I. Tìm các đại lượng đặc trưng trong dao động điều hòa.
* Các công thức:
+ Li độ (phương trình dao động): x = Acos(ωt + ϕ).
+ Vận tốc: v = x’ = - ωAsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ + 2 π
).
+ Gia tốc: a = v’ = - ω2Acos(ωt + ϕ) = - ω2x; amax = ω2A.
+ Vận tốc v sớm pha 2 π
so với li độ x; gia tốc a ngược pha với li độ x (sớm pha 2 π
so với vận tốc v).
+ Liên hệ giữa tần số góc, chu kì và tần số của dao động: ω = T π 2
= 2πf.
+ Công thức độc lập: A2 = x2 +
2 2
v ω =
2 2
4 2
a v
ω +ω . + Ở vị trí cân bằng: x = 0 thì |v| = vmax = ωA và a = 0.
+ Ở vị trí biên: x = ± A thì v = 0 và |a| = amax = ω2A =
2 ax
vm
A . + Lực kéo về: F = ma = - kx.
+ Quỹ đạo chuyển động của vật dao động điều hòa là một đoạn thẳng có chiều dài L = 2A.
* Phương pháp giải:
+ Để tìm các đại lượng đặc trưng của một dao động điều hòa khi biết phương trình dao động hoặc biết một số đại lượng khác của dao động ta sử dụng các công thức liên quan đến những đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm theo yêu cầu của bài toán.
+ Để tìm các đại lượng của dao động điều hòa tại một thời điểm t đã cho ta thay giá trị của t vào phương trình liên quan để tính đại lượng đó.
Lưu ý: Hàm sin và hàm cos là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nên khi thay t vào nếu được góc của hàm sin hoặc hàm cos là một số lớn hơn 2π thì ta bỏ đi của góc đó một số chẵn của π để dễ bấm máy.
+ Để tìm thời điểm mà x, v, a hay F có một giá trị cụ thể nào đó thì ta thay giá trị này vào phương trình liên quan và giải phương trình lượng giác để tìm t.
Lưu ý: Đừng để sót nghiệm: với hàm sin thì lấy thêm góc bù với góc đã tìm được, còn với hàm cos thì lấy thêm góc đối với nó và nhớ hàm sin và hàm cos là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π để đừng bỏ sót các họ nghiệm. Cũng đừng để dư nghiệm: Căn cứ vào dấu của các đại lượng liên quan để loại bớt họ nghiệm không phù hợp.
* Bài tập minh họa:
1. Một vật nhỏ khối lượng 100 g dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng dài 20 cm với tần số góc 6 rad/s.
Tính vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật.
2. Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo dài 40 cm. Khi ở vị trí có li độ x = 10 cm vật có vận tốc 20π 3 cm/s. Tính vận tốc và gia tốc cực đại của vật.
3. Một chất điểm dao động theo phương trình: x = 2,5cos10t (cm). Vào thời điểm nào thì pha dao động đạt giá trị 3
π
? Lúc ấy li độ, vận tốc, gia tốc của vật bằng bao nhiêu?
4. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 5cos(4πt + π) (cm). Vật đó đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương vào những thời điểm nào? Khi đó độ lớn của vận tốc bằng bao nhiêu?
5. Một vật nhỏ có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa với phương trình: x = 20cos(10πt + 2 π ) (cm). Xác định độ lớn và chiều của các véc tơ vận tốc, gia tốc và lực kéo về tại thời điểm t = 0,75T.
6. Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 2 cm và với chu kì 0,2 s. Tính độ lớn của gia tốc của vật khi nó có vận tốc 10 10 cm/s.
7. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 20cos(10πt + 2 π
) (cm). Xác định thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với chiều dương kể từ thời điểm t = 0.
8. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 4cos(10πt - 3 π
) (cm). Xác định thời điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20π 3 cm/s và đang tăng kể từ lúc t = 0.
9. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40 3 cm/s2. Tính biên độ dao động của chất điểm.
10. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4 cos2
3π t
(x tính bằng cm; t tính bằng s).
Xác định thời điểm chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ 2011, kể từ lúc t = 0.
