CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ
3.1. Kiểm chứng giải thuật và khảo sát độ hội tụ
3.1.1. Bài toán 1: Kiểm tra sự hội tụ và độ tin cậy của chưong trình khi tính toán với bài toán tĩnh
Độ tin cậy của chương trình khi tính toán với bài toán tĩnh được thực hiện bằng cách xét bài toán tấm Mindlin trên nền đàn hồi chịu tải trọng tĩnh tại vị trí tâm hình học của tấm.
Kích thước chiều dài và chiều rộng và bể dày của tấm tương ứng là L = 20(m), B = lOộn)
Kết quả phân tích số 43
và h = 0.5(m). Bốn biên của tấm có điều kiện biên đều là biên ngàm.
Mô hình của tấm được minh họa như trong Hình 3.1. Tấm có module đàn hồi E = 1.5625 xlOlo(7V7 m2), hệ số Poison y = 0.35 và trọng lượng riêng p = 2440(kg/m3), Xét bài toán được kiểm tra cho hai trường hợp, tấm đặt trên nền đàn hồi là nền Winkler có độ cứng đàn hồi kf = 9.5xlO7(TV /zn3), và tấm không đặt trên nền (kj=ũ).
Hình 3.1. Mô hình tấm Mindlin trên nền đàn hồi
Kết quả phân tích số 44
Tấm được chia theo các lưới mịn dần với số lượng phần tử theo phương X và y lần lượt là 4x2, 8x4, 16x8, 32x16, 64x32, 96x48, 128x64 theo các lưới chia của các phương pháp khác nhau để khảo sát sự hội tụ cho bài toán.
Kết quả tính toán từ giải thuật trong luận văn được so sánh với kết quả của phần mềm thương mại SAP2000 V.14 (sử dụng phần tử tứ giác 4 điểm nút), phương pháp phần tử hữu hạn 3 điểm nút (FEM3), phương pháp phần tử hữu hạn 9 điểm nút (FEM9).
Hình 3.2. Sự hội tụ của chuyển vị tại vị trí đặt lực trên tấm
Sự hội tụ của chuyển vị tại vị trí đặt lực của các phương pháp trên tương ứng với các lưới chia phần tử được thể hiện trong Hình 3.2 và Bảng 3.5. So sánh giá trị chuyển vị ở các kết quả trong Hình 3.2, Bảng 3.5, ta có thể thấy rằng các phương pháp đều cho nghiệm chuyển vị tiến dần đến giá trị hội tụ khi số phần tử tăng lên. Kết quả phân tích tĩnh bằng phương pháp MEM và FEM 9 điểm nút cho kết quả trùng khít nhau do 2 phương pháp đều sử dụng phần tử có 9 điểm nút.
Tùy theo phương pháp mà có độ hội tụ nhanh hay chậm do số điểm nút phần tử của phương pháp. Trong các phương pháp được khảo sát để so sánh, phương pháp MEM cho sự hội tụ nhanh hơn các phương pháp còn lại do sử dụng phần tử có số nút lớn hơn (MEM sử dụng phần tử có 9 điểm nút so với SAP2000 sử dụng phần tử có 4 điểm nút và FEM 3 sử dụng phần tử có 3 điểm nút). Mặc khác, với cùng một độ mịn lưới chia phần tử, phương pháp MEM cho nghiệm gần với giá trị hội tụ nhất.
Các kết quả trên chứng tỏ rằng phương pháp MEM cho kết quả đáng tin cậy và hoàn
SAP2000 FEM9 FEM3 MEM Nghiệm hội tụ
Kết quả phân tích số 45
toàn giống phương pháp FEM truyền thống với số điểm nút tương đương khi sử dụng để phân tích tĩnh bài toán tấm Mindlin chịu tải tập trung.
