2.3. Sự tự khuếch tán trong silic
2.3.2. Các đại lƣợng khuếch tán của Si ở áp suất p = 0
Sử dụng thế tương tác ba hạt ở trên, ta tính số các đại lượng khuếch tán như năng lượng kích hoạt Q, hệ số trước hàm mũ D0 và hệ số khuếch tán D của Si ở nhiệt đội T và áp suất p = 0. Trước hết, ta cần xác định khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ 0K (r10). Từ phương trình trạng thái [5]:
r
k k r r u
pv 3 4
1 0
, (2.77) trong đó r là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt, p là áp suất và v là thể tích nguyên tử của Si:
3
3 3
8 r
v . (2.78) Giải phương trình (2.77) với u0 được xác định theo (2.27), ω và k được xác định theo (2.10), φi được xác định theo (2.74), ta tìm được khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở áp suất p và nhiệt độ 0K (r(p,0)). Khi p = 0, ta có được khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở áp suất không và nhiệt độ 0K (r10).
Sau khi tìm được r10, ta tìm được giá trị của các thông số k, K, γ1, γ2, γ và β của Si ở nhiệt độ 0K nhờ các công thức (2.10), (2.11), (2.14) và (2.23).
Biết giá trị của các thông số này, ta tìm được độ dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng ở nhiệt độ T (y0) theo công thức (2.19) và từ đó tìm được khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở nhiệt độ T (r1) theo công thức (2.20).
Sau khi tìm được khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ T, với cách làm tương tự như trên, ta tìm được giá trị của các thông số k, K, γ1, γ2, γ và β ở nhiệt độ T và từ đó tìm được sự phụ thuộc nhiệt độ của các các đại lượng V, I, u0V, u0I,0, 0I, 1, 2. Nhờ các công thức (2.67), (2.35) và (2.56), ta tìm được hệ số B, năng lượng Gibbs gXf và entrôpi SXf . Sau đó, sử dụng các công thức (2.72), (2.57), (2.48) và (2.47) ta thu được các kết quả số đối với năng lượng kích hoạt Q, hệ số trước hàm mũ D0 và hệ số khuếch tán D của tinh thể Si ở nhiệt độ T theo từng cơ chế khuếch tán riêng. Cuối cùng, áp dụng công thức (2.30) ta tìm được hệ số tự khuếch tán trong tinh thể Si.
Các kết quả tính số này được trình bày trong Bảng 2.2, được so sánh với thực nghiệm và các tính toán khác trong Bảng 2.3 và được minh họa trên Hình 2.2.
Bảng 2.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên các đại lượng tự khuếch tán của Si
T (K)
Cơ chế nút khuyết Cơ chế xen kẽ QV
(eV)
DV0
(cm2/s)
DV
(cm2/s)
QI
(eV)
D0I
(cm2/s)
DI
(cm2/s) 1100 4,5878 0,4386 4,2216.10-22 5,3142 4,2187 1,9219.10-24 1200 4,5788 0,4257 2,5199.10-20 5,2732 4,0287 2,8936.10-22 1300 4,5536 0,4113 9,1855.10-19 5,2133 3,8006 2,3539.10-20 1400 4,5072 0,3928 2,3491.10-17 5,1342 3,5315 1,1701.10-18 1500 4,4356 0,3697 4,6454.10-16 5,0395 3,2221 3,7874.10-17 1600 4,3335 0,3392 7,5530.10-15 4,9361 2,8722 8,1720.10-16
Từ Bảng 2.2, ta có các nhận xét sau:
- Khi nhiệt độ tăng (từ 1100 đến 1600K), năng lượng kích hoạt Q cho cả hai cơ chế khuếch tán đều giảm chậm (khoảng 5,5 % cho cơ chế nút khuyết và 7,1% cho cơ chế xen kẽ), còn hệ số trước hàm mũ D0 giảm mạnh hơn (khoảng 22,7% cho cơ chế nút khuyết và 32% cho cơ chế xen kẽ), nhưng hệ số khuếch tán D lại tăng rất mạnh (khoảng 107 đến 108 lần). So sánh các kết quả tính số này với công thức (2.47), ta có thể khẳng định rằng hệ số khuếch tán D phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ, sự thay đổi lớn của hệ số trước hàm mũ D0 không làm ảnh hưởng nhiều tới hệ số khuếch tán D, trong khi chỉ một sự thay đổi nhỏ của năng lượng kích hoạt Q cũng ảnh hưởng rất lớn tới hệ số khuếch tán D. Điều này rất quan trọng vì các số liệu thực nghiệm cũng có sự khác nhau tương đối lớn về hệ số trước hàm mũ D0 (xem Bảng 2.3).
