A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1 ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
Định nghĩa. Xác suất của biến cốA được tính bởi công thức:
P(A) = n(A) n(Ω).
Trong đó n(A) là số kết quả thuận lợi của biến cố A; n(Ω) là số kết quả có thể xảy ra của phép thử.
2 TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT
Định lí 1. Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, ta có
a) P(∅) = 0, P(Ω) = 1.
b) 0≤P(A)≤1, với mọi biến cố A.
c) Nếu A và B xung khắc, thì
P(A∪B) = P(A) + P(B)
(công thức cộng xác suất).
! Các biến cố A và B là xung khắc nếu và chỉ nếu chúng không khi nào cùng xảy ra.
Hệ quả 1. Với mọi biến cố A, ta có
P A
= 1−P(A).
3 CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
Khái niệm. Trong một phép thử, nếu sự xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của một biến cố khác thì ta nói hai biến cố đó độc lập.
Ví dụ 1. Có hai bạn, một người có đồng tiền và một người có súc sắc. Xét phép thử “Bạn thứ nhất gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ hai gieo súc sắc”. GọiA là biến cố “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp” vàB là biến cố “Con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”. Khi đó sự xảy ra của biến cố Arõ ràng không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố B. Do đó biến cố A và B là độc lập.
Tính chất 1. Với hai biến cố bất kỳ, ta có mối quan hệ sau (công thức nhân xác suất):
A và B là hai biến cố độc lập⇔P(A.B) = P(A).P(B).
4 XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN
Định nghĩa. Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện B là một số được xác định bởi công thức
P(A|B) = P(AB)
P(B) nếu P(B)>0.
Tính chất 2.
a) P(A|B)≥0.
b) P(Ω|B) = P(B|B) = 1,
c) Nếu Ai, i= 1, . . . , n là các biến cố đôi một xung khắc thìP Å n
S
i=1
Ai|B ã
=
n
X
i=1
P(Ai|B).
d) (Công thức nhân xác suất)P(AB) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A).
!
Xác suất điều kiện cho phép tính xác suất xảy ra của một biến cố khi biến cố khác đã xảy ra.
Trong trường hợp hai biến cố A và B độc lập thì việc biến cố B xảy ra không ảnh hưởng gì tới việc xảy ra biến cố A nên P(A|B) = P(A). Ta được công thức nhân xác suất thông thường.
Định lí 2. Nếu Bi, i = 1, . . . , n, là hệ các biến cố đôi một xung khắc sao cho
n
S
i=1
Bi = Ω thì với biến cố A bất kì ta luôn có
P(A) =
n
X
i=1
P(Bi)P(A|Bi).
Hệ các biến cố Bi (i= 1, . . . , n) như vậy được gọi là hệ đầy đủ.
Định lí 3. Cho biến cố A và hệ đầy đủ Bi (i= 1, . . . , n) đều có xác suất dương. Khi đó P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi)
P(A) = P(Bi)P(A|Bi)
n
X
i=1
P(Bi)P(A|Bi) .
B CÁC DẠNG TOÁN
| Dạng 1. Sử dụng công thức tính xác suất của một biến cố P(A) = n(A)
n(Ω).
cccBÀI TẬP DẠNG 1ccc Ví dụ 1. Gieo một con súc sắc 3 lần. Tính xác suất của biến cố sau:
a) A: "3 lần gieo cho kết quả như nhau".
b) B: "Tích 3 lần gieo là số lẻ".
c) C: "Tổng3 lần gieo là 5".
d) D: "Lần gieo sau gieo được số lớn hơn lần gieo trước".
Lời giải.
Gieo súc sắc3 lần sẽ có n(Ω) = 6.6.6 = 216 cách có thể xảy ra. Ta gọi kết quả3 lần gieo lần lượt theo dãy số (x;y;z).
a) CóA ={(1; 1; 1),(2; 2; 2),(3; 3; 3),(4; 4; 4),(5; 5; 5),(6; 6; 6)}.
Do đó n(A) = 6⇒P(A) = n(A) n(Ω) = 1
36.
b) Để có biến cố B thì 3lần gieo chỉ gieo được trong các số 1,3,5. Từ đó Lần 1: 3 cách.
