CHƯƠNG 3. MÔ PHỎNG ĐỘNG LỰC HỌC Ô TÔ BẰNG PHẦN MỀM MATLAB-
3.5. THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI THEO PHƯƠNG PHÁP GÁN ĐIỂM CỰC
3.5.1. Xét các tính chất của mô hình trong không gian trạng thái Từ mô hình không gian trạng thái (3.2):
𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 (3.2)
Thay thế giá trị các thông số nhận dạng được vào mô hình hệ thống, với sự hỗ trợ tính toán của phần mềm Matlab ta xác định được mô hình không gian trạng thái hệ thống có các ma trận sau:
𝐴 =
−5.5871 0.9100
0
−6.4129
−17.0652
−10.6751 0 1.1368
55.7674
−2.9409 0
−98.9882
7.3410 3.1126
1
−25.2676
; 𝐵 =
59.5467 55.5354
0 68.3480 𝐶 =
−5.5871 0 0
0.9904 1 0
55.7674 0 0
7.3410 0 1
; 𝐷 = 59.5467 0 0 3.5.1.1. Tính ổn định của hệ thống
Đánh giá tính ổn định của hệ thống (3.2) ta sử dụng phần mềm Matlab để xét nghiệm của đa thức đặc tính (phụ lục 1b).
Nghiệm của đa thức đặc tính có các phần thực mang giá trị âm [18], do đó hệ có tính ổn định.
3.5.1.2. Tính điều khiển được
Một hệ được gọi là điều khiển được nếu từ bất kỳ trạng thái ban đầu 𝑥 nào cũng tồn tại một tín hiệu điều khiển 𝑢(𝑡) đưa được hệ về trạng thái mong muốn 𝑥 sau khoảng thời gian hữu hạn.
Điều kiện kiểm tra tính điều khiển được của hệ thống (3.2) là:
𝑟𝑎𝑛𝑘[𝐵, 𝐴𝐵, 𝐴 𝐵, … 𝐴 𝐵] = 𝑛, [18]
Kiểm tra tính điều khiển được của hệ thống (3.2) cùng sự hỗ trợ từ phần mềm Matlab (phụ lục 1c).
Do rank (Co) = n = 4 là hạng của ma trận A. vậy hệ (3.2) điều khiển được.
3.5.1.3. Tính quan sát được
Xây dựng ma trận quan sát: 𝑂𝑏 = [𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴 𝐶, … 𝐴 𝐶]
Điều kiện cần và đủ để một hệ thống mô tả toán học dưới dạng phương trình trạng thái (3.2) quan sát được là:
𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑂𝑏) = 𝑛, [18]
Kiểm tra tính quan sát được của hệ thống (3.2) cùng sự hỗ trợ từ Matlab, xem Phụ lục 1d.:
Do rank (Ob) = 𝑛 = 4 là hạng của ma trận A. vậy hệ (3.2) quan sát được.
3.5.2. Thiết kế bộ quan sát trạng thái 3.5.2.1. Xác định ma trận quan sát trạng thái
Theo lý thuyết thì để tạo ra một biến trạng thái mới ta có thể thực hiện được bằng cách lấy đạo hàm của biến trạng thái, tuy nhiên việc lấy đạo hàm một tín hiệu luôn luôn làm giảm tỷ số tín hiệu – nhiễu vì nhiễu, nói chung dao động nhiễu nhanh hơn tín hiệu và tỷ số tín hiệu – nhiễu có thể giảm đi vài lần sau một lần đạo hàm.
Trong hầu hết các trường hợp không phải tất cả các biến trạng thái đều có thể đo được, khi đó chúng ta cần ước lượng các biến trạng thái không đo được này. Việc ước lượng các biến trạng thái không đo được thường được gọi là quan sát. Một thiết bị (hoặc một chương trình máy tính) ước lượng hoặc quan sát các biến trạng thái được gọi là bộ quan sát trạng thái.
Trong nghiên cứu động lực học ô tô các biến trạng thái như: gia tốc ngang; tốc độ góc quay thân xe quanh trục x; tốc độ góc quay thân xe quanh trục z, các biến này có thể đo được. Các biến trạng thái vận tốc ngang, góc lắc thân xe quanh trục x … là những biến không đo được, do đó các biến này cần được ước tính. Độ tuyến tính của
mô hình xây dựng cho phép ứng dụng một bộ quan sát trạng thái để làm phương pháp ước tính.