Bảng 3.5. Sự hội tụ của chuyển vị w (xlO'5 m) tại vị trí đặt lực ứng với các hệ số kf kf Phương pháp _______________________ Lưới phần tử __________________
(N/m3) 8x4 16x8 32x16 64x32 96x48 128x64
MEM -1.828 -2.246 -2.403 -2.504 -2.560 -2.599 FEM3 -1.835 -1.889 -2.103 -2.256 -2.327
9.5X107 FEM9 -1.828 -2.246 -2.403 -2.504 -2.560 -2.599 SAP2000 -1.609 -2.145 -2.302 -2.389 -2.425 -2.476
Nghiệm hội tụ -2.599
MEM -7.408 -8.571 -8.808 -8.915 -8.971 -9.010 FEM3 -7.408 -8.571 -8.808 -8.915 -8.971 -9.010 0 FEM9 -7.208 -7.792 -8.371 -8.630 -8.721
SAP2000 -8.308 -8.714 -8.724 -8.771 -8.814 -8.848
Nghiệm hội tụ -9.031
So sánh sự sai lệch trong kết quả chuyển vị của các phương pháp với kết quả nghiệm hội tụ được thể hiện trong Bảng 3.6. Xét lưới phần tử 96x48 phần tử, phương pháp MEM với lưới phần tử 96x48 cho sai số thấp hơn lưới tương đương của các phương pháp khác.
Đối với tấm đặt trên nền đàn hồi, MEM cho sai số chỉ 1.51% so với nghiệm hội tụ, trong khi sai so này của phương pháp FEM3 là 10.48% và của SAP2000 là 6.71%. Đối với bài toán tấm tự do có 4 biên ngàm, sai số của MEM so với nghiệm hội tụ là 2.3%, trong khi đó sai số so với nghiệm hội tụ của FEM3 là 11.91% và của SAP2000 là 8.36%. Dễ dàng thấy rằng, phương pháp MEM với phần tử 9 điểm nút cho giá trị nghiệm bài toán có độ chính xác cao hơn các phương pháp còn lại. Đây là ưu điểm của phần tử 9 điểm nút vì nghiệm của bài toán đạt đến độ hội tụ nhanh. Do những ưu điểm này, việc sử dụng phương pháp MEM với 9 điểm nút cho các bài toán phức tạp và cần sự hội tụ nhanh là phù hợp.
Kết quả phân tích số 46
Bảng 3.6. Sai số (%) chuyển vị so với nghiệm hội tụ của các phương pháp với lưới chia phần tử 96x48
kf
(N/m3)
Phương pháp
MEM FEM9 FEM3 SAP2000
9.5X107 1.51 1.51 10.48 6.71
0 2.30 2.30 11.91 8.36
Sử dụng lưới phần tử 96x48 để vẽ chuyển vị của tấm trên nền đàn hồi theo hai phương X (cạnh dài tấm) và phương y (cạnh ngắn tấm). Kết quả chuyển vị dọc trục qua trọng tâm của tấm theo phương X và phương y được thể hiện trong Hình 3.3 và Hình 3.4. Kết quả cho thấy các phương pháp sử dụng để khảo sát cho kết quả có sai số không lớn, trong đó, như đã trình bày trong Bảng 3.6, sai số của phương pháp MEM so với nghiệm hội tụ là nhỏ nhất. Kết quả này khẳng định tính chính xác của giải thuật được sử dụng trong luận văn.
Hình 3.3. Chuyển vị dọc theo trục qua trọng tâm của tấm theo phương X
Kết quả phân tích số 47
Hình 3.4. Chuyển vị dọc theo trục qua trọng tâm của tấm theo phương y
Khảo sát sự khác biệt giữa chuyển vị của tấm đặt trên nền đàn hồi và tấm tự do được thể hiện trong Hình 3.5. Hình này so sánh chuyển vị dọc true qua trọng tâm của tấm theo phương X (phương cạnh dài của tấm) ứng với 2 trường hợp nền có hệ số nền kf = 9.5x1 ó7 N Im và kf=QN In? .Dễ thấy rằng chuyển vị của tấm trên nền đàn hồi (- 2.5ÓX10'5m) nhỏ hơn chuyển vị tấm không đặt trên nền đàn hồi (-8.97xl0‘5 m) hơn 3.5 lần. Điều này chứng tỏ việc gia cố nền (tăng hệ số nền) để giảm chuyển vị của tấm là rất hiệu quả.
Kết quả phân tích số 48
Hình 3.5. Chuyển vị dọc theo trục qua trọng tâm của tấm theo phương y ứng với tấm đặt trên nền đàn hồi và tấm không đặt trên nền đàn hồi
3.1.2. Bài toán 2: Kiểm tra sự hội tụ của chương trình khỉ tính toán với bài toán động
Bài toán để khảo sát độ tin cậy của chương trình sẽ khảo sát tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng của tải trọng xe di động. Tại pha 2 (pha hãm), xét gia tốc hãm ade = O(MI/
s2) nhằm đưa về bài toán đơn giản để so sánh với các kết quả có trước trong [4].