Lần 2: 3 cách.
Lần 3: 3 cách.
⇒n(B) = 3.3.3 = 27⇒P(B) = n(B) n(Ω) = 27
216.
c) C ={(1; 1; 3),(1; 2; 2),(1; 3; 1),; (2; 1; 2),(2; 2; 1),(3; 1; 1)}.
Do đó n(C) = 6⇒P(C) = n(C) n(Ω) = 1
36.
d) Kết quả thuận lợi của D là việc chọn ra 3 giá trị khác nhau trong 3 lần gieo và sắp xếp từ bé đến lớn tức là số kết quả bằng số việc chon 3 phần tử trong 6 phần tử, vậy
n(D) =C63 = 20⇒P(C) = n(C) n(Ω) = 5
54.
Ví dụ 2. Trong một hộp kín có 18quả bóng khác nhau: 9 trắng, 6đen, 3 vàng.Lấy ngẫu nhiên đồng thời 5quả bóng trong đó. Tính xác suất của:
a) A: "5 quả bóng cùng màu".
b) B: "5 quả bóng có đủ 3 màu"
c) C: "5 quả bóng không có màu trắng"
Lời giải.
Lấy ngẫu nhiên 5 bóng đồng thời trong hộp kín đo đó n(Ω) =C185 = 8568 cách.
a) TH1: 5quả bóng đồng màu trắng: C95 = 126 cách lấy.
TH2: 5quả bóng đồng màu đen: C65 = 6 cách lấy.
Từ đó n(A) = 126 + 6 = 132⇒P(A) = n(A) n(Ω) = 11
714. b) TH1: 1trắng, 1đen, 3vàng: 9.6.C33 = 54 cách.
TH2: 1trắng, 2đen, 2vàng: 9.C62.C32 = 405 cách.
TH3: 2trắng, 1đen, 2vàng: C92.6.C32 = 648 cách.
TH4: 2trắng, 2đen, 1vàng: C92.C62.3 = 1620cách.
TH5: 3trắng, 1đen, 1vàng: C93.6.3 = 1512cách.
Từ đó n(B) = 4239⇒P(B) = n(B)
n(Ω) = 471 952. c) 5 quả bóng lấy trong 9 quả đen vàng do đó
n(B) =C95 = 126⇒P(B) = n(B) n(Ω) = 1
68.
Ví dụ 3. Trong lớp 12A5có 45học sinh có 20học sinh nam, 25học sinh nữ. Lấy ngẫu nhiên5 học sinh, Xác định xác suất của biến cố:
a) 5học sinh lấy ra là nam.
b) 5học sinh lấy ra có đủ nam và nữ.
c) Có ít nhất 3học sinh nữ.
Lời giải.
Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh trong 45học sinh, vậy số kết quả có thể xảy ra là:
n(Ω) =C455 = 1221759.
a) Lấy 5nam trong 20nam
⇒n(A) =C205 = 15504⇒P(A) = n(A)
n(Ω) = 1699 133886. b) GọiB: "5 học sinh lấy ra có đủ nam và nữ".
Để đếm n(B) ta phân làm các trường hợp.
TH1: 1nam, 4 nữ: C201 .C254 = 253000 TH2: 2nam, 3 nữ: C202 .C253 = 437000 TH3: 3nam, 2 nữ: C203 .C252 = 342000 TH4: 4nam, 1 nữ: C204 .C251 = 121125 Từ đó
n(B) = 1153125⇒P(B) = n(B)
n(Ω) = 3125 3311. c) GọiC: "5học sinh lấy ra ít nhất là 3 nữ".
Để đếm n(C) ta phân làm các trường hợp sau:
TH1: 3nữ, 2 nam: C253 .C202 = 437000 TH2: 4nữ, 1 nam: C254 .C201 = 253000 TH3: 5nữ: C255 = 53130
⇒n(C) = 743130⇒P = n(C)
n(Ω) = 82570 135751.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ6đôi giày có kích thước khác nhau trong tủ. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành từ một đôi.
