Thế tương tác hiệu dụng trong mô hình Einstein tương quan phi điều hòa

CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH EINSTEIN TƯƠNG QUAN PHI ĐIỀU HÒA

2.1. Thế tương tác hiệu dụng trong mô hình Einstein tương quan phi điều hòa

Hình 2.1: Dao động tử điều hòa[47]. 

Như  chúng  ta  đã  biết,  khi  vật  liệu  ở  nhiệt  độ  thấp  hay  ở  điều  kiện  bình  thường, các nguyên tử trong vật liệu dao động rất nhỏ xung quanh vị trí cân bằng. 

Khi đó, dao động của các nguyên tử được coi như các dao động tử điều hòa (hình 2.1).  Đặc  trưng  cho  tương  tác  các  nguyên  tử  trong  vật  liệu  là  thế  năng  tương  tác  giữa các nguyên tử. Đối với phân tử 2 nguyên tử. Thế năng tương tác này gọi là thế  tương tác cặp. Đối với hệ nhiều nguyên tử (bao gồm các nguyên tử cùng loại hay khác loại), tương tác giữa các nguyên tử được đặc trưng bởi thế năng tương tác hiệu  dụng. Xét trong hệ một chiều, tương tác giữa hai nguyên tử trong hệ nhiều nguyên  tử thì thế năng tương tác giữa chúng đặc trưng bởi thế tương tác cặp hiệu dụng. Phổ  XAFS liên quan tới mối tương quan của các nguyên tử. Do vậy, nó liên quan trực  tiếp đến thế hiệu dụng của các nguyên tử. Trong sự ảnh hưởng của hệ nhiều hạt[48,49] 

cũng  như sự  ảnh hưởng của  nhiệt  độ,  vai trò  của  thế  tương  tác  hiệu  dụng  của các  nguyên tử trở nên rất quan trọng và có nhiều ý nghĩa.  

Thế tương tác cặp nguyên tử phụ thuộc vào khoảng cách r giữa các nguyên  tử  và  vào  chính  bản  thân  các  nguyên  tử.  Sự  phụ  thuộc  này  được  diễn  tả  qua  một  hàm thế (r). 

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 -0.4

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Interaction Distance r (Ao)

Potential Function (r)

  Hình 2.2: Hàm thế tương tác đơn cặp của Cu[47]. 

 Để đặc trưng thế tương tác giữa hai nguyên tử trong tinh thể ở trạng thái cân  bằng, hàm thế phải đảm bảo các điều kiện sau:  

- Hàm thế có một cực tiểu tại r0, là khoảng cách cân bằng giữa hai nguyên tử  ứng với lực tương tác là: 

0

f(r )0 0

r

d dr

 

   

        (2.1)  - Lực tương tác : f(r) d

dr

   là lực đẩy khi hai nguyên tử ở gần nhau (r < r0)  và là lực hút khi hai nguyên tử ở xa nhau (đường nét đứt trên đồ thị).

- Độ lớn của hàm thế (r) phải giảm theo r nhanh hơn so với r(-3). 

Lực đẩy ở khoảng cách gần và lực hút ở khoảng cách xa được giải thích như  sau: Lực hút ở khoảng cách xa xuất hiện do các nguyên tử có mô men điện khuếch  tán  và  các  mô  men  này  hút  lẫn  nhau.  Lực  này  gọi  là  lực  Vander  Waals  hay  lực  London.  Lực  đẩy  ở  khoảng  cách  gần  giữa  hai  nguyên  tử  là  do  các  nguyên  tử  gần  nhau thì các lớp điện tử bên ngoài hòa lẫn vào nhau, lực đẩy xuất hiện để ngăn cản  hai electron có cùng các số lượng tử không thể ở cùng một trạng thái lượng tử (theo nguyên lý Pauli). 

Các  đặc  điểm  trên  rất  quan  trọng  khi  ta  sử  dụng  hay  thiết  lập  các  hàm  thế. 

Trong  mô  hình  Einstein tương  quan  phi  điều  hòa áp  dụng  nghiên  cứu  phổ  XAFS,  

Hai nguyên tử gần nhau 

Hai nguyên tử xa nhau 

sự tương tác giữa nguyên tử hấp thụ và nguyên tử tán xạ được  mô tả qua  một thế  năng tương tác hiệu dụng dưới dạng: 

2 3

3

(x) 1 ...