Xét đối tượng hợp thức chặt với mô hình trạng thái (3.2):
𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
Ý tưởng chính của phương pháp thiết kế bộ quan sát trạng thái để ước lượng được các biến trạng thái này là sử dụng khâu có mô hình:
𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 + 𝐿(𝑦 − 𝐶𝑥 − 𝐷𝑢) (3.3) làm bộ quan sát, đưa vào mô hình hệ thống (hình 3.24).
Hình 3. 24. Bộ quan sát trạng thái 𝑥 là giá trị trạng thái ước lượng
Sử dụng bộ quan sát tạo ra sự phối hợp nối tiếp giữa hai hệ thống tuyến tính thời gian bất biến với nhau, các tín hiệu vào u(t) và tính hiệu ra y(t) cấp đến bộ quan sát để có được đầu ra của bộ quan sát là giá trị ước lượng 𝑥(𝑡) của giá trị trạng thái thực 𝑥(𝑡). Cấu trúc như vậy sẽ có được sự xấp xỉ 𝑥 ≈ 𝑥 (𝑥 sẽ dần hội tụ đến 𝑥) ít nhất là sau một khoảng thời gian T đủ ngắn.
Gọi e - là véc tơ sai lệch quan sát, khi đó sai lệch quan sát được xác định là :
‖𝑒(𝑡)‖ = ‖𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑡)‖ ≈ 0 khi 𝑡 ≥ 𝑇 (3.4) Nhiệm vụ thiết kế là xác định L trong (3.3) để có được yêu cầu (3.4). Trước tiên ta lập sai lệch từ hai mô hình (3.2), (3.3):
𝑒(𝑡) = 𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑡) (3.5)
⇒ 𝑒̇ = 𝑥̇ − 𝑥̇ (3.6)
= (𝐴𝑥 + 𝐵𝑢) − (𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 + 𝐿(𝑦 − 𝐶𝑥 − 𝐷𝑢)) (3.7) = 𝐴(𝑥 − 𝑥) − 𝐿(𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 − 𝐶𝑥 − 𝐷𝑢) (3.8)
= (𝐴 − 𝐿𝐶)(𝑥 − 𝑥) (3.9)
= (𝐴 − 𝐿𝐶)𝑒 (3.10)
Để 𝑒(𝑡) → 0 thì (𝐴 − 𝐿𝐶) phải là ma trận bền. Sai lệch 𝑒(𝑡) sẽ càng tiến nhanh về 0, tức thời gian T cần thiết cho việc quan sát tính hiệu vào ra sẽ càng nhỏ, nếu các giá trị riêng của (𝐴 − 𝐿𝐶) nằm càng xa trục ảo (về phía -∞). Do đó ta có thể chủ động tìm L với một tốc độ tiến về 0 của 𝑒(𝑡) đã chọn trước bằng cách xác định L sao cho (𝐴 − 𝐿𝐶) có các giá trị riêng phù hợp với tốc độ đó.
Do đo, cần phải xác định véc tơ sai lệch quan sát với yêu cầu động học của bộ quan sát là phải nhanh hơn hệ thống, các điểm cực của bộ quan sát được chọn cần thiết ít nhất cực của nó xa về bên trái 5 lần so với cực của hệ thống. Nhằm đáp ứng nhanh hơn tại đầu ra của bộ quan sát, trong trường hợp này điểm cực được chọn gấp 10 lần điểm cực của hệ thống, như vậy sẽ đảm bảo quá trình động học của khâu quan sát nhanh hơn.
Chọn điểm cực và xác định L được thực hiện bởi sự hỗ trợ của phần mềm Matlab (phụ lục 1e).
Ma trận hệ số của bộ quan sát trạng thái xác định được là:
𝐿 =
1.3137
−0.1084 0.5995
−1.9779
−18.2159 28.4993
−3.8569 3.5376
−63.1412 3.2035
−11.3383 58.5043
3.5.2.2. Thiết kế bộ quan sát trạng thái trên phần mềm Matlab-Simulink
Sau khi xác định được ma trận quan sát trạng thái, ta xây dựng bộ quan sát trạng thái đưa vào mô hình hệ thống (hình 3.25).
Hình 3. 25. Mô hình hệ thống sử dụng bộ quan sát trạng thái.
Hình 3. 26. Sơ đồ khối mô phỏng động lực học ô tô trong Simulink sử dụng bộ quan sát trạng thái