CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.3. Thiết lập công thức ma trận kết cấu tấm Mindlin trên nền đàn nhớt sử dụng phần tử chuyển động MEM
Để thiết lập phương trình ứng xử của bài toán tấm trên nền đàn nhớt, luận văn sử dụng nguyên lý công ảo được phát biểu như sau: nếu một vật thể biến dạng được cân bằng thì công nội ảo bằng với công ngoại ảo đối với bất kỳ chuyển vị khả dĩ động.
Công nội ảo của kết cấu tấm được cho bởi:
tw, = ỔUb = IJ Ốx/D^dxdy +1J Ố/D^dxdy
=(5d)r nr’/wMi {đ} + <2-32’
ôớ:rB/D.B,Jd,dớ(d}
trong đó:
=B/A Y = Bd (2.33)
với B(1, B5 lần lượt là các ma trận gradient biến dạng uốn và gradient biến dạng cắt của phần tử tấm và được xác định như sau:
Công nội ảo của kết cấu tấm trên nền đàn nhớt được cho bởi:
ỖWE = ỔW£ + ỔWE + ỔWE + ỔWE
trong đó:
Công ảo gây ra do lực phân bố đều p
WE =J(Ju)rbdxdy
Q
Công ảo gây ra do lực quán tính
1.00000 00000 0.55555 55555 0.88888 88888
0 Nix 0
0 0 Ni,y
0 Ni.y
Ni<x Nt 0
N-,y 0 (2.34)
(2.35)
(2.36) với b = [p(x,y) 0 là véctơ tải trọng.
Cơ sở lý thuyết 23
WE = -J Ị^ỞU) mùaxạy n
với m là ma trận khối lượng và được xác định bởi
w£ = - J (ốw)r kfwdxdy á Công ảo gây ra do lực cản của nền
WE = -J ( cfwdxdy
Luận văn nghiên cứu bài toán tấm chịu tải trọng hãm. Giả sử tải trọng hãm
theo phương X với vận tốc V = vo+at. Bằng cách sử dụng phương pháp MEM, phương trình động học được chuyển sang một hệ tọa độ (r, ó’) gắn liền với tải trọng hãm. Trong đó, trục r di chuyển cùng vận tốc với tải họng di động. Mối quan hệ giữa hai trục tọa độ được xác định như sau:
(2.41) (2.42) hay
(2.43)
5 = y (2.44)
trong đó (x, y) lần lượt là hệ tọa độ cố định; (r,s) lần lượt là hệ tọa độ chuyển động; V, a và t lần lượt là vận tốc, gia tốc và thời gian di chuyển.
Khi đó trường chuyển vị và các đạo hàm riêng trong hệ tọa độ chuyển động được biểu diễn như sau:
(2.37)
h 0 0
o h3
m = p 0 — n 0 w
12.
Công ảo gây ra do lực đàn hồi của nền
(2.38)
(2.39)
(2.40)
y = s
Cơ sở lý thuyết 24
w(r,s) = w(x,y)
< £(r,s) = £(x,y) A(r’s)=A(x^)
Từ phương trình (2.43), các đạo hàm của r theo t được xác định bởi:
Sử dụng đạo hàm riêng phần đối với các biến, đạo hàm của w, Px, Ạ theo r, s, t lần lượt được xác định bởi:
ổw(x,y) = ổw(r,s) d/3x(x,y) = ôpx(r,s) õ/3y(x,y) = ô/3y(r,s)
ĩ ĩ
õy ’ õy õs ’ õy õs
, ổw(x,y) ổw(r,s) ổw(r,s)
(2.50) (2.51) (2.52)
, miền này là íì = [o L] X [o B] , trong đó L, B là kích thước tấm.
(2.45)
(2.46)
(2.47)
(2.48)
(2.49)
trongđốú = pv px của trường chuyển vị u.