Bài 2. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ba thẻ thẻ từ một hộp chứa 30thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Tính xác suất để 3thẻ được lấy là 3số liên tiếp.
Bài 3. Xét tập hợp A gồm các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số 1, 2,3,4,5,6,7. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập A. Tính xác suất để phần tử đó là một số chẵn.
Bài 4. Một hộp chứa 4viên bi màu vàng,6viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh,các viên bi là khác nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 7 bi trong hộp. Tính xác suất sao cho trong 7 bi lấy ra có số bi màu vàng bằng số bi màu đỏ.
| Dạng 2. Tính xác suất theo quy tắc cộng
Phương pháp giải:
• Sử dụng định nghĩa biến cố xung khắc, biến cố đối.
• Áp dụng các công thức
a) Nếu A và B xung khắc thì P(A∪B) = P(A) + P(B).
b) P A
= 1−P(A).
cccBÀI TẬP DẠNG 2ccc
Ví dụ 1. Từ một hộp gồm 6viên bi xanh và4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi.
a) Tính xác suất để thu được hai viên bi cùng màu.
b) Tính xác suất để thu được hai viên bi khác màu.
Lời giải.
Ta có n(Ω) =C102 .
a) GọiA là biến cố: “Lấy được hai viên bi cùng màu”.
A1 là biến cố: “Lấy được hai viên bi cùng màu xanh”. ⇒P(A1) = C62 C102 . A2 là biến cố: “Lấy được hai viên bi cùng màu đỏ”. ⇒P(A2) = C42
C102 . Vậy P(A) = P(A1∪A2) = P(A1) + P(A2) = C62+C42
C102 = 7 15. b) GọiB là biến cố: “Lấy được hai viên bi khác màu”.
Vì chỉ có hai màu xanh hoặc đỏ nên ta có B =A.
Vậy P(B) = P A
= 1−P(A) = 8 15.
Ví dụ 2. Một giáo viên muốn chọn hai câu hỏi ra đề kiểm tra 15phút môn Toán lớp 11. Trong ngân hàng đề có10 câu lượng giác, 6câu toán tổ hợp, 8 câu hỏi toán xác suất.
a) Tính xác suất để hai câu hỏi rơi vào cùng một chủ đề.
b) Tính xác suất để hai câu hỏi rơi vào hai chủ đề khác nhau.
Lời giải.
Ta có n(Ω) =C242 .
a) GọiA là biến cố: “Chọn được hai câu cùng chủ đề”.
A1 là biến cố: “Chọn được hai câu lượng giác”.⇒P(A1) = C102 C242 . A2 là biến cố: “Chọn được hai câu tổ hợp”. ⇒P(A2) = C82
C242 . A3 là biến cố: “Chọn được hai câu xác suất”. ⇒P(A3) = C62
C242 .
Vậy P(A) = P(A1∪A2∪A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = C102 +C82+C62 C242 = 22
69. b) GọiB là biến cố: “Chọn được hai câu vào hai chủ đề khác nhau”.
Vì B =A nên P(B) = 1−P(A) = 47 69.
Ví dụ 3. Một lớp có41học sinh trong đó có 15bạn nam và 26bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra bốn bạn đi trực ban.
a) Tính xác suất để cả bốn bạn đó đều là nữ.
b) Tính xác suất để có ít nhất một bạn nam.
Lời giải.
Ta có n(Ω) =C414 .
a) GọiA là biến cố: “Cả bốn bạn đều là nữ”.
n(A) =C264 . Vậy P(A) = C264
C414 = 115 779.
b) GọiB là biến cố: ”Có ít nhất một bạn nam”.
Ta có B =A. Do đó P(B) = 1−P(A) = 664 779.
Ví dụ 4. Có hai hòm đựng thẻ, mỗi hòm đựng 10thẻ đánh số từ 1 đến 10. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hòm một thẻ. Tính xác suất để trong hai thẻ lấy ra
a) có ít nhất một thẻ đánh số 1.
b) tổng hai số ghi trên hai thẻ khác 19.
Lời giải.
