Chương 2. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
2.4. Một số kiến thức khác về điều khiển
2.4.2. Điều khiển đồng bộ hỗn loạn
Tính chất nhạy cảm với điều kiện ban đầu làm cho động lực của hệ hỗn loạn rất khó dự đoán từ thời điểm ban đầu, hay ta thường nói hệ hỗn loạn có hành vi không thể dự đoán trong thời gian dài. Một ví dụ điển hình là mô hình dự báo thời tiết, dù rất nhiều cố gắng về mặt công nghệ nhưng chúng ta mới chỉ dự báo được tương đối chính xác trong thời gian rất ngắn, từ 3 đến 5 ngày. Việc dự báo chính xác trong thời gian dài là không thể vì bản chất mô hình dự báo thời tiết là một hệ hỗn loạn như Loren đã chỉ ra. Mặc dù hệ hỗn loạn có mẫu dạng (vùng hút) trong không gian trạng thái, nhưng việc xác định nơi vùng hút xuất hiện trong khoảng thời gian tương lai với vị trí của nó trong quá khứ là bài toán có độ phức tạp hàm mũ theo thời gian. Một cách để chứng minh điều này là cho hai hệ hỗn loạn giống hệt nhau chạy cùng bên cạnh nhau nhưng điều kiện ban đầu không hoàn toàn giống nhau (sai khác rất nhỏ). Các hệ thống sớm bất đồng với nhau dù cả hai vẫn duy trì mô hình vùng hút có vẻ giống nhau.
Vị trí vùng hút xuất hiện của mỗi hệ không có liên quan đến hệ còn lại.
Một câu hỏi thú vị đặt ra là liệu chúng ta có thể buộc hai hệ hỗn loạn đi theo một quỹ đạo giống nhau trên vùng hút? Liệu chúng ta có thể khoá một quỹ đạo vào quỹ đạo còn lại và gây ra đồng bộ? Câu trả lời là có.
Người đi tiên phong trong lĩnh vực này là Pecora và Carroll [50], [51].
Tại sao chúng ta muốn làm điều này?. Hành vi giả ngẫu nhiên của hệ hỗn loạn đã sớm được đề xuất sử dụng hữu ích trong một số kiểu bảo mật thông tin. Ngoài tính chất khó dự đoán, ứng dụng này cũng được gợi ý
khi quan sát phổ Fourie từ hệ hỗn loạn: thường không có đỉnh chi phối, không có tần số đặc biệt, có băng thông rộng. Để sử dụng tín hiệu hỗn loạn trong bảo mật truyền thông, chúng ta thấy ngay lập tức dẫn đến yêu cầu bằng cách nào đó người nhận phải có bản sao của tín hiệu hỗn loạn của bên phát, hoặc tốt hơn là đồng bộ với bên phát. Trong thực tế, đồng bộ hoá là một yêu cầu của nhiều loại hệ thống truyền thông, không chỉ với truyền thông sử dụng hỗn loạn. Ngoài ra, đồng bộ hỗn loạn cũng được yêu cầu khi sử dụng hỗn loạn trong robotic và cấy ghép sinh học. Nếu chúng ta có một số bộ phận muốn cùng nhau hành động, thì yêu cầu đồng bộ hỗn loạn phải được đảm bảo. Đây chỉ là hai trong số các ứng dụng thực tế của hỗn loạn yêu cầu quá trình đồng bộ.
Diễn giải và định nghĩa chi tiết về thuật ngữ đồng bộ hỗn loạn có một số dạng khác nhau [60]. Dạng điển hình và được sử dụng rộng rãi nhất là đồng bộ trạng thái [50], nghĩa là trạng thái hỗn loạn của hệ response được điều khiển để hội tụ tiệm cận đến trạng thái tương ứng của hệ drive. Ngoài ra còn có các dạng khác được giới thiệu như đồng bộ đầu ra [46], đồng bộ pha [53] và đồng bộ tổng quát [51] của hai hệ hỗn loạn. Đây là các bài toán đồng bộ được tác giả tiếp cận nghiên cứu giải quyết với hệ hỗn loạn CNN. Dưới đây là một số định nghĩa làm nền tảng. Ngoài ra, các tín hiệu điều khiển phải được thiết kế không chỉ đảm bảo yêu cầu đồng bộ mà còn thoả mãn các yêu cầu khác về tính bất định của tham số, chịu được nhiễu, đạt được đồng bộ trong thời gian hữa hạn.v.v.thường xuất hiện trong các bài toán thực tế.
