THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ IIR
5.2 Phương pháp đáp ứng bất biến
5.2.1 Thiết kế theo đáp ứng xung bất biến
Gọi G(p) là hàm truyền của bộ lọc tương tự đã được lựa chọn vàH(z)là hàm truyền của bộ lọc số ta phải thiết kế. Gọi g(t)vàh(n) tương ứng là đáp ứng xung của bộ lọc tương tự và của bộ lọc số.
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
Xét hàm truyềnG(p)bậc1 G(p)= 1
p−a. (5.51)
Đáp ứng xung tương ứng vớiG(p)là g(t)=eαtu(t)=
(eαt, vớit≥0
0, vớit<0 (5.52) Lấy mẫu g(t)với chu kỳTsthì đáp ứng xung của bộ lọc số tương ứng sẽ là:
h(n)=TseαnTsãu(n). (5.53) Từ đó, hàm truyềnH(z)của bộ lọc số là
H(z)= Ts
1−eαTsz−1. (5.54) Kết quả này cho thấy tính nhân quả củaG(p)sẽ dẫn đến tính nhân quả củaH(z). Điều này là hiển nhiên vì đáp ứng xung của bộ lọc số chính là đáp ứng xung của bộ lọc tương tự sau khi được lấy mẫu.
Quan trọng hơn nữa, tính ổn định củaG(p), có nghĩa làℜ{p}<0, sẽ dẫn đến tính ổn định củaH(z), có nghĩa l௯eaTs¯¯<1.
Trong trường hợp hàm truyềnG(p)có cặp nghiệm cực phức liên hợpavàa∗thì, theo (5.49), chúng tạo nên một thành phần đơn bậc 2củaG(p)có dạng như sau
G(p)= ap+b
p2+cp+d. (5.55)
Ta sử dụng công thức (5.50) để suy raH(z)là H(z)=Ts
a−e−σTsh
acos(Ω0Ts)+aσΩ−0bsin(Ω0Ts)i z−1
1−2e−σTscos(Ω0Ts)z−1+e−2σTsz−2 . (5.56) Từ các phân tích trên, có thể thấy rằng sau khi đã chọnG(p)bất kỳ ta có thể sử dụng các biểu diễn (5.54) và (5.56) để thiết kế H(z). Như thế, phương pháp thiết kế gồm những bước như trong Phương pháp 5.4.
Sau đây là một số ví dụ về thiết kế bộ lọc IIR bằng phương pháp đáp ứng xung bất biến trong miền thời gian.
5.2. Phương pháp đáp ứng bất biến
Phương pháp 5.4 – Thiết kế theo đáp ứng xung bất biến.
1. Chọn hàm truyền tương tựG(p)và phân tích nó thành tổng các phần đơn bậc1 (nghiệm thực) và bậc2(cặp nghiệm phức liên hợp).
2. Xác định hàm truyền rời rạcH(z)tương ứng:
a) Đối với nghiệm thực, thế 1
p−a bằng vế phải của (5.54);
b) Đối với cặp nghiệm phức liên hợp, thế ap+b
p2+cp+d bằng vế phải của (5.56).
Ví dụ 5.8(Thiết kế theo đáp ứng xung bất biến với thành phần đơn) Xác định một hàm truyền nhân quảH(z)có đáp ứng xung giống như đáp ứng xung của một hệ thống tương tự có hàm truyền G(p)được cho bởi
G(p)= 1 (p+5)(p+12). với chu kỳ lấy mẫu làTs=0,05giây.
Trước tiên, ta thấy rằngG(p) có hai nghiệm đơn làa1= −5và a2= −12. Theo Bước 1 của phương pháp thiết kế (Phương pháp 5.4), ta phân tích hàm truyềnG(p)theo các hàm đơn và có được
G(p)= 1/7
p+5− 1/7 p+12.
Theo Bước 2 của phương pháp thiết kế, ta áp dụng công thức (5.54) và suy ra
H(z)=0,05 7
ã 1
1−e(−5)(0,05)z−1− 1 1−e(−12)(0,05)z−1
á
= 0,0164
1−1,3276z−1+0,4274z−2.
Từ kết quả hàm truyền H(z), ta thấy ngay bộ lọc số này là IIR.
Hình 5.23 biểu diễn đáp ứng tần số biên độ của bộ lọc tương tựG(p) và bộ lọc sốH(z).
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
“./figures/IIRnew_36” — 2012/6/11 — 18:01 — page 103 — #1
0 2 4 6 8 10
10−4 10−3 10−2 10−1 100
Ω(rad)
|G(jΩ)|(dB)
“./figures/IIRnew_37” — 2012/6/11 — 18:01 — page 103 — #1
0 2 4 6 8 10
10−4 10−3 10−2 10−1 100
ω(rad)
|H(ejω)|(dB)
Hình 5.23: Đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự và bộ lọc số của Ví dụ 5.8.
Trong ví dụ tiếp theo, ta sẽ xét đến thiết kế với thành phần liên hợp phức.
Ví dụ 5.9(Thiết kế theo đáp ứng xung bất biến với thành phần liên
5.2. Phương pháp đáp ứng bất biến
hợp phức) Thiết kế một bộ lọc số thông thấp tương ứng với một bộ lọc tương tự Butterworth bậc2có tần số cắt3dB là50Hz và vận tốc lấy mẫu là500Hz.
Theo bảng 5.1, ta có hàm truyền Butterworth bậc 2 có tần số cắt được chuẩn hóa (λr=1rad/s) là
G1(p)= 1 1+p
2p+p2. (5.57)
Tần số cắt chuẩn hóaλr=1rad/s củaG1(p)chính là tần số cắtFr= 50Hz của bộ lọc tương tựG(p)cần dùng để chuyển đổi thành bộ lọc số. Do đó, ta suy ra hàm truyền củaG(p)như sau:
G(p)=G1
³ p 2π×50
´= 9,8696044×104
p2+444,28829p+9,8696044×104. (5.58) Lấy biến đổi Laplace ngược củaG(p)cho ta đáp ứng xung của bộ lọc tương tự là
g(t)=444,28829e−222,14415tsin(222,14415t).
Lấy mẫu đáp ứng xung g(t)với vận tốc lấy mẫuFs=500Hz, tức với chu kỳ lấy mẫu
Ts= 1
500=0.002, ta sẽ có đáp ứng xung của bộ lọc số tương ứng
h(n)=Tsg(nTs).
Biến đổiZ củah(n)cho ta hàm truyềnH(z)như sau:
H(z)= 0,2449203z−1
1−1,1580459z−1+0,41124070z−2. (5.59) Chú ý rằng, ta có thể có kết quả (5.59) trực tiếp bằng cách sử dụng Bước 2 của phương pháp thiết kế 5.4 và hàm truyền trong công thức (5.58). Hình 5.24 biểu diễn đáp ứng biên độ của bộ lọc tương tự G(p)và bộ lọc sốH(z).
Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR
“./figures/IIRnew_38” — 2012/6/11 — 18:01 — page 104 — #1
0 50 100 150 200 250
10−2 10−1 100
Ω(rad)
|G(jΩ)|(dB)
“./figures/IIRnew_39” — 2012/6/11 — 18:01 — page 104 — #1
0 50 100 150 200 250
10−2 10−1 100
ω(rad)
|H(ejω)|(dB)
Hình 5.24: Đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự và bộ lọc số của Ví dụ 5.9.