Ta có n(Ω) =C101 .C101 .
a) GọiA là biến cố: “Lấy được ít nhất một thẻ đánh số 1”.
Khi đó, A là biến cố: “Cả hai thẻ đều không đánh số 1”.
Ta có n A
=C91.C91 ⇒P A
= C91.C91 C101 .C101 . Vậy P(A) = 1−P A
= 19 100.
b) GọiB là biến cố: “Tổng hai số ghi trên thẻ khác19”.
Khi đó, B là biến cố: “Tổng hai số ghi trên thẻ bằng 19”.
Ta có n B
= 2⇒P(B) = 2 C101 .C101 . Vậy P(B) = 1−P B
= 49 50.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Một hộp gồm 10viên bi trắng, 8 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên ba viên bi.
a) Tính xác suất để thu được ba viên bi cùng màu.
b) Tính xác suất để thu được ba viên bi khác màu.
c) Tính xác suất để có ít nhất một viên bi trắng.
a) Tính xác suất để tổng hai mặt thu được của 2 lần gieo là số lẻ.
b) Tính xác suất để tổng hai mặt thu được của 2 lần gieo là số chẵn.
Bài 3. Một lớp có 35học sinh trong đó có20bạn nam và 15bạn nữ. Giáo viên chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ba bạn vào đội cờ đỏ.
a) Tính xác suất để cả ba bạn đó đều là nam.
b) Tính xác suất để có ít nhất một bạn nữ.
Bài 4. Một bó hoa gồm 40bông trong đó có 12bông hồng, 15bông huệ,8 bông lan còn lại là hoa ly.
Chọn ngẫu nhiên 5bông hoa từ bó hoa đó.
a) Tính xác suất để lấy được 5 bông hoa cùng loại.
b) Tính xác suất để lấy được 5 bông trong đó có ít nhất hai loại khác nhau.
| Dạng 3. Tính xác suất dùng công thức nhân xác suất
Để tính xác suất dạng này ta xác định các biến cố độc lập, sau đó tính xác suất từng biến cố rồi nhân lại.
cccBÀI TẬP DẠNG 3ccc
Ví dụ 1. Trong ví dụ ??, hãy tính xác suất của biến cố “Người thứ nhất gieo được mặt sấp và người thứ hai gieo được mặt 6 chấm”.
Lời giải.
Ta có A.B là biến cố “Người thứ nhất gieo được mặt sấp và người thứ hai gieo được mặt 6 chấm”. Do A và B là độc lập nên P(A.B) = P(A).P(B) = 1
2.1 6 = 1
12.
Ví dụ 2. Có 2 hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ, hộp thứ hai chứa 5 quả cầu xanh và 4 quả cầu đỏ. Lấy mỗi hộp 1 quả cầu. Tính xác suất để lấy được hai quả cầu xanh.
Lời giải.
Gọi A là biến cố “lấy được quả cầu xanh ở hộp thứ nhất” và B là biến cố “lấy được quả cầu xanh ở hộp thứ hai”. Khi đó ta có P(A) = 3
7 và P(B) = 5
9. Kết quả việc lấy quả cầu ở hộp thứ nhất không ảnh hưởng đến kết quả lấy quả cầu ở hộp thứ hai và ngược lại nên A và B là hai biến cố độc lập. Xác suất cần tìm là P(A.B) = P(A).P(B) = 3
7.5 9 = 5
21.
Ví dụ 3. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để lần gieo thứ nhất được mặt có số chấm lẻ và lần thứ hai được mặt có số chấm chẵn.
Lời giải.
Gọi A là biến cố “lần đầu gieo được mặt có số chấm lẻ” vàB là biến cố “lần thứ hai gieo được mặt có số chấm chẵn”. Khi đó P(A) = 1
2 và P(B) = 1
2. Kết quả việc gieo súc sắc lần một không ảnh hưởng tới kết quả gieo súc sắc lần hai và ngược lại nên A và B là hai biến cố độc lập. Xác suất cần tìm là
1 1 1
Ví dụ 4. Có hai xạ thủ bắn bia. Xác suất để xạ thủ bắn trúng bia là 0,8; xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,7. Tính xác suất để cả hai xạ thủ cùng bắn trúng bia.