* Hướng dẫn giải và đáp số:
1. Ta có: A = 2 L
= 2 20
= 10 (cm) = 0,1 (m); vmax = ωA = 0,6 m/s; amax = ω2A = 3,6 m/s2. 2. Ta có: A = 2
L
= 2 40
= 20 (cm); ω = A2 x2 v
− = 2π rad/s; vmax = ωA = 2πA = 40π cm/s;
amax = ω2A = 800 cm/s2. 3. Ta có: 10t = 3
π
t = 30 π
(s). Khi đó x = Acos3 π
= 1,25 (cm); v = - ωAsin3 π
= - 21,65 (cm/s);
a = - ω2x = - 125 cm/s2.
4. Khi đi qua vị trí cân bằng thì x = 0 cos(4πt + π) = 0 = cos(±2 π
).
Vì v > 0 nên 4πt + π = - 2 π
+ 2kπ. t = - 3
8 + 0,5k với k ∈ Z. Khi đó |v| = vmax = ωA = 62,8 cm/s.
5. Khi t = 0,75T =
0,75.2π
ω = 0,15 s thì x = 20cos(10π.0,15 + 2 π
) = 20cos2π = 20 cm;
v = - ωAsin2π = 0; a = - ω2x = - 200 m/s2; F = - kx = - mω2x = - 10 N; a và F đều có giá trị âm nên gia tốc và lực kéo về đều hướng ngược với chiều dương của trục tọa độ.
6. Ta có: ω = 2
T π
= 10π rad/s; A2 = x2 +
2 2
v ω =
2 2
2 4
v a
ω +ω
|a| = ω4A2−ω2 2v = 10 m/s2. 7. Ta có: x = 5 = 20cos(10πt + 2
π
) cos(10πt + 2 π
) = 0,25 = cos(±0,42π).
Vì v < 0 nên 10πt + 2 π
= 0,42π + 2kπ t = - 0,008 + 0,2k; với k ∈ Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này (ứng với k = 1) là 0,192 s.
8. Ta có: v = x’ = - 40πsin(10πt - 3 π
) = 40πcos(10πt + 6 π
) = 20π 3
cos(10πt + 6 π
) = 3
2 = cos(±6 π
). Vì v đang tăng nên: 10πt + 6 π
= -6 π
+ 2kπ
t = - 1
30 + 0,2k. Với k ∈ Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này là t = 6 1
s.
9. Khi đi qua vị trí cân bằng: |v| = vmax = ωA ω = vmax
A . Mặt khác: A2 =
2 2
2 4
v a
ω +ω
ω2A2 = v2max = v2 +
2 2
a
ω = v2 +
2 2 2
ax m
a A
v A =
ax
| | vm
a vm2ax−v2 = 5 cm.
10. Ta có: T = 2π
ω = 3 s. Khi t = 0 thì x = A = 4 cm. Kể từ lúc t = 0 vật đến vi trí có li độ x = - 2 cm = - 2
A
lần thứ nhất mất thời gian t1 = 3 T
= 1 s. Sau đó trong mỗi chu kì vật đi qua vị trí có li độ x = - 2 cm hai lần, nên thời gian để vật đi qua vị trí có li độ x = - 2 cm lần thứ 2010 là t2 =
2010
2 T = 3015 s.
Vậy: t = t1 + t2 = 3016 s.
II. Các bài tập liên quan đến đường đi, vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa.
* Kiến thức liên quan:
Trong một chu kỳ vật dao động điều hoà đi được quãng đường 4A. Trong nữa chu kì vật đi được quãng đường 2A. Trong một phần tư chu kì tính từ vị trí biên hay vị trí cân bằng thì vật đi được quãng đường A, còn từ các vị trí khác thì vật đi được quãng đường khác A.
Càng gần vị trí cân bằng thì vận tốc tức thời của vật có độ lớn càng lớn (ở vị trí cân bằng vận tốc của vật có độ lớn cực đại vmax = ωA), càng gần vị trí biên thì vận tốc tức thời của vật có độ lớn càng nhỏ (ở vị trí biên v = 0); do đó trong cùng một khoảng thời gian, càng gần vị trí cân bằng thì quãng đường đi được càng lớn còn càng gần vị trí biên thì quãng đường đi được càng nhỏ.
