Chương 3. CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU HÀNH VI HỖN LOẠN CỦA CNN
3.1. Nghiên cứu CNN hỗn loạn bậc phân số
Năm 1994 Westerlund đã đề xuất một mô hình tụ tuyến tính. Nó được dựa trên luật thực nghiệm Curie, dòng qua tụ được tính theo công thức
i(t) = U0
h1tm, (3.1.1)
với h1 và m là các hằng số, U0 là điện áp DC đặt tại t = 0 và 0 < m < 1. Với điện áp vào tổng quát u(t), dòng điện qua tụ là
i(t) = Cdmu(t)
dtm , (3.1.2)
trong đó C là điện dung của tụ, liên quan đến loại điện môi. Hằng số m liên quan tới tổn thất của tụ. Westerlund đã cung cấp bảng các giá trị m ứng với các loại điện môi, bằng thực nghiệm thông qua các phép đo.
Carlson cũng đã nghiên cứu tụ bậc phân số và các kỹ thuật xấp xỉ từ những năm 1963. Ông đã sử dụng phương pháp Newton thông thường để xấp xỉ tụ trở kháng bậc phân số.
Z(s) = C
sm,0 < m < 1, m∈ R. (3.1.3)
Áp dụng định luật Kirchhoff và (3.1.2) cho phương trình vi phân mô tả CNN tiêu chuẩn, ta thu được mô hình bậc phân số của CNN như sau
Cdxdtijm(t) = −R1
xxij (t) + P
C(kl)∈Nr(ij)
Aij,klykl(t) + P
C(kl)∈Nr(ij)
Bij,klukl(t) +C(ij, kl)xkl(t) +I.
(3.1.4) Arena và đồng tác giả đã giới thiệu mô hình CNN mới với các cell bậc phân số [5]. Họ đã thay thế cell bậc một bởi cell bậc m, với m là đại lượng không nguyên. Theo lý thuyết hỗn loạn, sự hỗn loạn chỉ có thể xảy ra trong hệ ô tô nôm phi tuyến có bậc tối thiểu là 3. Tuy nhiên Arena trong kết quả trên đã chỉ ra CNN bậc phân số có hành vi hỗn loạn mặc dù tổng số bậc của các phương trình vi phân nhỏ hơn 3. Ở đây ta hiểu thuật ngữ bậc của hệ trong trường hợp sử dụng các phương trình vi phân bậc phân số để mô tả hệ không phải là tổng số phương trình như trước. Đó là tổng số bậc đạo hàm cấp phân số cao nhất xuất hiện trong các phương trình vi phân bậc phân số. Ý tưởng khảo sát CNN bậc phân số 6 cells trong CT9 của luận án nhằm tìm ra hành vi hỗn loạn xuất phát từ sự xem xét trên.
Các bước khảo sát được tiến hành trên mô hình toán học như sau:
• Thay toán tử đạo hàm bậc nguyên bởi toán tử đạo hàm bậc phân số q để nhận được hệ động lực bậc phân số tương ứng.
• Cho cấp đạo hàm q thay đổi, thông thường quy về (0,1), với bước thay đổi ∆q cho trước.
• Tại mỗi bước, tiến hành giải số hệ động lực cấp phân số tương ứng.
Vẽ các quỹ đạo nghiệm dưới các không gian 1, 2,3 chiều để quan sát dáng điệu, xu hướng tiệm cận của nghiệm. Từ đó có thể dự đoán về tính bị chặn cũng như phổ của nghiệm.
• Tính số mũ Lyapunov tại một số vùng nghi ngờ có hành vi hỗn loạn với quỹ đạo nghiệm bị chặn, tạo thành vùng hút, phổ dày đặc...
• Nếu xác định được tồn tại số mũ Lyapunov dương và tổng số mũ Lyapunov là âm, ta kết luận được hệ tồn tại vùng hút hỗn loạn với bậc q và tham số đang khảo sát.