Tải trọng của xe được quy về một tải trọng tập trung di chuyển với vận tốc V dọc theo dọc theo chiều dài của tấm được mô hình như trong Hình 2.3. Thông số kích thước tấm, thông số vật liệu và thông số nền được cho trong Bảng 3.1, Bảng 3.2, Bảng 3.3. Tấm được rời rạc hóa thành các phần tử có kích thước l(m) X l(m).
Do sử dụng phương pháp Newmark, việc xác định bước lặp thời gian hợp lý là cần thiết nhằm đảm bảo tính chính xác của kết quả. Luận văn tiến hành thực hiện khảo sát nghiệm của bài toán ứng với các bước thời gian o.ls, 0.05s, 0.01s, 0.005s, 0.0025s, 0.001 s với tải trọng di chuyển có dạng tải trọng điều hòa psin ——
Kết quả phân tích số 49
o.ls O.O5S — ■ - 0.01S --- 0.005s --- 0.0025s - - ■ 0.001s
Hình 3.6. Đường cong chuyển vị w theo các bước thời gian
Đường cong chuyển vị đứng w theo thời gian khi tính toán theo từng bước thời gian được thể hiện trong Hình 3.6. Dễ dàng nhận thấy rằng giá trị chuyển vị theo thời gian của các bước lặp nhỏ gần như trùng khít nhau, trong khi các bước lặp lớn Aí = 0.15; Aí =0.05s sẽ cho giá trị chuyển vị theo thời gian không giống nhau, đặt biệt là giai đoạn ban đầu.
Từ kết quả trên, với bước thời gian Aí < 0.015 thì các đường cong chuyển vị gần trùng nhau. Do vậy, chỉ cần lặp với bước thời gian Aí < 0.015 để đảm bảo độ chính xác của nghiệm. Trong luận văn này, tác giả sử dụng bước thời gian Aí = 0.015 và lưới phần tử có kích thước lmxlm để phân tích và tiến hành khảo sát các bài toán khác trong luận vãn.
3.1.3. Bài toán 3: Kiểm tra độ tin cậy của chưong trình khi tính toán vói bài toán động Để kiểm chứng độ tin cậy của chương trình, luận vãn so sánh trường hợp đơn giản nhất của bài toán (trường hợp không có tải hãm, vật chỉ chuyển động với vận tốc
Kết quả phân tích số 50
không đổi) nhằm so sánh với kết quả từ bài báo của Huang và Thambừatnam (2001) [23], Để so sánh với kết quả của Huang và Thambừatnam (2001) [23], luận văn tiến hành khảo sát bài toán với các thông số như trong Bảng 3.7, Bảng 3.8.
Bảng 3.7. Thông số tấm theo Huang và Thambừatnam (2001) [23]
Module đàn hồi E (N/m2)
Hệ số Poison V
Kích thước tấm (m)
Trọng lượng riêng p (kg/m3) L=100
3.1X1010 0.2 B =10 2440
h=0.3
Bảng 3.8. Thông số nền theo Huang và Thambữatnam (2001) [23]
Hệ số độ cứng nền TT/' Hệ so độ cản nen Ẩ -4- A f Ầ kf (N/m3) Cf (N.s/m3)
9.5xl07 lxio6
So sánh kết quả theo giải thuật của luận văn và theo Huang và Thambiratnam được thể hiện như trong Hình 3.7 và Bảng 3.9. Kết quả chuyển vị theo giải thuật của luận văn và theo kết quả của Huang và Thambữatnam sai lệch nhau rất bé (0.26% với chuyển vị cực đại).
Kết quả phân tích số 51
---- Luận văn * Huang và Thambứatnam (2001) [23]
Hình 3.7. So sánh chuyển vị dọc theo trục qua trọng tâm của tấm theo phương X với Huang và Thambữatnam (2001) [23]
Bảng 3.9. So sánh kết quả luận văn và Huang và Thambữatnam (2001) [23]
Huang và Thambữatnam (2001) [23]
Luận văn
Chuyển vị (xl0'6m) -4.828 -4.815
Sai lệch -0.26%
Từ kết quả so sánh giải thuật sử dụng trong luận vãn với Huang và Thambữatnam (2001) [23], có thể đánh giá được giải thuật trong luận vãn là đáng tin cậy và hoàn toàn có thể sử dụng để phân tích các bài toán trong luận văn.