Tại thời điểm bất kỳ
, <1 = px py J lan lượt la đạo hàm cấp một và cấp hai
(x,y) là
t, miên bài toán được khảo sát trong hệ tọa độ cô định ai2 T . . ai2
£2 0 + Vgt H L + Vgt H X hay
Q'= vn- , at2T ,r 0t+2 L +
V°‘ X [o . Tuy nhiên, trong hệ tọa độ chuyển động (r, í)
= —V = -Vo - at
r
Cơ sở lý thuyết 25
Toán tử Lb trong công thức (2.7) và toán tử L, trong công thức (2.13) trong hệ tọa độ chuyển động được viết lại
0 — n 1
L6=
õs dr J
Khi đó công nội ảo dong hệ tọa độ chuyển động được xác định như sau:
= J(Mu)7 DẾ (LẾu)drds+J(L/u)r D (L,u)dnfc
õ õ
Tương tự công ngoại ảo dong hệ tọa độ chuyển động được cho bởi:
õwẻ = j pJudrds1 ỡ
ỔW™ = -í(ốu)rm ú-2v—+ví 2ệ^-a^- drdí
J, õr õr dr)
nr õ
Tổng công ngoại ảo:
JWj. = J (ốu)r pdrdí -
ó ì
- J(ốw)Tc/Í W-V'
ố V
trong đó:
SWp = - J (ốw)r kfwủrảs
với
— drdí
/
2 Ổ u _ ổu , , . V —ỉr-a—- drds +
ôr ôr2 ôr J J (ốvv)7 kfwărãs
õ
u = [N]{d}
w = [N,]{d}
(2.53)
(2.54)
(2.55) (2.56) (2.57) (2.58)
(2.59)
(2.60) (2.61)
Cơ sở lý thuyết 26
Thay công thức (2.60) và (2.61) vào (2.54) và (2.59), phương trình công nội và công ngoại ảo được viết lại:
sw, = {<5d}r fB/D1,BídniJ + fB,rD,B,d/* {d}
_õ õ
trong đó B;, B lần lượt là các ma trận gradient biến dạng uốn và gradient biến dạng cắt của phần tử tấm ửong hệ tọa độ chuyển động và được xác định như sau:
ỐW£={£dfJpNrdrds +
{ốdf J[-mNrN{ ■ + 2mvNrN r {d| + (moNrN r-mv2NrN „){d}]drdi + w f[- C,NX(■>}+ (‘•?’NX, - ựA)W]H<
= {ốd}r - JpNdnls +
J(maNrN, -mv2NrN„ + czvN>.
õ
J(2mvNrN r - )drds {đ} + f (-mNrN)drds {d} ►
Q Q
Cân bằng công nội ảo và công ngoại ảo, phương trình được xác định:
ôF, ={ô}rf(M.{d} + C,{d} + K.{d})drdS
Q
Áp dụng phương pháp Galerkin và sử dụng các hàm dạng chuyển vị N, các véctơ lực, ma trận khối lượng, cản và độ cứng của phần tử tấm lần lượt được xác định như sau:
X 0 0 N2 0 0 . .. N9 0 0
N = 0 0 0 N2 0 . .. 0 N9 ■ 0 0 0 0 0 N2. .. 0 0 N9_ NW=|X 0 0 N2 0 0 ... N9 0 0]
(2.62)
(2.63)
(2.64)
~0 N 0 ■
ỉ,r \NtrNi 01 0 0 i,s , B, = l,r l
Nis 0 N 0 N. N. i,s i,r l,s l
(2.65)
w,r
(2.66) -^NX)drd5{d} +
w,r
Bfc =
Cơ sở lý thuyết 27
F = J pNrdrds Mc=jNrmNdrds
ce = J(-2mvNrNr+C/NrwNw)drdS
Kc = J B/DAdrds + J B,rD,B,drds +
+J(mv2NrN^ -C/vNX, +ựx -môNrNr)drd5 với ( ) r là đạo hàm theo r và ( ) là đạo hàm cấp hai theo r .
Như vậy cuối cùng phương trình tổng quát chuyển động của các phần tử tấm Mindlin được viết như sau:
Meu(O + Ceũ(í) + Keu(O = P(í) với u(t) là véctơ chuyển vị theo thời gian của phần tử tấm.
Vậy phương trình tổng quát của mô hình phần tử tấm chuyển động có dạng như sau:
Mz + Cz + Ku - p
trong đó z là véc tơ chuyển vị tổng thể; M, c và K là các ma trận khối lượng tổng thể, cản tổng thể và độ cứng tổng thể; p là véc tơ tải tổng thể.