Xét CNN 6 cell có phương trình trạng thái sau:
˙
x1 = s13x3 +s14x4,
˙
x2 = s22x2 +s23x3,
˙
x3 = s31x1 +s32x2,
˙
x4 = s41x1 +s44x4 +s45x5 + s46x6 +a4f(x4),
˙
x5 = s53x5 +s55x5,
˙
x6 = s62x2 +s66x6,
(3.1.5)
trong đó f(x4) = 12 (|x4 −1| − |x4 + 1|) là hàm đầu ra của cell thứ 4.
Trong [82], (3.1.5) đã được nghiên cứu với bậc nguyên. Bằng việc thay đổi toán tử đạo hàm bậc phân số, ta có CNN bậc phân số tương ứng như sau
dqx1
dtq = s13x3 +s14x4, dqx2
dtq = s22x2 +s23x3, dqx3
dtq = s31x1 +s32x2, dqx4
dtq = s41x1 +s44x4 +s45x5 +s46x6 + a4f(x4), dqx5
dtq = s53x3 +s55x5, dqx6
dtq = s62x2 +s66x6.
(3.1.6)
trong đó q là bậc phân số của đạo hàm, 0 < q ≤ 1. Với bộ giá trị tham số sau, trong [82], các tác giả đã chỉ ra CNN bậc nguyên (3.1.5) là hệ hỗn
loạn.
s13 = −1.7;s14 = −1.4;s22 = 1.7;s23 = 1;
s31 = 11;s32 = −12;s41 = 92;s44 = −95;
s45 = 1;s46 = −1;a4 = 180;
s53 = 5;s55 = −1;s62 = 5;s66 = −1.
(3.1.7)
Nghiên cứu hành vi của CNN bậc phân số (3.1.6) khi bậc đạo hàm q thay đổi, từ 0.5 đến 1 với bước thay đổi là 0.01. Tại mỗi bước, nghiệm số của (3.1.6) được giải bằng phương pháp Adams-Bashforth-Moulton đã trình bày ở chương 2, mục 2.3. Theo đó, hệ được viết lại thành
xi,n+1 = xi,0 + Γ(q+2)hq gi,n+1p +
n
P
j=0
aj,n+1gi,j
! , i = 1,2, ...,6.
(3.1.8)
trong đó gi là vế phải của phương trình thứ i trong (3.1.6) và p = min{2,1 +q},
gi,j = gi(x1,j, x2,j, ..., x6,j),
gpi,n+1 = gi xp1,n+1, xp2,n+1, ..., xp6,n+1, xpi,n+1 = xi,0 + Γ(q)1
n
P
j=0
bj,n+1gi,j, i = 1,2, ...,6,
(3.1.9)
với
bj,n+1 = hqq ((n−j + 1)q −(n−j)q), aj,n+1 = nq −(n−q) (n+ 1)q, j = 0,
aj,n+1 = (n−j + 2)q+1 + (n−j)q+1 −2(n−j + 1)q+1, 0< j ≤n.
(3.1.10)
Để tính số mũ Lyapunov của hệ, thuật toán của Wolf [76] được sử dụng.
Chi tiết việc giải số và tìm số mũ Lyapunov cho hệ (3.1.6) trên môi trường
Matlab có thể xem tại phụ lục kèm theo. Bảng 3.1 liệt kê kết quả tính số mũ Lyapunov khi bậc đạo hàm q thay đổi. Từ kết quả tính toán số mũ
Bảng 3.1: Số mũ Lyapunov của hệ (3.1.6) khi bậc đạo hàm q thay đổi.
