộc vào tương lai của x(n), tức làx(n+1),x(n+2), ..., thì hệ thống không còn là nhân quả.
Hệ thống ổn định
Đặc tính quan trọng nhất trong các đặc tính của hệ thống làổn định, đã được Lyapunov định nghĩa bằng toán học dựa trên những quan sát vật lý. Tại thời điểm này, vẫn chưa có sự thống nhất về khái niệm, tuy nhiên có thể khái quát hóa như sau: Một hệ thống được gọi là ổn định nếu ta kéo nó rời khỏi quỹ đạo hoạt động bình thường thì sau đó một thời gian nó sẽ quay trở lại quỹ đạo bình thường của nó. Như thế ta hình dung được ngay, nếu hệ thống là ổn định lúc ta kích thích nó với những tín hiệu có biên độ hữu hạn thì đầu ra cũng sẽ có biên độ hữu hạn.
Khái niệm ổn định này được mang tên là BIBO*. Nếu tồn lại một số nguyên dương Mxsao cho đầu vào x(n)của một hệ thống ổn định thỏa mãn
|x(n)| <Mx< ∞, (3.44) với mọi n, thì tồn tại một số nguyên dương My sao cho đầu ra y(n) thỏa mãn
|y(n)| <My< ∞, (3.45) với mọin.