Định nghĩa 2.4.3. [50] Đồng bộ trạng thái. Xét hai hệ hỗn loạn Hệ drive
˙
x = f(x). (2.4.3)
Hệ response
˙
y = g(y) +u(x, y, t). (2.4.4) Bài toán điều khiển đồng bộ trạng thái drive - response hai hệ hỗn loạn (2.4.3) và (2.4.4) là quá trình thiết kế bộ điều khiển u(x, y, t) đảm bảo
t→∞lim ky(t)−x(t)k = 0, (2.4.5) với mọi giá trị ban đầu x(0), y(0).
Bài toán đồng bộ tín hiệu đầu ra được định nghĩa cho hai hệ hỗn loạn có dạng sau:
Hệ driver
˙
xD = fD(xD) +gD (xD)uD, yD = hD (xD).
(2.4.6) trong đó uD(t) ∈ R là đầu vào (tín hiệu điều khiển) và yD (t) ∈ R là đầu ra của hệ drive.
Hệ response
˙
x = f (x) +g(x)u.
y = h(x).
(2.4.7) trong đó u(t) ∈ R là đầu vào (tín hiệu điều khiển) và y(t) ∈ R là đầu ra mong muốn của hệ response.
Định nghĩa 2.4.4. [46] Đồng bộ đầu ra.Đầu ra của hệ hỗn loạn (2.4.7) được gọi là đồng bộ với đầu ra của hệ (2.4.6) nếu
t→∞lim |y(t)−yD (t)| = 0, (2.4.8) không phụ thuộc các điều kiện ban đầu x(0), xD(0) với các tín hiệu điều khiển đầu vào phù hợp.
Bài toán thiết kế luật điều khiển u(t) cho hệ response 2.4.7 thoả mãn với mọi giá trị ban đầu của hệ drive và response, đầu ra y(t) hội tụ tiệm cận đến đầu ra yD(t) còn được gọi là bài toán so khớp mô hình [66]. Xét hệ bổ trợ
˙
xE = fE(xE) + ˆg(xE)u+ ˆgD(xE)uD, yE = hE(xE),
(2.4.9) với trạng thái xE = (x, xM)T ∈ R2n, đầu vào u(t), uD(t) và gˆ(xE) =
g(x) 0
, fE(xE) =
f (x) fD(xD)
, ˆgD(xE) =
0
gD(xD)
, hE(xE) = h(x)−hD(xD).
Định nghĩa 2.4.5. [66] Bài toán so khớp mô hình. Xét hệ drive (2.4.6) và hệ response (2.4.7) xung quanh điểm cân bằng. Bài toán so khớp mô hình giữa hai hệ là bài toán xác định luật điều khiển phản hồi trạng thái
u = α(xE) + γ(xE)uD +β(xE)v, (2.4.10) cho hệ bổ trợ (2.4.9) thoả mãn lim
t→∞yE(t) = 0.
Bài toán so khớp mô hình 2.4.5 có nghiệm địa phương khi và chỉ khi r ≤ rD, trong đó r và rD là bậc tương đối của hệ response và drive tương ứng. Khái niệm bậc tương đối được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.4.6. [66] Bậc tương đối. Đầu ra y(t) của hệ (2.4.7) được gọi là có bậc tương đối r tại điểm cân bằng x0 nếu trong lân cận x0 thoả mãn
LgLkfh(x) =
= 0,0 ≤ k ≤ r −2, 6= 0, k = r −1.
(2.4.11)
Trong đó Lfh(x) = ∂h(x)∂xT f (x) và LgLkfh(x) = ∂(Lkfh(x))
∂xT g(x) là các đạo hàm Lie.
Kết luận chương 2.
Chương 2 đã trình bày các kiến thức cơ bản làm nền tảng nghiên cứu cho các chương tiếp theo. Các khái niệm về phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu, số mũ Lyapunov, hỗn loạn, v.v. trong hệ phi tuyến đã được trình bày dưới ngôn ngữ toán học sáng tỏ và chặt chẽ. Các kiến thức toán học cần thiết khác cũng được cung cấp khá đầy đủ và hệ thống. Còn một vài khái niệm, độ đo liên quan đến ứng dụng hỗn loạn vào mã hoá, bảo mật truyền thông ảnh sẽ được nhắc đến trực tiếp khi sử dụng.