Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1.2 Phá vỡ đối xứng tự phát
Các đối xứng chính xác nói chung sẽ dẫn đến các định luật bảo toàn chính xác. Trong trường hợp này, cả Lagrangian và trạng thái chân không (trạng thái cơ bản của thuyết) đều bất biến. Tuy nhiên, trên thực tế có một vài định luật bảo toàn không hoàn toàn chính xác, ví dụ, định luật bảo toàn spin đồng vị, số lạ, ... Khi đó, để mô tả hệ, Lagrangian
bất biến (Lsym) được thêm vào một số hạng nhỏ, phá vỡ tính đối xứng này (Lsb)
L= Lsym+Lsb. (1.33)
Trường hợp khác, nếu hệ có Lagrangian bất biến nhưng trạng thái chân không không bất biến thì hệ đó cũng xảy ra hiện tượng SSB. Chất sắt
Hình 1.1: Sự định hướng của spin trong (a) pha thuận từ và (b) pha sắt từ.
từ là ví dụ điển hình cho trường hợp này, với Lagrangian mô tả tương tác spin-spin bất biến dưới các phép quay ba chiều. Khi nhiệt độ lớn hơn nhiệt độ chuyển sắt từ (TC), spin của hệ hoàn toàn hỗn độn (pha thuận từ), vì thế, trạng thái chân không cũng bất biến dưới phép biến đổi SO(3). Tuy nhiên, khi nhiệt độ thấp hơn TC (pha sắt từ), sự từ hóa tự phát của hệ xuất hiện, sắp xếp các spin theo một hướng nhất định.
Pha sắt từ lúc này chỉ bất biến dưới phép biến đổi SO(2), là nhóm quay hai chiều có trục là phương của spin. Như thế, đối xứng SO(3) của chất sắt từ bị phá vỡ tự phát thành SO(2).
a) Phá vỡ đối xứng tự phát trong trường vô hướng thực tự tương tác
Trong lý thuyết trường lượng tử, trường vô hướng thực tự tương tác là ví dụ điển hình nhất cho sự SSB. Lagrangian của trường này có dạng sau
L = 1
2∂àφ∂àφ−V(φ), (1.34) trong đó
V(φ) = 1
2à2φ2 + 1
4λφ4. (1.35)
Trong lý thuyết về chuyển pha của sắt từ, mật độ năng lượng tự do Gibbs tương tự như thế V(φ), với φ đóng vai trò là sự từ hóa tự phát trung bình M. Lagrangian (1.34) bất biến dưới phép biến đổi
φ → −φ. (1.36)
Xét tính bất biến của trạng thái chân không dưới phép biến đổi trên.
Trạng thái chân không (φ0) có thể thu được từ Hamiltonian H = 1
2 h
(∂0φ)2 + (∇φ)2i
+ V(φ). (1.37)
Giá trị φ0 là hằng số tương ứng với giá trị cực tiểu của thế năng và năng lượng
φ0(à2 +λφ20) = 0. (1.38) Để đảm bảo tính liên kết của Hamilton, λ có giá trị dương. Theo đó, giá trị cực tiểu phụ thuộc vào dấu của à2. Khi à2 > 0, chỉ tồn tại một trạng thái chân không tạiφ0 = 0 và nó bất biến dưới phép biến đổi (1.36). Tuy nhiờn, khi à2 < 0 cú hai trạng thỏi chõn khụng xuất hiện, tương ứng với các giá trị φ±0 = ±p
−à2/λ. Đõy là trường hợp số hạng khối lượng φ bị sai dấu. Do Lagrangian bất biến dưới phép biến đổi (1.36), nên việc
lựa chọn giữa φ+0 hay φ−0 đều không ảnh hưởng đến tính bất biến đó.
Tuy nhiên, một khi đã chọn một trong hai giá trị này thì đối xứng sẽ bị phá vỡ tự phát vì Lagrangian bất biến nhưng trạng thái chân không thì không.
Hình 1.2: Thế vô hướng được cho bởi phương trình (1.35) với hai trường hợp: (a) à2 > 0 và (b) à2 < 0.
Xây dựng một trường mới φ0 bằng việc thay đổi trường cũ một lượng v = p
−à2/λ
φ0 ≡ φ−v. (1.39)
Trạng thái chân không của trường mới φ00 = 0 bất biến và xung quanh trạng thái chân không thế năng có dạng dao động nhỏ. Đồng thời, La- grangian trở thành
L= 1
2∂àφ0∂àφ0− 1 2
p−2à22
φ02 −λvφ03 − 1
4λφ04. (1.40) Lagrangian này mô tả trường vô hướng φ0 có khối lượng dương và thực, Mφ0 = p
−2à2, và nú mất tớnh đối xứng ban đầu do xuất hiện số hạng chứa φ03.