q Số mũ Lyapunov (λ1−λ6)
0.75 84.752211 23.602734 77.113092 78.110114 78.669290 79.075624 0.76 4.116973 -0.004316 -0.639896 -0.668819 -0.845186 -1.897407 0.77 0.141743 -0.536865 -0.614955 -0.749963 -1.084331 -3.188171 0.78 0.103720 -0.255087 -0.616279 -0.685451 -0.818373 -7.146602 0.79 0.031842 -0.207006 -0.600198 -0.680831 -0.713385 -7.904822 0.80 0.004382 -0.183653 -0.595122 -0.625801 -0.637344 -7.864992 0.81 0.101160 -0.295899 -0.589678 -0.608472 -0.619270 -8.530466 0.82 0.114795 -0.220634 -0.533024 -0.596813 -0.609492 -8.547175 0.83 0.139706 -0.256609 -0.431645 -0.588570 -0.598652 -8.886905 0.84 0.073104 -0.222341 -0.429217 -0.578602 -0.587205 -8.982140 0.85 0.062262 -0.150028 -0.243381 -0.570735 -0.612959 -9.260164 0.86 0.077475 -0.077627 -0.277390 -0.561570 -0.569217 -9.460343 0.87 0.127098 -0.072302 -0.257967 -0.550045 -0.564084 -9.512545 0.88 0.045627 -0.059931 -0.151093 -0.538553 -0.543813 -10.012623 0.89 0.104812 -0.068306 -0.216947 -0.531124 -0.535130 -9.946446 0.90 0.070159 0.031246 -0.168831 -0.524973 -0.524415 -10.080319 0.91 0.109629 -0.008004 -0.118958 -0.516227 -0.515622 -10.342506 0.92 0.097653 -0.007501 -0.092666 -0.509827 -0.504914 -10.346738 0.93 0.090652 0.002073 -0.099733 -0.500563 -0.493935 -10.750222 0.94 0.148793 -0.017394 -0.093184 -0.491781 -0.480036 -10.948401 0.95 0.129292 -0.014071 -0.036773 -0.485103 -0.473332 -11.384855 0.96 0.131742 0.001957 -0.048655 -0.480615 -0.464229 -11.754431 0.97 0.138621 0.012470 -0.041576 -0.476680 -0.452926 -12.296438 0.98 0.142372 0.009249 -0.047672 -0.472046 -0.438089 -12.907500 0.99 0.122178 0.067574 -0.019920 -0.462721 -0.436800 -14.162117
Lyapunov và tìm nghiệm số của hệ, ta có một số nhận xét sau.
Các giá trị từ 0 đến 0.75 của q cho thấy hệ không có vùng hút, không xuất hiện hành vi hỗn loạn.
Tại q = 0.76, mặc dù tồn tại λ1 > 0 nhưng tổng số mũ Lyapunov lại dương. Điều này chứng tỏ hệ không có vùng hút, các trạng thái không bị chặn. Hệ không phải là hệ hỗn loạn. Hình 3.1 và hình 3.4 thể hiện số mũ
Lyapunov và trạng thái của hệ khi q = 0.76.
Tại q = 0.77, hệ xuất hiện attractor lạ, với một số mũ Lyapunov dương λ1 = 0.141743. Các giá trị sau đó của q luôn đảm bảo hệ tồn tại vùng hút hỗn loạn. Vì vậy ta có thể kết luận bậc thấp nhất để hệ CNN bậc phân số (3.1.6) trở thành hỗn loạn là 0.77×6 = 4.62, thấp hơn bậc 6 trong khảo sát của Yaqin Zhao [82] với cùng bộ tham số (3.1.7).
Một số giá trị củaqlàm hệ trở thành siêu hỗn loạn (có 2 số mũ Lyapunov dương), như q = 0.9 (λ1 = 0.070159, λ2 = 0.031246), q = 0.97 (λ1 = 0.138621, λ2 = 0.012470), q = 0.98 (λ1 = 0.142372, λ2 = 0.009249) và q = 0.99 (λ1 = 0.122178, λ2 = 0.067574). Một số hình ảnh sau đây mô tả rõ hơn các kết quả này.
Hình 3.1: Số mũ Lyapunov của hệ (3.1.6) với q= 0.76.
Hình 3.2: Số mũ Lyapunov của hệ (3.1.6) với q= 0.93.
Hình 3.3: Số mũ Lyapunov của hệ (3.1.6) với q= 0.98.
Hình 3.4: Trạng thái không bị chặn của hệ (3.1.6) khi q= 0.76.
Hình 3.5: Vùng hút hỗn loạn của hệ (3.1.6) khi q= 0.93.
Hình 3.6: Vùng hút siêu hỗn loạn của hệ (3.1.6) khiq = 0.98.
Hình 3.7: Trạng thái theo thời gian của hệ (3.1.6) khi q = 0.98.