CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.6. Giải pháp thực hiện
Cho đến nay, có khá nhiều phương pháp để giải phương trình chuyển động trong bài toán động lực học kết cấu, thực ra đây là hệ phương trình vi phân thường cấp 2. Các phương pháp này có thể chia thành hai nhóm là: nhóm các phương pháp giải tích và nhóm các phương pháp số. Các phương pháp giải tích là những phương pháp cho nghiệm của hệ gồm các chuyển vị, vận tốc, gia tốc dưới dạng các biểu thức giải tích. Các phương pháp số là tìm nghiệm của phương trình chuyển động dưới dạng số, tức là giá trị của nghiệm gồm có chuyển vị, vận tốc và gia tốc... bằng số tại các thời điểm theo thời gian. Ưu nhược điểm của hai phương pháp trên được đánh giá như sau.
Các phương pháp giải tích chỉ thực hiện được với các hệ kết cấu có phương trình chuyển động tương đối đơn giản... do những hạn chế liên quan đến toán học trong việc giải những phương trình vi phân. Nên các phương pháp giải tích chỉ phù hợp trong việc tìm nghiệm của những hệ kết cấu ít bậc tự do trong các mô hình lý thuyết và vì vậy ít có ý nghĩa thực tiễn và hầu như ít được ứng dụng.
Ngược lại, các phương pháp số tìm giá trị của nghiệm tại các thời điểm rời rạc trên toàn miền thời gian được sử dụng rất phổ biến hiện nay do những ưu điểm như sau: có thể giải quyết hầu hết các phương trình chuyển động từ đơn giản đến phức tạp, tương ứng với mọi dạng kết cấu, tận dụng sự hỗ trợ tính toán nhanh chóng của máy vi tính, độ chính xác của nghiệm là thỏa đáng.
Hoàn thiện và phát triển phương pháp số giải phương trình chuyển động trong bài toán động lực học kết cấu vẫn đang là vấn đề thu hút được rất nhiều sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Nhiều bài báo, công trình nghiên cứu trong lĩnh vực này đã được công bố trong những năm gần đây và ngay hiện tại vấn đề này vẫn là một hướng nghiên cứu rất có tính thời sự trong lĩnh vực động lực học kết cấu. Khi sử dụng phương pháp số để tìm nghiệm của phương trình chuyển động, các đại lượng như chuyển vị, vận tốc, gia tốc đều phụ thuộc
Cơ sở lý thuyết 34
theo thời gian và có giá trị khác nhau tại các thời điểm. Nghiệm số của chúng được tìm dưới dạng giá trị rời rạc tại các thời điểm 0, Ai, 2At... với Aí là bước thời gian.
Từ năm 1959, Newmark lần đầu tiên đưa ra họ các phương pháp Newmark p dạng ẩn để giải phương trình chuyển động. Đây là bước khởi đầu để nghiên cứu cách giải phương trình chuyển động trong bài toán kết cấu. Theo đánh giá của Newmark thì họ phương pháp này có thể áp dụng được, và một số tài liệu gọi là phương pháp tích phân trực tiếp từng bước và chỉ khảo sát hai trường hợp đơn giản nhất là phương pháp gia tôc trung bình Y =
=-- và phương pháp gia tôc tuyên tính /=",/? = "2. Ong
2 4 2 6
nhận xét là phương pháp gia tốc trung bình có độ chính xác vừa phải và ổn định không điều kiện cho hệ tuyến tính, trong khi phương pháp gia tốc tuyến tính có độ chính xác tốt hơn nhưng ổn định có điều kiện trong hệ tuyến tính.
Cuối thập niên 70, một loạt các phương pháp khác nhau dựa trên nền tảng của phương pháp Newmark đã được nghiên cứu và công bố bởi các tác giả ở Đại học Berkeley như phương pháp Wilson của Wilson; phương pháp HHT của Hilber, Hughes và Taylor;
phương pháp HHỚ của Hilber và Hughes. Các tác giả này xem xét lại phương pháp Newmark và kiểm chứng cẩn thận lại các đặc tính về độ chính xác, ổn định và đề xuất cải tiến bằng cách thêm các tham số như 0 cho phương pháp Wilson, a cho phương pháp HHT;
và ỵ, p, 0 cho phương pháp HHỚ. Đây cũng chính là các tác giả đã xây dựng và phát triển phần mềm SAP 2000 phân tích kết cấu rất nổi tiếng mà các kỹ sư xây dựng hay dùng. Trong mô đun phân tích động lực học của phầm mềm này, thuật toán của phương pháp Newmark được sử dụng chủ yếu từ SAP IV đến SAP 90, SAP 2000; gần đây phần mềm SAP 2000 phiên bản mới ra đời khoảng 2007
Cơ sở lý thuyết 35
đã đưa thêm vào các phương pháp Wilson hoặc HHT để người sử dụng tự lựa chọn thuật toán trong phân tích động lực học. Trong các phần mềm phân tích kết cấu khác như ETABS, SAMCEF, ANSYS cũng dùng thuật toán của phương pháp Newmark cả gia tốc trung bình và gia tốc tuyến tính trong mô đun phân tích động lực học, thuật toán này được trình bày chi tiết về cơ sở lý thuyết trong phần hướng dẫn sử dụng của phần mềm. Trong thời gian gần đây, cũng có nhiều phương pháp số dạng ẩn để giải phương trình chuyển động trong bài toán kết cấu được nghiên cứu. Tuy nhiên các phương pháp đó vẫn chỉ là hiệu chỉnh các thông số của các phương pháp trên và còn đang trong quá trình thử nghiệm số.