b) Phá vỡ đối xứng tự phát trong trường vô hướng phức tự tương tác
Lagrangian của trường vô hướng phức tự tương tác có dạng sau L = ∂àφ∗∂àφ−V(φ∗φ), (1.41) trong đó
V(φ∗φ) = à2(φ∗φ) +λ(φ∗φ)2. (1.42) Lagrangian (1.41) bất biến dưới phép biến đổi pha toàn cục
φ → exp(−iθ)φ. (1.43)
Khi biểu diễn trường phức thông qua hai trường thực φ = (φ1 +iφ2)
√2 , (1.44)
Lagrangian (1.41) trở thành L = 1
2 ∂àφ1∂àφ1 +∂àφ2∂àφ2
−V(φ1, φ2). (1.45) Lagrangian này bất biến dưới phép quay SO(2)
φ1
φ2
→
cosθ −sinθ sinθ cosθ
φ1
φ2
. (1.46)
Khi à2 > 0, φ1 = φ2 = 0, hệ ở trạng thỏi chõn khụng. Đối với cỏc dao động bé Lagrangian có dạng
L =
2
X
i=1
1
2 ∂àφi∂àφi −à2φ2i
. (1.47)
Như thế, trường hợp này có hai trường vô hướng φ1 và φ2 có khối lượng m2 = à2 > 0.
Khi à2 < 0,
h|φ|2i = hφ1i2 +hφ2i2
2 = −à2
2λ ≡ v2
2 . (1.48)
Phương trình (1.48) chứng tỏ trạng thái chân không bất biến dưới nhóm SO(2). Tuy nhiên, đối xứng này bị phá vỡ tự phát khi một trạng thái chân không nhất định nào đó được chọn. Chẳng hạn, khi chọn các giá trị của φ1 và φ2 thỏa
φ1 = v, φ2 = 0,
thì trường mới được xác lập lại để phù hợp với dao động bé như sau φ01 = φ1 −v, φ02 = φ2,
và Lagrangian (1.45) trở thành L = 1
2∂àφ01∂àφ01 − 1
2(−2à2)φ021 + 1
2∂àφ02∂àφ02 +cỏc số hạng tương tỏc.
(1.49) Khi đồng nhất φ01 là trường vô hướng có khối lượng dương và thực, và φ02 là trường boson vô hướng không khối lượng thì ma trận khối lượng được viết dưới dạng
Mij2 = ∂2V(φ01, φ02)
∂φ0i∂φ0j φ0=φ00
. (1.50)
Đạo hàm bậc hai của V(φ01, φ02) theo φ02 tương ứng với trị riêng của ma trận khối lượng bằng không, trong khi đó đạo hàm đó theo φ01 tương ứng trị riêng có giá trị dương.
Trên đây là ví dụ điển hình của thuyết Nambu-Goldstone [46], nó chỉ ra rằng khi một đối xứng toàn cục liên tục chính xác bị phá vỡ tự phát, trong lý thuyết sẽ chứa một hạt vô hướng không khối lượng cho mỗi phần tử sinh bị phá vỡ của nhóm đối xứng ban đầu.
Lý thuyết Nambu-Goldstone có thể được chứng minh trong trường hợp tổng quát. Cụ thể, khảo sát Lagrangian của NG trường vô hướng thực φi, tương ứng với vector NG chiều Φ
L = 1
2(∂àΦ)(∂àΦ)−V(Φ). (1.51)
Giả sử Lagrangian bất biến dưới phép biến đổi của nhóm liên tục G
δΦ = −iαaTaΦ. (1.52)
Vì thế năng bất biến dưới phép biến đổi G nên δV(Φ) = ∂V(Φ)
∂φi
δφi = −i∂V(Φ)
∂φi
αa(Ta)ijφj, (1.53) trong đó các tham số gauge αa là tùy ý và có NG phương trình
∂V(Φ)
∂φi (Ta)ijφj = 0, (1.54) với a = 1, ..., NG. Đạo hàm phương trình (1.54) cho kết quả
∂2V(Φ)
∂φk∂φi(Ta)ijφj + ∂V(Φ)
∂φi (Ta)ik = 0. (1.55) Các phần tử của ma trận khối lượng triệt tiêu tại trạng thái chân không Φ = Φ0 vì
∂2V(Φ)
∂φk∂φi Φ=Φ0
(Ta)ijφ0j = 0, (1.56) hay
Mki2(Ta)ijφ0j = 0. (1.57) Khi một trạng thái cơ bản được chọn là nhóm con g của G với số chiều là ng và giữ nguyên tính đối xứng của chân không thì mỗi phần tử sinh của g thỏa
(Ta)ijφ0j = 0, với a = 1, .., ng ≤ NG, (1.58) và (NG −ng) phần tử sinh còn lại phá vỡ đối xứng
(Ta)ijφ0j 6= 0, với a = ng + 1, ..., NG. (1.59) Như thế, phương trình (1.57) chứng tỏ ma trận khối lượng có (NG−ng) trị riêng bằng không và các phần tử của nhóm đó được gọi là các boson Nambu-Goldstone không khối lượng.