A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1 ĐỊNH NGHĨA GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Định nghĩa. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0◦.
α m
β
n
2 CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI MẶT PHẲNG CẮT NHAU
a) Tìm giao tuyến ccủa (α)và (β).
b) Tìm hai đường thẳnga,blần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với c tại một điểm.
c) Góc giữa (α) và (β) là góc giữa a và b.
I c a
b α
β
3 DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐA GIÁC
Định nghĩa. Cho đa giácH nằm trong mặt phẳng(α) có diện tích làS và H 0 là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (β). Khi đó diện tích S0 của hình H được tính theo công thức như sau:
S0 =Sãcosϕ với ϕlà góc giữa (α) và (β).
4 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Định nghĩa. Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.
Định lí 1. Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
O a c b α
β
Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 2. Cho hai mặt phẳng(α)và(β)vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng(α) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (β) thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (α).
Định lí 2. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.
5 HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG
Định nghĩa. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Định nghĩa. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy.
Định nghĩa. Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật.
Định nghĩa. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
Định nghĩa. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình lập phương đều là hình vuông.
6 HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
Định nghĩa. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét: Hình chóp đều có:
a) Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
b) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
Định nghĩa. Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
Nhận xét: Hình chóp cụt đều có:
a) Hai đáy là hai đa giác đều và đồng dạng với nhau.
b) Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng qui tại một điểm.
c) Các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau.
B CÁC DẠNG TOÁN
| Dạng 1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng
Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng ta có thể tìm góc giữa hai nửa đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của chúng.
Một số trường hợp thường gặp:
TH1: 4ABC =4DBC. Gọi I là chân đường cao của 4ABC.
NốiDI. Vì4ABC =4DBC nên DI ⊥BC.
⇒((ABC),(DBC)) =AID.‘
B
C I A
D
TH2: Xét góc giữa hai mặt phẳng (M AB) và (N AB) với 4M AB và 4N AB cân có cạnh đáyAB.
Gọi I là trung điểm AB. Khi đó N I ⊥AB và M I ⊥AB.
⇒((M AB),(N AB)) = M IN’.
A
B I M
N
TH3: Hai mặt phẳng cắt nhau (α)∩(β) = ∆.
Tìm giao tuyến ∆của hai mặt phẳng.
Dựng AB có hai đầu mút nằm ở trên hai mặt phẳng và vuông góc với một mặt. (giả sử là (β)).
Chiếu vuông góc củaA hoặc B lên ∆là điểm I.
⇒AIB‘ là góc giữa hai mặt phẳng.
B
I A TH4: Nếu a⊥(α);b ⊥(β)thì Ÿ((α),(β)) =’(a, b).
TH5: Trường hợp khó vẽ được góc giữa hai mặt phẳng thì có thể dùng công thức phép chiếu diện tích đa giác.
cccBÀI TẬP DẠNG 1ccc
Ví dụ 1. Cho tứ diệnS.ABC có đáyABC là tam giác đều cạnh a, SA⊥(ABC)và SA= 3a 2 . Tính góc giữa hai mặt phẳng(SBC) và (ABC).
Gọi góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)là α.
Gọi M là trung điểm của BC. Do 4ABC đều nên AM ⊥BC. (1) Theo giả thiết SA⊥(ABC), suy ra theo (1) ta có SM ⊥BC. (2)
Lại có (SBC)∩(ABC) =BC. (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có α=SM A.’ Ta có AM =√
AC2−CM2 = a√ 3
2 . Xét tam giácSAM vuông tạiA, ta có:
tanα= SA AM = 3
√3 =√
3, suy ra α = 60◦.
A α
S
B M C
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a√
3. Tính số đo của góc giữa các mặt phẳng sau:
a) Tính ((SBC),(ABC)).
b) Tính ((SBD),(ABD)).
c) Tính ((SAB),(SCD)).
Lời giải.
a. Gọi α= (S, BC, A). Khi đó ta có
(BC ⊥AB
BC ⊥SA ⇒BC ⊥SB.
Suy ra α=’SBA.
Trong 4SAB cótanα= SA
AB = a√ 3 a =√
3⇒α= 60◦.
b. Gọi β = (S, BD, A) và AC ∩ BD = O, ta có (AO⊥BD
SO ⊥BD( Do BD⊥(SAC)) ⇒β =’SOA.