Càng gần vị trí biên thì gia tốc tức thời của vật có độ lớn càng lớn (ở vị trí biên gia tốc của vật có độ lớn cực đại amax = ω2A), càng gần vị trí cân bằng thì gia tốc tức thời của vật có độ lớn càng nhỏ (ở vị trí cân bằng a = 0); do đó càng gần vị trí biên thì độ lớn của lực kéo về (còn gọi là lực hồi phục) càng lớn còn càng gần vị trí cân bằng thì độ lớn của lực kéo về càng nhỏ.
Các công thức thường sử dụng: vtb = S
∆t ; A2 = x2 +
2 2
v ω =
2 2
4 2
a v
ω +ω
; a = - ω2x.
* Phương pháp giải:
Cách thông dụng và tiện lợi nhất khi giải bài tập loại này là sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều:
+ Tính quãng đường đi của con lắc trong khoảng thời gian ∆t từ t1 đến t2: - Thực hiện phép phân tích: ∆t = nT + 2
T
+ ∆t’.
- Tính quãng đường S1 vật đi được trong nT + 2 T
đầu: S1 = 4nA + 2A.
- Xác định vị trí của vật trên đường tròn tại thời điểm t1 và vị trí của vật sau khoảng thời gian nT + 2 T trên đường tròn, sau đó căn cứ vào góc quay được trong khoảng thời gian ∆t’ trên đường tròn để tính quãng đường đi được S2 của vật trong khoảng thời gian ∆t’ còn lại.
- Tính tổng: S = S1 + S2.
+ Tính vận tốc trung bình của vật dao động điều hòa trong một khoảng thời gian ∆t: Xác định góc quay được trong thời gian ∆t trên đường tròn từ đó tính quãng đường S đi được và tính vận tốc trung bình theo công thức: vtb =
S
∆t .
+ Tính quãng đường lớn nhất hay nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 <∆t <2 T
: ∆ϕ = ω∆t;
Smax = 2Asin 2 ϕ
∆
; Smin = 2A(1 - cos 2 ϕ
∆ ).
+ Tính tần số góc ω (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để vận tốc có độ lớn không nhỏ hơn một giá trị v nào đó: Trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí cân bằng khoảng thời gian để vận có vận tốc không nhỏ hơn v là: ∆t = 4
t
; ∆ϕ = 2
T π
∆t; vật có độ lớn vận tốc nhỏ nhất là v khi li độ: |x| = Asin∆ϕ. Khi đó: ω = 2 2
v A −x .
+ Tính tần số góc ω (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để vận tốc có độ lớn không lớn hơn một giá trị v nào đó: Trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí biên khoảng thời gian để vận có vận tốc không lớn hơn v là: ∆t = 4
t
; ∆ϕ = 2
T π
∆t; vật có độ lớn vận tốc lớn nhất là v khi li độ:
|x| = Acos∆ϕ. Khi đó: ω = 2 2 v A −x .
+ Tính tần số góc ω (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để gia tốc có độ lớn không nhỏ hơn một giá trị a nào đó: Trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí biên
khoảng thời gian để vận có gia tốc không nhỏ hơn a là: ∆t = 4 t
; ∆ϕ = 2
T π
∆t; vật có độ lớn gia tốc nhỏ nhất là a khi li độ:
|x| = Acos∆ϕ. Khi đó: ω =
| |
| | a x .
+ Tính tần số góc ω (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để gia tốc có độ lớn không lớn hơn một giá trị a nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí cân bằng khoảng thời gian để vận có gia tốc không lớn hơn a là: ∆t = 4
t
; ∆ϕ = 2
T π
∆t; vật có độ lớn gia tốc
lớn nhất là a khi li độ: |x| = Asin∆ϕ. Khi đó: ω =
| |
| | a x .
* Bài tập minh họa:
1. Một chất điểm dao động với phương trình: x = 4cos(5πt + 2 π
) (cm). Tính quãng đường mà chất điểm đi được sau thời gian t = 2,15 s kể từ lúc t = 0.
2. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T = 0,2 s, biên độ A = 4 cm. Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí có li độ x = A đến vị trí có li độ x = - 2
A .
3. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 10 cm, chu kì 2 s. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Tính tốc độ trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng 1/3 lần thế năng.
4. Vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 2cos(10πt - 3 π
) (cm). Tính vận tốc trung bình của vật trong 1,1 giây đầu tiên.
5. Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 5cos(2πt - 4 π
) (cm). Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t1 = 1 s đến t2 = 4,625 s.
6. Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xo nhẹ có một đầu cố định, đầu kia gắn với vật nhỏ m1. Ban đầu giữ vật m1 tại vị trí mà lò xo bị nén 8 cm, đặt vật nhỏ m2 (có khối lượng bằng khối lượng vật m1) trên mặt phẳng nằm ngang và sát với vật m1. Buông nhẹ để hai vật bắt đầu chuyển động theo phương của trục lò xo. Bỏ qua mọi ma sát. Xác định khoảng cách giữa hai vật m1 và m2 ở thời điểm lò xo có chiều dài cực đại lần đầu tiên.
7. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 10 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để chất điểm có vận tốc không vượt quá 20π 3 cm/s là
2 3
T
. Xác định chu kì dao động của chất điểm.
8. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 8 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để chất điểm có vận tốc không nhỏ hơn 40π 3 cm/s là T/3. Xác định chu kì dao động của chất điểm.
9. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là T/3. Lấy π2 = 10. Xác định tần số dao động của vật.
10. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 4 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 500 2 cm/s2 là T/2. Lấy π2 = 10. Xác định tần số dao động của vật.
* Hướng dẫn giải và đáp số:
1. Ta có: T = ω π 2
= 0,4 s;T t
= 5,375 = 5 + 0,25 + 0,125 t = 5T + 4 T
+ 8 T
. Lúc t = 0 vật ở vị trí cân bằng; sau 5 chu kì vật đi được quãng đường 20A và trở về vị trí cân bằng, sau 1/4 chu kì kể từ vị trí
cân bằng vật đi được quãng đường A và đến vị trí biên, sau 1/8 chu kì kể từ vị trí biên vật đi được quãng đường: A - Acos4
π
= A - A 2 2
. Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian t là s = A(22 - 2
2
) = 85,17 cm.
2. Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí biên x = A đến vị trí cân bằng x = 0 là T/4; khoảng thời gian
ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng x = 0 đến vị trí có li độ x = 2
−A
là 3 4 T
= 12 T
; vậy t = 4 T
+ 12 T
= 3 T
. Quãng đường đi được trong thời gian đó là s = A + 2
A = 2
3A
Tốc độ trung bình vtb = t s
= T A 2 9
= 90 cm/s.
3. Khi Wđ = 3Wt thì W = Wt + Wđ = 4Wt 1
2mω2A2 = 4.
1
2mω2x2 x = ±2 A . Khi Wđ =
1
3Wt thì W = Wt + Wđ = 4 3Wt
1
2mω2A2 = 4 3.
1
2mω2x2 x = ± 3 2 A
.
Trên đường tròn liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều ta thấy thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 = 2
A
đến vị trí có li độ x2 = 3 2 A
là t = 30
360T = 12 T
= 1 6s.
Vậy vtb = s t =
1 2
|x x | t
− =
( 3 1) 2 A
t
−
= 21,96cm/s.
4. Ta có: T = ω π 2
= 0,2 s;
t T
∆ =
1,1 0, 2 = 5 +
1
2 ∆t = 5T + 2 T
Quãng đường vật đi được là: S = 5.4A + 2 A = 22A = 44 cm. Vận tốc trung bình: vtb = t S
∆ = 40 cm/s.
5. T = ω π 2
= 1 s; ∆t = t2 – t1 = 3,625 = 3T + 2 T
+ 8 T
. Tại thời điểm t0 = 0 thì x0 = 2,5 2 cm; sau khoảng thời gian ∆t = t1 – t0 = 1 s = T vật đi được 1 vòng và trở về vị trí có li độ x1 = 2,5 2 cm; sau 3,5 chu kì vật đi được quãng đường 14 A = 70 cm và đến vị trí có li độ - 2,5 2 cm; trong 1/8 chu kì tiếp theo kể từ vị trí có li độ - 2,5 2 cm vật đi đến vị trí có li độ x2 = - 5 cm nên đi được quãng đường 5 – 2,5 2 = 1,46 (cm). Vậy quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 là ∆S = 70 + 1,46 = 71,46 (cm). vtb = t
S
∆
∆
= 19,7 cm/s.