E 2k xeff k x

           (2.2)   Trong đó x= r-r0 là độ lệch liên kết tức thời giữa hai nguyên tử ở vị trí cân  bằng,  keff  là  hệ  số  đàn  hồi  hiệu  dụng  (nó bao gồm tất cả các đóng góp của các nguyên tử lân cận), k3 là tham số bậc 3 đặc trưng cho tính phi điều hòa và tạo ra sự  bất đối xứng của thế tương tác. 

 Mô hình Einstein tương quan phi điều hòa xem xét dao động liên kết cặp của  các nguyên tử có khối lượng m1 và m2 tương ứng với nguyên tử hấp thụ và nguyên  tử tán xạ trong đó có quan tâm đến ảnh hưởng của các nguyên tử lân cận. Dao động  của  chúng  bị  ảnh  hưởng bởi  các  nguyên  tử  lân cận  nên  thế  tương tác  hiệu dụng  ở  biểu thức (2.2) có dạng: 

0 ij

, ,

(x) (x)

E i

i a b j a b i

x R R M

   

 

 

 

   

 

         (2.3) 

 Ở  đây,  khối  lượng  rút  gọn  1 2

1 2

m m

m m



 ; R



là  véc  tơ  đơn  vị, (x)  đặc  trưng  cho thế tương tác giữa nguyên tử và nguyên tử tán xạ.  

Trong  biểu  thức  (2.3),  thành  phần  thứ  hai  đặc  trưng  cho  đóng  góp  của  các  nguyên tử lân cận nên tổng i chạy từ nguyên tử hấp thụ a đến nguyên tử hấp thụ b,  còn tổng j chạy theo tất cả các nguyên tử lân cận gần nhất (trừ nguyên tử hấp thụ và nguyên tử tán xạ vì chúng đã đóng góp vào thành phần thứ nhất). 

Mô hình Einstein tương quan phi điều hòa tính toán dao động của các nguyên  tử  theo  phương  pháp  thống  kê  lượng  tử  với  gần  đúng  dao  động  chuẩn  điều  hòa,  trong đó toán tử Hamilton của hệ được viết dưới dạng tổng của thành phần điều hòa  đối với vị trí cân bằng tại một nhiệt độ xác định và thành phần phi  điều hòa được  coi như một nhiễu loạn. 

2 2 2

2 3 2 3

3 3

1 1

(x) ... (y a) ( ) ...

2 E 2 2 eff 2 2 eff

P P P

H  k x k x k k y a

  

             

2

2 2 3 2 2 3

3

1 (y 2 ay a ) ( 3 3a y a ) ...

2 2 eff

P k k y ay

          

2

2 3 2 2 3

3 3 3 3

1 1

( ) y(k 3 a ) ( 3 k a) y ...

2 2 eff eff 2 eff

P k y k y a k y k k

            (2.4) 

Trong  biểu  thức  (2.4),  đặt  H0  là  tổng  số  hạng  thứ  nhất  và  số  hạng  thứ  tư, 

E(a) là số hạng thứ 2 vàE(y)là tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm. Khi  đó ta có: 

2 2

2 2

0 3

(1 3 k a)

2 2 eff 2 2

P P k

H y k y

 

     ; với    1 3 k a .3

2 2 eff

k  k        (2.5) 

       ( ) 1 2 3 3

E a 2k aeff k a

         (2.6)         E(y)(keff a3k3a ) y2 k3y .3       (2.7)  Biểu thức (2.4) được viết lại như sau: 

0 E( ) E( ).

H H  a  y        (2.8)  Trong đó: a là hệ số giãn nở mạng với a T( ) rr0 (1). 

      x r r y0,  x a a,  x           y  x a  rr0 r r0 0 

Hệ số giãn nở mạng a mô tả sự bất đối xứng của thế tương tác. 

Từ phương trình (2.8) ta rút ra thế tương tác hiệu dụng theo mô hình Einstein  tương quan phi điều hòa có dạng: 

1 2

(x) ( ) ( ).

E E a 2k yeff E y

          (2.9)  Việc lựa chọn hàm thế là thế tương tác hiệu dụng trong mô hình Einstein là  rất quan trọng, nó phải đảm bảo các điều kiện như đã nêu ở trên, có rất nhiều công  trình nghiên cứu về hàm thế[52], tuy nhiên trong nghiên cứu này, nghiên cứu sinh tập  trung trình bày hai thế đã được sử dụng là thế Morse và thế Stillinger-Weber như là  các thế tương tác hiệu dụng trong mô hình Einstein tương quan phi điều hòa.