MàAO= a√ 2
2 , suy ra tanβ = SA
AO = 2a√ 3 a√
2 =√ 6
⇒β = arctan(√ 6).
c. Gọi γ = ((SAB),(SCD)).
Khi đó ta cóγ =ASD’ và tanγ = AD SA = a
a√
3 = 1
√3
⇒γ = 30◦.
α β
γ
A S
B
C D
O
| Dạng 2. Tính diện tích hình chiếu của đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác H trong(P), S0 là diện tích của hình chiếu H0 của H trên(Q), và ϕ= ((P),(Q)). Khi đú: S0 =Sãcosϕ.
cccBÀI TẬP DẠNG 2ccc Ví dụ 1. Cho 4ABC cân tại A, đường cao AH = a√
3, BC = 3a có BC nằm trong (P). Gọi A0 là hình chiếu của A lên (P). Khi 4A0BC vuông tạiA0, tính ((P),(ABC)).
Lời giải.
Gọi M là trung điểm của cạnhBC. Do 4ABC cân tạiA nênAM ⊥ BC.
Mặt khác AA0 ⊥(P)⇒A0H ⊥BC.
Do đó α= ((P); (ABC)) = ((ABC),(A0BC)) =AHA÷0. Theo đề ta có: SABC = 1
2ãAHãBC = 3a2√ 3 2 . Lại có A0H= 1
2ãBC = 3a
2 . Suy ra SA0BC = 1 2 ã3a
2 ã3a= 9a2 4 Khi đó ta có:
SA0BC =SABCãcosα⇔ 9a2
4 = a2√ 3
2 ãcosα⇔cosα=
√3 2 . Suy ra α = 30◦.
A0 A
B H
C
| Dạng 3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90◦.
cccBÀI TẬP DẠNG 3ccc
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD). Chứng minh rằng:
a) (SAC)⊥(SBD).
b) (SAB)⊥(SBC).
Lời giải.
a) Ta cóAC ⊥BD,AC ⊥SA (vì SA⊥(ABCD)).
Do đó AC ⊥(SBD). Vì vậy (SAC)⊥(SBD).
b) Ta cóBC ⊥AB, BC ⊥SA(vì SA⊥(ABCD)).
Do đó BC ⊥(SBD). Vì vậy (SBC)⊥(SAB).
S
A
B C
D O
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,SA⊥(ABCD). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu củaA lên SB và SD. Chứng minh rằng (SAC)⊥(AM N).
Lời giải.
Ta có BD⊥AC, BD⊥SA (vìSA⊥(ABCD)).
Do đó BD⊥(SAC).
Mà M N ∥BD (do SM
SB = SN
SD) nên M N ⊥(SAC).
Vì vậy (SAC)⊥(AM N).
A
B C
O
D N
S
M
Ví dụ 3. Cho hình chópS.ABC có tam giác ABC vuông tại A,SA⊥(ABC). GọiH vàK lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng SA vàSC. Chứng minh rằng:
a) (SAC)⊥(SAB).
b) (SAC)⊥(BHK).
Lời giải.
a) Ta cóAC ⊥AB, AC ⊥SA (vì SA⊥(ABC)).
Do đó AC ⊥(SAB). Vì vậy (SAC)⊥(SAB).
b) Ta cóSC ⊥BK.
Mặt khác BH ⊥SA và BH ⊥AC (vì AC ⊥(SAB)).
Do đó BH ⊥(SAC), suy ra SC ⊥BH.
Từ đó SC ⊥(BHK). Vì vậy (SAC)⊥(BHK).
S
A
B C
H K
Ví dụ 4. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCDlà hình thoi tâmO với AB=a,AC = 2a√
6 3 , SO ⊥(ABCD), SB =a. Chứng minh rằng (SAB)⊥(SAD).
Lời giải.
Gọi M là hình chiếu của O lên SA.
Khi đó SA⊥(M BD). Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) chính là góc giữa hai đường thẳng M B và M D.
Ta có BD= 2a
√3, SO= a√ 6
3 . Suy ra OM = a
√3 = 1 2BD.
Vì thế tam giác M BD vuông cân tại M, từ đó BM D÷ = 90◦ hay (SAB)⊥(SAD).