- Ở cùng một nhiệt độ, hệ số tự khuếch tán theo cơ chế xen kẽ nhỏ hơn theo cơ chế nút khuyết. Điều đó chứng tỏ rằng cơ chế nút khuyết là cơ chế chủ yếu trong Si tự khuếch tán, đặc biệt là ở vùng nhiệt độ thấp.
Bảng 2.3. So sánh các đại lượng tự khuếch tán của Si với thực nghiệm (TN) và các tính toán khác
Cơ chế khuếch tán
Phương pháp Q (eV)
D0 (cm2/s)
T (K)
Nút khuyết
TKMM
TN [38]
[32]
[96]
TBMD [92]
Ab initio [81]
4,59 4,51 4,60 4,65 4,86 4,07 3,80
0,43 0,39 40 154 636 1,18.10-4
-
1200 1400 973-1658 1128-1448 1073-1173 1273-1600
-
Xen kẽ
TKMM
TN [38]
[22]
[96]
TBMD [92]
Ab initio [81]
5,27 5,13 5,00 4,95 4,68 5,18 4,00
4,03 3,53 4000
- 149 1,58.10-1
-
1200 1400 973-1658 1128-1661 1073-1173 1273-1573
-
Từ Bảng 2.3, ta có nhận xét là: Ở cùng dải nhiệt độ, các giá trị tính toán của năng lượng kích hoạt Q bằng phương pháp TKMM cho cả hai cơ chế khuếch tán có sự phù hợp tốt với các giá trị thực nghiệm, sai số chỉ dưới 6%
thậm chí là dưới 1%. Trong khi đó, giá trị này theo phương pháp ab initio có sự sai lệch khá lớn (sai số ít nhất là trên 14% thậm chí lên tới gần 22%).
Nguyên nhân của sự sai lệch này theo chúng tôi là do những hạn chế của lí thuyết ab initio, tức là quá trình tính toán chỉ giới hạn trong các hệ tương đối nhỏ và chủ yếu ở nhiệt độ 0K. Kết quả tính toán theo phương pháp TBMD chỉ
phù hợp tốt với thực nghiệm cho cơ chế xen kẽ, còn cho cơ chế nút khuyết có sự sai lệch nhiều so với thực nghiệm (trên 12%). Điều đó chứng tỏ rằng các tính toán bằng phương pháp TKMM cho kết quả phù hợp tốt với thực nghiệm và phù hợp tốt hơn so với các tính toán bằng các phương pháp lí thuyết khác.
Trên Hình 2.2, chúng tôi minh họa sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số tự khuếch tán (Dself) được tính bằng phương pháp TKMM, được đo bằng thực nghiệm và được tính bằng phương pháp TBMD. Kết quả cho thấy hệ số tự khuếch tán của Si là phù hợp với quy luật Arrhenius và các tính toán bằng phương pháp TKMM cho kết quả phù hợp với thực nghiệm tốt hơn các tính toán bằng phương pháp TBMD.
6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8
-20 -18 -16 -14 -12 -10
-8 gia tri thuc nghiem [38]
gia tri thuc nghiem [22]
gia tri tinh theo phuong phap TBMD [92]
gia tri tinh theo phuong phap TKMM
log D (cm2 /s)
104/T (K-1)
Hình 2.2. Quy luật Arrhenius của Si tự khuếch tán