6. Khi đến vị trí cân bằng lần đầu tiên hai vật đều đạt vận tốc (cực đại) v = ω∆l = 2 k
m ∆l. Sau đó vật
m1 dao động điều hòa với tần số góc ω’ = k
m , chu kì T’ = 2π m
k , biên độ A’ = ' v
ω = 2
∆l
, còn m2
thì chuyển động thẳng đều với vận tốc v. Sau thời gian t = ' 4 T
= 2 π m
k vật m1 đến vị trí biên (vị trí lò xo có chiều dài cực đại). Do đó khoảng cách giữa hai vật lúc này là:
∆s = v.t – A’ = 2 k
m ∆l. 2 π m
k - 2
∆l
= 2
∆l (2
π
– 1) = 3,23cm.
7. Trong quá trình dao động điều hòa, vận tốc có độ lớn càng nhỏ khi càng gần vị trí biên, nên trong 1 chu kì vật có vận tốc không vượt quá 20π 3 cm/s là
2 3
T
thì trong 1
4 chu kỳ kể từ vị trí biên vật có vận tốc không vượt quá 20π 3 cm/s là 6
T
. Sau khoảng thời gian 6 T
kể từ vị trí biên vật có |x| = Acos3 π
= 5 cm. ω = A2 x2
v
− = 4π rad/s T = ω π 2
= 0,5 s.
8. Trong quá trình dao động điều hòa, vận tốc có độ lớn càng lớn khi càng gần vị trí cân bằng, nên trong 1 chu kì vật có vận tốc không nhỏ hơn 40π 3 cm/s là 3
T
thì trong 1
4 chu kỳ kể từ vị trí cân bằng vật có vận tốc không nhỏ hơn 40π 3 cm/s là 12
T
. Sau khoảng thời gian 12 T
kể từ vị trí cân bằng vật có
|x| = Asin6 π
= 4 cm ω = A2 x2 v
− = 10π rad/s T = ω π 2
= 0,2 s.
9. Trong quá trình vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có độ lớn càng nhỏ khi càng gần vị trí cân bằng. Trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là 3
T
thì trong một phần tư chu kì tính từ vị trí cân bằng, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là 12
T
. Sau khoảng thời gian 12 T
kể từ vị trí cân bằng vật có |x| = Acos6
π
= 2 A
= 2,5 cm.
Khi đó |a| = ω2|x| = 100 cm/s2ω = | |
|
| x a
= 2 10 = 2π f = π ω
2 = 1 Hz.
10. Trong quá trình vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có độ lớn càng lớn khi càng gần vị trí biên.
Trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 500 2 cm/s2 là 2
T
thì trong một phần tư chu kì tính từ vị trí biên, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 500 2 cm/s2 là 8
T
. Sau khoảng thời gian 8 T
kể từ vị trí biên vật có |x| = Acos 4 π
= 2
A
= 2 2 cm.
Khi đó |a| = ω2|x| = 500 2 cm/s2ω = | |
|
| x a
= 5 10 = 5π f = π ω
2 = 2,5 Hz.
III. Viết phương trình dao động của vật dao động, của các con lắc lò xo và con lắc đơn.
* Các công thức:
+ Phương trình dao động của con lắc lò xo: x = Acos(ωt + ϕ).
Trong đó: ω = m k
; con lắc lò xo treo thẳng đứng: ω = m k
= 0 g
∆l ; A =
2 0 2
0
+
ω x v
=
2 2
4 2
a v
ω +ω cosϕ = A
x0
; (lấy nghiệm "-" khi v0> 0; lấy nghiệm "+" khi v0< 0); với x0 và v0 là li độ và vận tốc tại thời điểm t = 0.
Khi dao động điều hòa, con lắc lò xo chuyển động trên quỹ đạo là một đoạn thẳng có chiều dài: L = 2A.
