Chương 4. PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG ĐIỆN YẾU ĐỘNG LỰC HỌC TRONG MÔ HÌNH EWν R
4.4 Khối lượng của neutrino
4.4.1 Cơ chế see-saw trong mô hình EWνR Khối lượng Dirac
Số hạng khối lượng Dirac của neutrino được cho bởi phương trình (2.67) như sau
LSe = −gSe¯lLlMR φS +h.c.
= −gSe ν¯LνR + ¯eLeMR
φS +h.c., (4.49) với φS có VEV khác không hφSi = vS. Theo đó, khối lượng Dirac có dạng
mDν = gSevS. (4.50)
Trong mô hình này, khối lượng Dirac không có mối liên hệ với thang điện yếu. Việc thay đổi khối lượng của neutrino Dirac quy về việc thay đổi giá trị của vS. Tuy nhiên, việc chọn giá trị của vS bị giới hạn bởi tốc độ phân rã boson Z do sự tham gia tương tác của neutrino thuận thang điện yếu làm tăng gấp đôi đóng góp của neutrino. Như thế, khối lượng của neutrino thuận phải lớn hơn MZ
2 . Thang giá trị của vS sẽ được tính toán ở phần sau.
Ma trận khối lượng Dirac của các lepton điện gương và lepton trong SM được xác định thông qua các phương trình (2.63), (2.64) cùng với VEV của các trường Φ2,Φ2M và φS, cụ thể
Me =
me mDν mDν meM
, (4.51)
với
me = gevΦ2
√2 , meM = geMvΦ2M
√2 . (4.52)
Trị riêng khối lượng của các lepton điện và lepton điện gương tương ứng được xác định thông qua việc chéo hoá ma trận (4.51), cụ thể
mee = me − (mDν )2 meM −me
, (4.53)
meeM = meM + (mDν )2
meM −me. (4.54)
Giả sử meM me, và vì mDν meM nên sự trộn khối lượng được cho bởi phương trình (4.51) có thể được bỏ qua, theo đó, mee ≈ me và meeM ≈ meM.
Tương tự đối với trường hợp các hạt quark, trị riêng của ma trận khối lượng của các quark trong SM và quark điện gương được cho bởi các phương trình
meq = mq− mDν 2
(gSq/gSe)2
mqM −mq , (4.55)
meqM = mq+ mDν 2
(gSq/gSe)2
mqM −mq . (4.56)
Với giả thiết mqM mq dẫn đến tính chất meq ≈ mq và meqM ≈ mqM. Tính chất này có thể tổng quát hóa cho các fermion ở các thế hệ khác nhau.
Khối lượng Majorana
Khối lượng Majorana được suy ra từ tương tác Yukawa được cho bởi phương trình (2.66) khi χ nhận VEV
MR = gMvχ. (4.57)
Khi chưa tính đến các điều kiện đối xứng cus-to-di-al, về nguyên tắc, số hạng tương tác Yukawa gLlTLσ2τ2χlL vẫn tồn tại để tạo khối lượng Majorana gLvχ cho neutrino nghịch. Khi gL có giá trị lớn, sự có mặt của số hạng này gây khó khăn trong việc phát triển tiếp cơ chế see-saw. Để số hạng này không xuất hiện ở giản đồ hình cây, phép đối xứng toàn cục U(1)M được đưa vào, theo đó
lMR , eML
→eiθM lRM, eML
, χe →e−2iθMχ, φe S → e−iθMφS. (4.58) Như thế, đối xứng này sẽ cho phép tồn tại tương tác Yukawa ở các phương trình (2.63), (2.64), (2.65), (2.66), (2.67) và (2.68). Tương tác giữa tam tuyến χe với song tuyến fermion ¯lLlMR sẽ không xuất hiện do sự có mặt của đối xứng U(1)M. Vậy khối lượng Dirac của neutrino chỉ xuất hiện từ VEV của φS ở phương trình (4.49). Mặc dù đối xứng U(1)M không cho phép neutrino nghịch có khối lượng Majorana ở giản đồ hình cây nhưng khối lượng này vẫn xuất hiện ở giản đồ vòng với giá trị
ML = λ 1 16π2
mDν 2
MR lnMR
MφS, (4.59)
trong đó λ là hằng số liên kết bậc bốn của φS, MφS là khối lượng của φS, và mDν và MR theo thứ tự được cho bởi các phương trình (4.50), (4.57). Khối lượng của neutrino nghịch ML trong phương trình (4.59) có thể được bỏ qua do có bậc bé hơn hai lần khối lượng nhẹ trong cơ chế
see-saw: mDν 2
MR , với λ <1. Ma trận khối lượng Majorana như sau M =
ML mDν mDν MR
. (4.60)
Khi giá trị của gSe chưa được xác định cụ thể, cơ chế see-saw có thể có các giả thiết sau
• Nếu gSe ∼ O(gM) và vχ vS thì hai trị riêng của ma trận khối lượng(4.60) là
ML − mDν 2
MR = −gSe2 gM
vS
vχvS(1−), (4.61) và MR, với < 10−2.