S
O C
D A
B M
| Dạng 4. Thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng
Xác định mặt phẳng (β) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (α) cho trước bằng cách:
a) Từ điểm A bất kì thuộc đường thẳngd dựngAH ⊥(α). Mặt phẳng (AH, d) là mặt phẳng (β).
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (β) và các cạnh của hình chóp, hình lăng trụ,... Từ đó suy ra thiết diện.
cccBÀI TẬP DẠNG 4ccc
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt đáy.
Gọi(P)là mặt phẳng chứaAD và vuông góc với mặt phẳng(SBC). Xác định thiết diện do mặt phẳng(P) cắt hình chóp.
Lời giải.
Kẻ AH ⊥SB (H ∈SB). Ta có (AD⊥SA (SA⊥(ABCD))
AD⊥AB
⇒AD⊥(SAB)⇒AD⊥SB.
Ta có AD ⊥ SB và AH ⊥ SB nên SB ⊥ (ADH), suy ra (SBC)⊥(ADH).
Do đó, mặt phẳng(P)chứaADvà vuông góc với mặt phẳng (SBC) là(ADH).
Trong mặt phẳng(SBC) dựngHK ∥ BC(K ∈BC), suy ra HK ∥ AD (do cùng song song với AD).
A D
C
B H
S
K
Vậy thiết diện là hình thang ADKH có hai đáy làAD và HK.
Ví dụ 2. Cho tứ diệnOABC có các cạnhOA, OB, OC đôi một vuông góc nhau vàOA=OB = OC =a. Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho AC = 3M C. Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC). Gọi (α) là mặt phẳng chứa OM và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Xác định và tính diện tích thiết diện do mặt phẳng (α)cắt tứ diện.
Lời giải.
Ta có OA⊥OB vàOA ⊥OC nên OA⊥(OBC).
Vì OH ⊥ BC (do OH ⊥ (ABC)) và OA ⊥ BC (do OH ⊥ (ABC)) nên BC ⊥(OAH), suy ra BC ⊥AH. (1)
Tương tự ta có AC ⊥BH. (2)
Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của 4ABC.
Ta cóOH ⊥(ABC)nên mặt phẳng (α)chứaOM và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là (OHM).
Trong mặt phẳng (ABC) gọi N là giao điểm của HM và AB, suy ra thiết diện của mặt phẳng (OHM) và tứ diện là4OM N. Do OA = OB = OC = a và OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau nên AB =AC =BC =a√
2, suy ra 4ABC đều.
Mà H là trực tâm của 4ABC nên AH cắt BC tại trung điểm của đoạn BC.
O E B
N
A
C M H
Gọi E là trung điểm BC.
Ta có H là trọng tâm 4ABC nên 3HE =AE. Do đó, M N ∥ BC, suy ra M N = 2
3BC = 2a√ 3 3 . Vì 4AOE vuông tại A nên 1
OH2 = 1
OA2 + 1
OE2 = 3
4a2, suy ra AH = a√ 3 3 . Vậy S4OM N = 1
2 ãM N ãOH = 2a2√ 6
9 .
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q).
Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P) và(Q)?
A. 2. B. 3. C. 1. D. Vô số.
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa cthì đều vuông góc với mặt phẳng(a, b).
B. Cho a ⊥(α), mọi mặt phẳng (β)chứa a thì (β)⊥(α).
C. Cho a ⊥b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a.
D. Cho a ⊥b, nếu a⊂(α) và b⊂(β) thì (α)⊥(β).
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (P)và mỗi điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d.
B. Nếu hai mặt phẳng (P)và (Q)cùng vuông góc với mặt phẳng(R)thì giao tuyến của(P)và (Q)
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
D. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Câu 5. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
D. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Câu 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Cho đường thẳngavuông góc với đường thẳng b vàb nằm trong mặt phẳng(P). Mọi mặt phẳng (Q) chứaa và vuông góc với b thì (P)vuông góc với (Q).
B. Nếu đường thẳnga vuông góc với đường thẳngb và mặt phẳng(P)chứaa, mặt phẳng(Q)chứa b thì (P)vuông góc với (Q).
C. Cho đường thẳng avuông góc với mặt phẳng(P), mọi mặt phẳng(Q)chứaa thì (P) vuông góc với (Q).
D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Câu 8. Trong khẳng định sau về lăng trụ đều, khẳng định nào sai?
