A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1 PHÉP CHIẾU SONG SONG
Định nghĩa.
Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng ∆ cắt (α). Với mỗi điểmM trong không gian, đường thẳng đi quaM và song song hoặc trùng với ∆ sẽ cắt (α) tại điểm M0 xác định.
Điểm M0 gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (α) theo phương∆. Ta gọi (α) là mặt phẳng chiếu, phương∆làphương chiếu. Phép đặt mỗi điểm M với hình chiếuM0 của nó trên mặt phẳng (α)gọi là phép chiếu song song lên (α) theo phương ∆.
∆ M
M0 α
! Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm.
2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG
Sau đây ta chỉ xét các hình chiếu của những đường thẳng có phương không trùng với phương chiếu.
Tính chất 1. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Tính chất 2. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Tính chất 3. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Tính chất 4. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
3 HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG
Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
a) Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước
b) Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, . . . )
c) Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình đã cho.
d) Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn.
B CÁC DẠNG TOÁN
| Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình cho trước
Phương pháp giải
a) Xác định các yếu tố song song của hình.
b) Xác định tỉ số điểm chia đoạn thẳng.
c) Hình biểu diễn phải thỏa mãn
• Bảo đảm tính song song trên hình cho trước;
• Bảo đảm tỉ số của điểm chia đoạn thẳng
cccBÀI TẬP DẠNG 1ccc
Ví dụ 1. Trong không gian, cho tam giácABC. Biết rằng, tam giácA0B0C0 có các đỉnh A0, B0, C0 tương ứng là hình chiếu song song của các điểm A, B, C. Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của tam giác A0B0C0 là hình chiếu song song của trung điểm các cạnh tam giác ABC.
Lời giải.
Xét tam giácABC. GọiM là trung điểm cạnhAB. VìA0B0 là hình chiếu song song củaABnên hình chiếu song song của M, kí hiệuM0, thuộc A0B0. Ta có: M A
M B = 1 suy ra M0A0
M0B0 = M A M B = 1 do đó M0 là trung điểm A0B0. Tương tự cho các trung điểm còn lại.
Hình
Ví dụ 2. Hình thang có thể là hình biểu diễn của hình bình hành không?
Lời giải.
Hình thang không thể là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song trong khi đó cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song.
Ví dụ 3. Vẽ hình biểu diễn của ngũ giác đều.
Lời giải.
Giả sử ta có ngũ giác đều ABCDE với các đường chéo AC và BD cắt nhau tại M. Xét tam giác ABC và tam giác BM C là hai tam giác cân và có chung góc ở đáy nên đồng dạng. Ta có: AC
BC = BC
M C suy ra M C AM = 2
3, M B
M D = 2
3. Để xác định hình biểu diễn, ta vẽ một hình bình hành P QST bất kì làm hình biểu diễn hình thoi AM DE. Sau đó kéo dài các cạnh cho đúng tỉ lệ 23
T0 Q0
T
P Q
S
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình lục giác đều.
Bài 2. Hãy vẽ các dạng hình biểu diễn có thể của một tứ diện.
Bài 3. Vẽ hình chiếu của một tứ diện theo phương là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình chữ nhật. Gọi O là giao điểm củaAC vàBD.
Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn OC. Hãy vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD theo phương chiếu là đường thẳng chứa cạnh SA.
Bài 5. Vẽ hình biểu diễn một tam giác vuông nội tiếp một đường tròn.
Bài 6. Vẽ hình biểu diễn hình thang ABCD vuông tạiA và D, AB= 2AD= 2DC.
Bài 7. Vẽ hình biểu diễn của hình hộp ABCD.A0B0C0D0 theo phương chiếu song song với BD0.
| Dạng 2. Sử dụng phép chiếu song song để chứng minh song song
Chứng minh minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng và mặt phẳng song song với mặt phẳng, hoặc các vấn đề liên quan đến song song như:
chứng minh một tứ giác là hình bình hành, hình thang, tính chất của hình. Chú ý:
Khi chứng minh các yếu tố song song ta có thể sử dụng tính chất hoặc định của phép chiếu song song.