2.7. Phưoưg pháp Newmark
Ý tưởng của phương pháp là từ giá trị của nghiệm đã biết tại thời điểm i suy ra giá trị của thời điểm tại ỉ +1 bằng các giả thiết khác nhau về sự biến thiên của gia tốc trong từng bước thời gian. Phương pháp Newmark có hai cách tìm nghiệm: dạng gia tốc và dạng chuyển vị.
Bằng cách xấp xỉ sự biến thiên của gia tốc trong mỗi bước thời gian, biểu thức của vận tốc và chuyển vị trong mỗi bước thời gian được suy ra thông qua các phép tích phân từ phương trình vi phân gia tốc. Giá trị của vận tốc và chuyển vị được đề xuất bởi các phương trình sau:
(1- /)Aíi 'i+1
(2.87) trong đó độ lớn bước thời gian là Aí; giá trị gia tốc tạ ri điểm t, t + Aí tương ứng kí hiệu chỉ số lần lượt là i, ỉ’+1 được kí hiệu lần lượt lã ù ị, wi+1.
Thay hai phương trình trong (2.87) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là i +1 như sau:
Mí’ ìí+1+Kuí+1 =Ẹ.+1
Ị trình đại số tuyến tính với ẩn số là gia tốc tại thời điểm cuối của bước thời gian ủỉ+1 có dạng:
(2.88) Kết quả thu được hệ
Cơ sở lý thuyết 36
(2.89) với Me# là khối lượng hiệu dụng và Pe# là tải trọng hiệu dụng ương từng bước thời gian chúng được xác định bởi các biểu thức sau:
= M+CyA/+ K/JA/2
P^=Pi+1-Kui-(C+KAr)í
Giải hệ phương trình đại số bước thời gian là ui+1. Thay giá tn gia toe ủi+1 vừa tim được vào phương
trình (2.87) suy ra được giá trị của vận tốc ui+1 và chuyển vị ui+1 tại thời điểm ỉ +1.
Một hướng khác để giải phương trình chuyển động thep phương pháp Newmark mà không dùng cách nghịch đảo ma trận khối lượng hiệu dụng Me# trong (2.90) như trong dạng gia tốc mà nghịch đảo ma trận độ cứng hiệu dụng để suy ra chuyển vị nên gọi là dạng chuyển vị để tìm nghiệm phương trình.
Từ hai phương trình trong (2.87), suy ra biểu thức của gia tốc ui+1 và vận tốc ui+1 tại thời điểm cuối của bước thời gian ỉ +1 theo các đại lượng còn lại như sau:
1 , . 1. <1 Y
U.+1-U ---
(2.91)
u““l‘ 7/'T’7®r“'
Thay hai phương trình trong (2.87) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là i +1, kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là chuyển vị tại điểm cuối bước thời gian uj+1 có dạng là:
(2.92) với là độ cứng hiệu dụng và Pe# là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian theo dạng chuyển vị và chúng được xác định bởi các biểu thức dưới đây:
ì
Giải phương trình đại số tuyến tính (2.92) thu được giá trị của chuyển vị tại cuối bước thời gian uí+1.
Cơ sở lý thuyết 37
Thay giá trị chuyển vị ui+1 vừa tìm được vào các phương trình (2.91) suy ra giá trị của vận tốc ui+1 và gia tốc ui+1.
Cuối cùng, tất cả các giá trị chuyển vị, vận tốc và gia tốc đều được tính toán lần lượt theo các bước thời gian và thông số cho trước.