Lời giải.
Gọi A là biến cố “Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia” vàB là biến cố “Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”. Do kết quả bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất không ảnh hưởng tới xạ thủ thứ hai và ngược lại nên A và B là các biến cố độc lập. Khi đó xác suất cần tìm là P(A.B) = P(A).P(B) = 0,8.0,7 = 0,56.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Có hai hộp đựng các quả cầu. Hộp thứ nhất có 3 quả cầu xanh, 2 quả cầu trắng và 4 quả cầu vàng, hộp thứ hai có 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu vàng. Lấy ở mỗi hộp 2 quả cầu.
Tính xác suất để lấy được 4 quả cầu màu vàng.
Bài 2. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để tổng số chấm hai lần gieo không nhỏ hơn 11.
Bài 3. Có hai hộp đựng bi. Hộp thứ nhất đựng 6 bi xanh, 5 bi đỏ và 3 bi vàng; hộp thứ hai đựng 4 bi xanh, 6 bi đỏ và 3 bi vàng. Lấy mỗi hộp một viên bi. Tính xác suất sao cho lấy được 2 viên bi cùng màu.
Bài 4. Hai người đi săn cùng bắn vào một con nai. Xác suất người thứ nhất bắn trúng con nai là 0,9, xác suất người thứ hai bắn trúng con nai là 0,8. Tính xác suất để
a. Con nai bị cả hai người đi săn bắn trúng.
b. Con nai không bị bắn trúng.
Bài 5. Một dây chuyền sản xuất có 3 bước. Sản phẩm tạo ra không có lỗi nếu cả 3 bước đều không có lỗi. Xác suất có lỗi của các bước theo thứ tự lần lượt là 0,01, 0,02, 0,05. Tính xác suất để
a. Sản phẩm sản xuất ra không bị lỗi.
b. Sản phẩm sản xuất ra bị lỗi.
| Dạng 4. Xác suất điều kiện, xác suất toàn phần và công thức Bayes
Phương pháp giải:
a) Bài toán xác suất điều kiện: Tìm hai trong ba xác suấtP(AB), P(B), P(A|B). Từ đó tìm được xác suất còn lại.
b) Bài toán xác suất toàn phần: Xác định hệ biến cố đầy đủ Bi, tính các biến cốP(A|Bi), áp dụng công thức xác suất toàn phần.
cccBÀI TẬP DẠNG 4ccc
Ví dụ 1. Nam thực hiện liên tiếp hai thí nghiệm. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là 0,9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất để thành công thí nghiệm thứ hai là0,4. Tìm xác suất để:
a) Cả hai thí nghiệm thành công.
b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công.
c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.
Lời giải.
Gọi A, B lần lượt là biến cố "Thí nghiệm thứ nhất thành công" và "Thí nghiệm thứ hai thành công".
a) AB là biến cố "Cả hai thí nghiệm thành công". Theo giả thiết ta có P(A) = 0,7,P(B|A) = 0,9.
Suy ra P(AB) = P(A)P(B|A) = 0,7×0,9 = 0,63.
b) AãB là biến cố "Cả hai thớ nghiệm đều khụng thành cụng". Theo giả thiết ta cú P A
= 0,3, P B|A
= 0,6. Suy ra P AãB
= P A
P B|A
= 0,3×0,6 = 0,18.
c) AB là biến cố "Thí nghiệm thứ nhất thành công nhưng thí nghiệm thứ hai không thành công".
Theo giả thiết ta cóP B|A
= 1−0,9 = 0,1. Suy raP AB
= P(A)P B|A
= 0,7×0,1 = 0,07.
Ví dụ 2. Một công ti một ngày sản xuất được 850 sản phẩm trong đó có 50 sản phẩm không đạt chất lượng. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại 2sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng biết sản phẩm thứ nhất đạt chất lượng.
b) Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng.