A. Đáy là đa giác đều.
B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
C. Các cạnh bên là những đường cao.
D. Các mặt bên là những hình vuông.
Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương.
B. Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.
C. Nếu hình hộp có bốn đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương.
D. Nếu hình hộp có sau mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tại B,SAvuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?
A. BM ⊥AC. B. (SBM)⊥(SAC). C. (SAB)⊥(SBC). D. (SAB)⊥(SAC).
Câu 11. Cho tứ diện SABC có SBC và ABC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác SBC đều, tam giác ABC vuông tại A. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. SH ⊥AB. B. HI ⊥AB. C. (SAB)⊥(SAC). D. (SHI)⊥(SAB).
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và mằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. AI ⊥SC. B. (SBC)⊥(SAC). C. AI ⊥BC. D. (ABI)⊥(SBC).
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC và I là giao điểm của HK với mặt phẳng (ABC).
Khẳng định nào sau đây sai?
A. BC ⊥AH. B. (AHK)⊥(SBC). C. SC ⊥AI. D. Tam giác IAC đều.
Câu 14. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a√
6
2 . Gọi I là trung điểm BC, kẻ IH vuông góc SA(H ∈SA). Khẳng định nào sau đây sai?
A. SA⊥BH. B. (SDB)⊥(SDC). C. (SAB)⊥(SAC). D. BH ⊥HC.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC’ = 60◦, tam giác SBC là tam giác đều có bằng cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAC)và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ϕ= 60◦. B. tanϕ= 2√
3. C. tanϕ=
√3
6 . D. tanϕ= 1 2. Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáyABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA=a√
3 và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ϕ= 30◦. B. sinϕ=
√5
5 . C. ϕ= 60◦. D. sinϕ= 2√ 5 5 . Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = a√
3
2 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD’ = 60◦, SA=SB =SD= a√
3
2 . Gọi ϕlà góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. tanϕ=√
5. B. tanϕ=
√5
5 . C. tanϕ=
√3
2 . D. ϕ= 45◦.
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, AB = 2a, AD =CD =a. Cạnh bên SA=a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC)và√(ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
2 ◦ ◦ ◦
Câu 20. Cho hình chóp đều S.ABCDcó tất cả các cạnh bằng a. GọiM là trung điểmSC. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (M BD)và (ABCD).
A. ϕ= 90◦. B. ϕ= 60◦. C. ϕ= 45◦. D. ϕ= 30◦.
Câu 21. Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. tanϕ=
√2
3 . B. tanϕ= 2√ 3
3 . C. tanϕ=
√3
3 . D. tanϕ=
√3 2 .
Câu 22. Cho hình chóp đềuS.ABCDcó tất cả các cạnh đều bằng a. Gọiϕlà góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. tanϕ=√
6. B. tanϕ=
√2
2 . C. tanϕ=
√3
2 . D. tanϕ=√ 2.
Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SH = a√
6
2 . Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳngSB và AC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. cotϕ=
√2
4 . B. cotϕ=√
7. C. cotϕ=
√7
7 . D. cotϕ=
√14 4 . Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiC. Gọi H là trung điểmAB.
Biết rằng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB =SH =a. Tính cosin của góc α tọa bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
A. cosα = 1
3. B. cosα=
√2
3 . C. cosα=
√3
3 . D. cosα= 2 3.
Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là
A. CSF’. B. BSF’. C. BSE.’ D. CSE.’
Câu 26. Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc.
A. a√ 3
3 . B. a
2. C. a√
2
2 . D. a
3.
Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA=x và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc 60◦.
A. x= 3a
2 . B. x= a
2. C. x=a. D. x= 2a.
Câu 28. Cho hình lăng trụ tứ giác đềuABCD.A0B0C0D0 có đáy cạnh bằng a,góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC0) có số đo bằng 60◦. Độ dài cạnh bên của hình lăng trụ bằng
A. 2a. B. 3a. C. a√
3. D. a√
2.
Câu 29. Cho hình chóp đềuS.ABC có cạnh đáy bằnga,góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng60◦.Tính độ dài đường cao SH của khối chóp.