Đôi khi sẽ thuận lợi hoặc gặp khó khăn nhiều hơn song với cách chứng minh trực tiếp.
cccBÀI TẬP DẠNG 2ccc
Ví dụ 1. Cho tứ diện diệnABCD. GọiM, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AD, M N vàL là một điểm nằm trên đoạnBD sao cho BL = 1
4BD. Chứng minh KL∥ AB.
Lời giải.
C B
D A
M
N
Q L
K
Gọi Qlà trung điểm BD.
Qua phép chiếu song song theo phương AB lên mặt phẳng BCD biến:
A thành B.
M thành Q.
Vì BL= 1
4BD = 1
2BQ suy ra L là trung điểm BQ.
Do đó phép chiếu song song theo phương AB lên (BCD) biến K thành L.
Vậy KL ∥AB.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi M, N, M0, N0 lần lượt là trung điểm của AC, BC, A0C0, B0C0.
a) Chứng minh rằng: (M N N0M0)∥(AA0B0B).
b) Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A0B0C0. Chứng minh rằng:GG0 ∥ (M N N0M0)
c) Gọi I, I0 lần lượt là trung điểm của AN0 và AN. Chứng minh rằng:II0 ∥GG0. Lời giải.
A C
B A0
B0
C0 M0
N0
N M G0 I10
G01
I0
a) Qua phép chiếu song song theo phương AA0 lên mặt phẳng (ABC)biến:
M0 thành M. N0 thành M. A0 thành A.
B0 thành B.
b) Qua phép chiếu song song theo phương AA0 lên mặt phẳng (ABC)biến:
A0 thành A,B0 thành B,C0 thành C Suy ra tam giác ABC là ảnh củaA0B0C0.
Do đó G0 biến thành G. Mặt khác M0 biến thànhM. Vậy GG0 ∥ (M N N0M0).
c) Qua phép chiếu song song theo phương AA0 lên mặt phẳng ABC biến:
N0 thành N. A thành A.
Suy ra I là ảnh của I. Mặt khác theo câu b thì G là ảnh của G0 qua phép chiếu song song theo phương AA0.
Vậy II0 ∥GG0.
Ví dụ 3. Cho hai điểmA vàB ở ngoài mặt phằng(P). GọiA0 vàB0 lần lượt là hình chiếu song song của A vàB trên (P)theo phương của đường thẳng d cho trước. Chứng minh nếu AB song song với(P)thì A0B0 =AB. Phần ngược lại có đúng không?.
Lời giải.
d
A0
B0 A
B
Ta có: AB ∥(P) vàA0B0 = (A0B0BA)∩(P).
Do đó AB∥ A0B0. Ta có: AA ∥B0B0 ∥ d.
Vậy A0B0BA là hình bình hành.
Suy ra A0B0 =AB.
Phần đảo sai vì nếu lấy điểm C trên đường thẳng B0B với AC = AB thì hình chiếu của AC vẫn là
A0B0 =AC nhưngAC không song song với mp (P).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD và BCC0B0 nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M trên đoạn DB0, và điểm N trên đường chéo AC sao cho M N ∥BC0.
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CC0.
b) GọiE, F lần lượt là giao điểm của d với AN và A0B. Tính EM EF BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A0B0C0D0.
a) Chứng minh rằng hai đường chéo AC0 và A0C cắt nhau, hai đường chéo BD0 àB0D cắt nhau tại trung điểm M, N của mỗi đường.
b) GọiE và F lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh M N =EF. Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, R, Q, L lần lượt là trung điểm SD, SB, DC, BC, AD, AB. Chứng minh rằng:
a) M P ∥(N LR).
b) (N LR)∥ (M QP).