+ Phương trình dao động của con lắc đơn: s = S0cos(ωt + ϕ).
Trong đó: ω = l g
; S0 =
2
2 v
s + ÷ ω =
2 2
4 2
a v
ω +ω
; cosϕ = 0 s
S ; (lấy nghiệm "-" khi v > 0; lấy nghiệm
"+" khi v < 0); với s = αl (α tính ra rad) là li độ dài; v là vận tốc tại thời điểm t = 0.
+ Phương trình dao động của con lắc đơn có thể viết dưới dạng li độ góc:
α = α0cos(ωt + ϕ); với s = αl; S0 = α0l (αvà α0 tính ra rad).
* Phương pháp giải:Dựa vào các điều kiện bài toán cho và các công thức liên quan để tìm ra các giá trị cụ thể của tần số góc, biên độ và pha ban đầu rồi thay vào phương trình dao động.
Lưu ý: Sau khi giải một số bài toán cơ bản về dạng này ta rút ra một số kết luận dùng để giải nhanh một số câu trắc nghiệm dạng viết phương trình dao động:
+ Nếu kéo vật ra cách vị trí cân bằng một khoảng nào đó rồi thả nhẹ (v0 = 0) thì khoảng cách đó chính là biên độ dao động. Nếu chọn gốc thời gian lúc thả vật thì: ϕ = 0 khi kéo vật ra theo chiều cùng chiều với chiều dương; ϕ = π khi kéo vật ra theo chiều ngược chiều với chiều dương.
+ Nếu từ vị trí cân bằng (x0 = 0), truyền cho vật một vận tốc để nó dao động điều hòa thì vận tốc đó chính là vận tốc cực đại, khi đó: A =
vmax
ω , (con lắc đơn S0 = vmax
ω ). Nếu chọn gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật thì: ϕ = - 2
π
nếu chiều truyền vận tốc cùng chiều với chiều dương; ϕ = 2 π
nếu chiều truyền vận tốc ngược với chiều dương.
* Bài tập minh họa:
1. Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100 g và lò xo khối lượng không đáng kể, có độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng theo phương thẳng đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng một đoạn 5 cm và thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Chọn trục tọa độ Ox thẳng đứng, gốc O trùng với vị trí cân bằng; chiều dương là chiều vật bắt đầu chuyển động; gốc thời gian lúc thả vật. Viết phương trình dao động của vật.
2. Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m = 400 g, lò xo khối lượng không đáng kể, có độ cứng k = 40 N/m. Kéo vật nặng ra cách vị trí cân bằng 4 cm và thả nhẹ. Chọn chiều dương cùng chiều với chiều kéo, gốc thời gian lúc thả vật. Viết phương trình dao động của vật nặng.
3. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là 40 3 cm/s. Lấy π = 3,14. Viết phương trình dao động của chất điểm.
4. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào lò xo khối lượng không đáng kể. Chọn trục tọa độ thẳng đứng, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương từ trên xuống. Kéo vật nặng xuống phía dưới, cách vị trí cân bằng 5 2 cm và truyền cho nó vận tốc 20π 2 cm/s theo chiều từ trên xuống thì vật nặng dao động điều hoà với tần số 2 Hz. Chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động. Viết phương trình dao động của vật nặng.
5. Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có khối lượng m = 100 g, được treo thẳng đứng vào một giá cố định. Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo giãn 2,5 cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới cách O một đoạn 2 cm rồi truyền cho nó vận tốc 40 3 cm/s theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Chọn trục tọa độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc tại O, chiều dương hướng lên trên; gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Lấy g = 10 m/s2. Viết phương trình dao động của vật nặng.
6. Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 90 rồi thả nhẹ.
Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s2, π2 = 10. Chọn gốc thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu của vật. Viết phương trình dao động theo li độ góc tính ra rad.
7. Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Lấy g = 10 m/s2, π2 = 10. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài. Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 rad và vận tốc v = - 15,7 cm/s.
8. Một con lắc đơn có chiều dài l = 20 cm. Từ vị trí cân bằng truyền cho con lắc vận tốc 14 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8 m/s2. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài.
Chọn góc thời gian lúc bắt đầu truyền vận tốc cho vật.