• Nếu g2Se/gM ∼ O(1) và vχ ∼ ΛEW thì từ điều kiện mν ≤ 1 eV dẫn đến vS có bậc vào cỡ
vS ≈ p
vχ ×1 eV ∼ O(105 eV). (4.62) Hai giả thiết này đều đưa đến hệ quả: để đảm bảo khối lượng bé của neutrino, VEV củaφS có bậc bé hơn nhiều so với thang điện yếu vS
ΛEW ∼ 10−6. Với sự chênh lệch thang như vậy, liệu mô hình EWνR có gặp khó khăn như các cơ chế see-saw trước? Câu hỏi này sẽ được giải đáp trong phần tiếp theo.
4.4.2 VEV của đơn tuyến Higgs φS [84]
Khối lượng bé của neutrino suy ra từ cơ chế see-saw trong mô hình EWνR
mν = mDν 2
MR = gSe2 vS2
MR . (4.63)
Khi các trạng thái ngưng tụ hình thành, đơn tuyến Higgs cơ sở φS cũng đồng thời nhận VEV. VEV này sẽ tạo khối lượng Dirac của neutrino. Vì khối lượng neutrino nhẹ mν có bậc vào cỡ < O(eV) và MR ∼ O(ΛEW), nên mDν = gSevS < O(105 eV). Theo kết quả nghiên cứu gần đây về quá trỡnh vi phạm số lepton à → eγ [21], gSe bị giới hạn bởi cận trờn 10−3. Điều này dẫn đến vS < 100 MeV < ΛEW. Sự chênh lệch thang lớn giữa vS và ΛEW có thể được giải thích thông qua cơ chế DEWSB dựa trên trạng thái ngưng tụ fermion trong mô hình EWνR.
Hình 4.22:Giản đồ tạo VEV cho φS: (a) từ năng lượng riêng của neutrino thuận, (b) từ năng lượng riêng của quark gương [84].
Sau khi DEWSB xuất hiện, do có tương tác Yukawa giữa φS với νR và qM được cho bởi các phương trình (2.67) và (2.68) nên VEV của φS có thể được xác định thông qua các năng lượng riêng tương ứng. Các các giản đồ Feynman tạo VEV cho φS được minh họa ở hình 4.22. Khảo sát hình 4.22a, năng lượng riêng của neutrino thuận ΣνR tỉ lệ với thang của trạng thái ngưng tụ Λcond, ΣνR ∼ Λcond. Theo đó, số hạng |φS|2 có dạng như sau
g2Se
16π2ΛΛcond|φS|2 ∼ gSe2
16π2Λ2cond|φS|2, (4.64) trong đó xung lượng cắt được xác định: Λ ∼ Λcond. Theo nghiên cứu sự
phõn ró gần đõy à→ eγ [21], gSe ≤ 10−3 và gSe cú thể bằng 10−5, nờn gSe2
16π2Λ2cond|φS|2 ∼ 10−12Λ2cond|φS|2. (4.65) Thang VEV củaφS theo đó sẽ được xác định gần đúng tỉ lệ với10−6Λcond. Như vậy, VEV của φS rất nhỏ là hệ quả tất yếu của việc gSe nhỏ.
Tương tự, thang VEV của φS từ hình 4.22b có thể được xác định cùng bậc với kết quả từ hình 4.22a nếu giả sử gSq ∼ gSq0 ∼ gSe. Tóm lại, vS nhỏ là hệ quả tất yếu của gSe ∼ gSq ∼ gSq0 ≤ 10−3. Theo đó, khối lượng bé của neutrino và sự chênh lệch về bậc của vS và ΛEW có thể được giải thích một cách động lực học thông qua cơ chế DEWSB trong mô hình EWνR.