2.8. Thuật toán sử dụng trong luận văn
Luận văn sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình tìm nghiệm ở dạng chuyển vị. Phân tích bài toán được chia thành 2 pha:
- Pha 1: Vật chuyển động với vận tốc ban đầu vo
- Pha 2: Vật chịu tải trọng hãm, vận tốc của vật giảm từ vo tới 0.
Các bước để giải phương trình chuyển động trong luận văn theo phương pháp Newmark được trình bày như sau:
2.8.1. Thông số đầu vào
Các bước tiến hành trong luận văn như sau:
- Xác định các dữ liệu của bài toán gồm: các thông số kết cấu tấm Mindlin bên trên gồm có trọng lượng riềng p, kích thước (L, B, h), module đàn hoi E, hệ số Poission V của tấm; các thông số của đất nền đàn nhớt gồm: độ cứng của đất nền fey và độ cản của nền cy . Vận tốc của lực di chuyển V. Các thông số lần lượt được liệt kê trong Bảng 2.3 và Bảng 2.3.
Cơ sở lý thuyết 38 Bảng 2.2. Thông số tấm Mindlin
Module đàn hồi Hệ số Kích thước tấm Trọng lượng riêng
(N/m2) Poison (m) (kg/m3)
L
E V B p
h Bảng 2.3. Thông số nền đàn nhớt
Hệ số độ cứng nền (N/m3)
TTẠ Ấ -4- A f Ầ
Hệ so độ cản nen (N.s/m3)'
kf Cf
Bảng 2.4. Thông số xe Lực tập trung
(N)
Vận tốc xe (m/s)
Gia tốc hãm (m/s2)
Khoảng cách 2 bánh xe (m) Bánh trước Bánh sau
p Vo a<ie a b
- Thiêt lập các ma ưận khôi lượng M, các ma trận độ cứng K, ma trận cản c của kết cấu tấm và nền bằng cách ghép nối ma trận.
- Xác định ma trận tải trọng tác dụng lên tấm cần khảo sát. Sau đó thiết lập phương trình chuyển động và chọn bước thời gian Aí.
- Nhập điều kiện ban đầu u0, u0 và u0 = M 1 (Po -Cu0 -Ku0).
- Rời rạc hóa véctơ tải trọng theo biến thời gian.
- Giải phương trình chuyển động bằng phương pháp tích phân Newmark.
- Giải bài toán theo dạng tìm chuyển vị, xuất các kết quả, vẽ biểu đồ và lập bảng thống kê để phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến chuyển vị của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt.
- Rút ra nhận xét, đánh giá và kết luận.
2.8.2. Giải bài toán theo dạng chuyển vị
Bài toán dạng chuyển vị được giải theo trình tự sau:
- Xác định ma trận khối lượng hiệu dụng theo (2.90)
- Tính véctơ tải trọng hiệu dụng tại thời điểm ỉ+1 theo (2.90)
Cơ sở lý thuyết 39
- Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.89) tìm gia tốc tại thời điểm ỉ’ + l là
U,+1
- Tìm giá trị vận tốc và chuyển vị tại thời điểm ị +1 theo các phương trình (2.87) 2.8.3. Giải bài toán theo dạng gia tốc
Bài toán dạng gia tốc được giải theo trình tự sau:
- Xác định ma trận khối lượng hiệu dụng theo (2.93)
- Tính véctơ tải trọng hiệu dụng tại thời điểm ỉ +1 theo (2.93)
- Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.92) để tìm chuyển vị tại thời điểm ỉ +1 là ui+1
- Tìm các giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm ị +1 theo các phương trình (2.91) 2.8.4. Độ ổn định và hội tụ của phưong pháp Newmark
Ă , , 1 v „ 1
Như đâ đê cập trong [50], phương pháp Newmark với 7 = 2 và p = — ""i là phương pháp gia tốc trung bình cho sự ổn định không điều kiện và độ ' tốt.
Do đó luận văn này sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình và 1 ,
p = 4 đê giải các bài toán.
Bước thời gian cần thiết để đạt được độ ổn định và hội tụ sẽ được tiến hành kiểm tra trong luận văn.
Luận vãn này sử dụng phương pháp Newmark và ngôn ngữ lập trình Matlab phiên bản 7.13 (R201 lb) để tìm nghiệm dạng chuyển vị.
2.9. Lưu đồ tính toán
Lưu đồ tính toán của bài toán được trình bày trong Hình 2.12. Chương trình tính toán được lập trình theo lưu đồ này. Các ma trận được tính toán bằng tích phân Gauss, sau đó giải tìm chuyển vị bằng phương pháp Newmark. Kết quả xuất ra sẽ được dung để vẽ biểu đồ cũng như lập bảng thống kê nhằm phân tích và đánh giá kết quả.