Lời giải.
a) GọiAk là biến cố sản phầm thứk không đạt chất lượng (k = 1,2). Do sản phẩm thứ nhất không đạt chất lượng nên còn 49sản phẩm không đạt chất lượng trong tổng số849 sản phẩm. Vậy xác suất cần tìm là
P(A2|A1) = 49 849.
b) DoA1 và A1 là hệ biến cố đầy đủ nên theo công thức xác suất toàn phần ta có P(A2) = P(A1)P(A2|A1) + P A1
P A2|A1
= 50 850 ã 49
849 + 800 850 ã 50
849 = 1 17.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Gieo liên tiếp một con súc sắc.
a) Tính xác suất để lần gieo thứ k là lần đầu tiên ra mặt "bốn".
b) Tính xác suất để trong k−1lần gieo trước đó, không có lần nào ra mặt "ba".
c) Tính xác suất để mặt "bốn" xuất hiện trước mặt "ba".
Bài 2. Một gia đình có n người con. Tính xác suất để cả n người con là con trai biết rằng có ít nhất một người con là con trai.
Bài 3. Từ một hộp có 100 quả cầu trắng và 50quả cầu đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Tính xác suất để lần thứ hai mới rút được là quả cầu trắng.
Bài 4. Từ một hộp có 50quả cầu trắng và 100 quả cầu đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Tính xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắng.
Bài 5. Một cuộc thi có ba vòng thi. Vòng 1 lấy 90% thí sinh, vòng 2 lấy 80% số thí sinh đỗ vòng 1, vòng 3 lấy 60% số thí sinh đỗ vòng 2. Tính xác suất để một thí sinh bị loại ở vòng ba.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 6. Biết rằng tỉ lệ nhóm máu O, A, B và AB trong cộng đồng lần lượt là 33,7%, 37,5%, 20,9%
và 7,9%. Chọn ngẫu nhiên một người cho máu và một người nhận máu. Tính xác suất để có thể thực hiện truyền máu (làm tròn đến ba chữ số sau dấu phẩy).
Bài 7. Một nhà máy có hai xưởng sản xuất: xưởng I chiếm 65% tổng sản phẩm, xưởng II chiếm 35%
tổng sản phẩm. Biết rằng tỉ lệ đạt sản phẩm chất lượng tốt của hai xưởng lần lượt là 90%và 85%. Lấy ra ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để sản phẩm đó đạt chất lượng tốt.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 8. Trong một hộp có chứa 8 thẻ số, mỗi thẻ được ghi một trong các chữ số từ 1 đến 7. Lấy ngẫu nhiên một thẻ ra, ghi lại con số rồi bỏ lại thẻ vào trong hộp, lần thứ hai cũng lấy thẻ ra, ghi lại con số và bỏ vào trong hộp, làm tương tự như vậy đủ 5 lần để có 5 chữ số. Tính xác suất để lấy được 3 thẻ mang số chẵn và 2 thẻ mang số lẻ.
Bài 9. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất n lần. Tìmn để xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm lớn hơn 0,9.
Bài 10. Một hộp đựng 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Lấy đồng thời 3 sản phẩm. Tính xác suất để:
a) Cả 3 sản phẩm được lấy ra đều tốt.
b) Trong 3 sản phẩm được lấy ra có ít nhất 2 sản phẩm là tốt.
Bài 11. Gieo đồng thời hai con súc sắc phân biệt nhau. Tìm xác suất để được hai mặt sao cho a) tổng số chấm bằng 7. b) tổng số chấm nhỏ hơn 8. c) ít nhất một mặt 6 chấm.
Bài 12. Thang máy của một tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng 1 với 3 khách. Tìm xác suất để:
a) Tất cả ra ở cùng một tầng. b) Mỗi người ra ở một tầng khác nhau.
Bài 13. Bốn nam và 4 nữ được xếp ngồi vào 8 ghế xếp thành 2 hàng, mỗi hàng có 4 ghế đối diện nhau. Tính xác suất:
a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau. b) Các bạn nam ngồi đối diện nhau.
Bài 14. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ X. Tính xác suất để có thể chọn được một số thỏa mãn số 5 lặp lại 3 lần và các số