Chương 3. TRẠNG THÁI NGƯNG TỤ TRONG MÔ HÌNH EWν R
3.1 Lý thuyết phi tương đối tính cho trạng thái ngưng tụ
3.1.1 Thế Yukawa
Thế tương tác Yukawa lần đầu tiên được sử dụng trong lý thuyết meson của H. Yukawa khi ông mô tả tương tác giữa các nucleon [58], biểu thức được viết dưới dạng sau
V(r) = −λexp (−αr)
r , (3.1)
với λ và 1
α lần lượt là cường độ và phạm vi tác dụng của lực nucleon.
Một vài thập niên sau, thế Yukawa được nghiên cứu sâu và rộng hơn bằng các phương pháp giải tích và phương pháp số [59–66]. Ngày nay, mô hình này đã và đang là mối quan tâm không chỉ trong vật lý hạt mà còn
trong các lĩnh vực khác của vật lý [67–69]. Trong lĩnh vực vật lý plasma thế này được gọi là thế Debye-Huckel và trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, nó được gọi là thế Coulomb chắn hay thế Thomas-Fermi.
Các hiện tượng tới hạn không chỉ xuất hiện trong QCD tại thế nhiệt hóa hữu hạn [70–72] mà còn xảy ra trong thế Yukawa của cơ học lượng tử [63–66, 73]. Hệ vật lý sẽ có các đặc trưng khác nhau tùy thuộc vào giá trị của α. Khi α = 0, thế Yukawa trở thành thế Coulomb. Khi α = ∞, không tồn tại tương tác và hệ trở về trạng thái tự do. Khi α 6= 0, thế Yukawa có một số đặc tính hoàn toàn khác so với thế Coulomb. Trong trường hợp này, tồn tại một số hữu hạn các trạng thái ngưng tụ vì các tương tác đã bị chắn và các trạng thái này sẽ không còn khi α đủ lớn.
Trong luận án này chúng tôi đề cập đến thế tương tác Yukawa giữa hai hạt fermion với hạt trung gian là hạt Higgs [74]. Thế Yukawa trong trường hợp này được gọi là thế trao đổi Higgs phi tương đối tính và có dạng sau
V(r) =−αY(r)emH(r)r
r , (3.2)
trong đó mH là khối lượng hạt Higgs và αY = m1m2
4πv2 , với v = 246 GeV.
Khối lượng của các fermion lần lượt là m1 và m2 và khối lượng rút gọn của hệ là M = m1m2
m1 +m2.
3.1.2 Trạng thái ngưng tụ
Trạng thái ngưng tụ của hệ được xác định thông qua nghiệm của phương trình Schrodinger với thế Yukawa được cho bởi phương trình (3.2) [75]. Trong mục này, trạng thái đơn giản nhất khi l = 0 sẽ được khảo sát. Hàm sóng thử có dạng
u(y, r) = 2y32e−yr, (3.3)
với y là biến vi phân [75]. Năng lượng tương đối được xác định thông qua năng lượng tổng cộng Etot và năng lượng khối tâm Ecm của hệ:
E = Etot−Ecm, cụ thể
E = ~2
2My2 − 4αYy3
(2y +mH)2. (3.4)
Khi các biến được định nghĩa lại
z = 2y
mH, (3.5)
Kf = 2M αY mH~2
, (3.6)
phương trình
dE
dz = 0, (3.7)
cho phép suy ra
Kf = (1 +z)3
z(z + 3). (3.8)
Theo đó, năng lượng của hệ được viết lại (~ = 1) E = −αYmHz3(z−1)
4 (z + 1)3. (3.9)
Điều kiện để tồn tại trạng thái ngưng tụ khi z > 1 tương ứng với
Kf > 2. (3.10)
Xét trường hợp đơn giản nhất khi m1 = m2 = mf và Kf ≡ αYmf
mH . Kf có thể được viết theo hằng số liên kết Yukawa và hằng số liên kết bậc bốn, cụ thể
Kf = g3f 16π√
λ. (3.11)
Trong trường hợp này, Kf không phụ thuộc vào thang điện yếu ΛEW. Khi năng lượng thay đổi, biểu thức (3.11) chứng tỏ trạng thái ngưng tụ sẽ xuất hiện khi các hằng số liên kết Yukawa và hằng số liên kết bậc
bốn đạt đến giá trị nhất định thỏa mãn điều kiện ngưng tụ. Các kết quả nghiên cứu trong [74] đã chỉ ra rằng, nếu các giá trị tại điểm cố định (được định nghĩa trong phần 3.3.1) của hạt quark, lepton thế hệ thứ 4 và hạt quark đỉnh lần lượng bằngαY ≈ 2.09,2.16,1.22 và mH ≈1.446TeV, thì giá trị Kf tương ứng là Kq = 1.82, Kl = 1.92 và Kt = 0.82. So sánh các kết quả này với điều kiện (3.10) thu được từ phương pháp biến phân, dễ dàng thấy rằng các hạt quark và lepton thế hệ thứ 4 có thể hình thành trạng thái ngưng tụ, trong khi đó quark đỉnh thì không thể.
Kết quả giải số phương trình Schrodinger cho thế Yukawa (3.2) [76] suy ra điều kiện ngưng tụ như sau
Kf > 1.68. (3.12)
Năng lượng liên kết có thể được tính số thông qua biểu thức [76]
nmax
X
n=0
(−Kf)2ϕn(nmax+ 1−n, ν) = 0, (3.13)
với ν = 2p
−mfE mH
và nmax là giá trị cực đại của n khi dãy số hội tụ.
Hàm ϕn(ω, ν) được suy ra từ phép khai triển hàm sóng và thỏa mãn mối liên hệ truy hồi
ϕ0(ω, ν) = 1, (3.14)
ϕn(ω, ν) = Z ω
0
dx[(x+n−1) (x+n−1 +ν)]l
[(x+ n)(x+n+ν)]l+1 ϕn−1(x, ν),
(3.15) với n= 1,2, ... Khi Kq = 1.82, giải phương trình (3.13) cho ta ν = 0.108.
Theo đó, năng lượng liên kết là Eq ≈ −4.9 GeV. Đối với lepton thế hệ thứ 4, các giá trị này như sau
Kl = 1.92, ν = 0.196, El = −15.7 GeV. (3.16)
Mặc dù phương trình (3.13) có tham số khai triển Kf ≈ 2 nhưng rất nhanh hội tụ [76], do đó có thể thu kết quả chính xác khi n bé. Như vậy, trong giới hạn phi tương đối tính, các hạt quark và lepton thế hệ thứ 4 thỏa mãn điều kiện hình thành trạng thái ngưng tụ khi các hằng số Yukawa đủ lớn. Điều này xảy ra do các fermion thế hệ thứ 4 có khối lượng lớn, có bậc vào cỡ thang điện yếu ΛEW.
Các fermion gương và neutrino thuận có khối lượng cùng bậc với fermion thế hệ thứ 4. Theo đó, điều kiện ngưng tụ trong giới hạn phi tương đối tính cho các fermion trong mô hình EWνR có thể được thực hiện tương tự như trường hợp của các lepton và quark thế hệ thứ 4. Tuy nhiên, vì đối tượng là các hạt tương đối tính nên sự ngưng tụ của các fermion trong mô hình EWνR sẽ được nghiên cứu bằng cách sử dụng phương trình SD.