Đại lƣợng vật lý thống kê

Để khảo sát hiện tƣợng chuyển pha trong mô hình 2D XY tổng quát, chúng tôi đi tính toán các đại lƣợng vật lý thống kê nhƣ: Năng lƣợng (E), nhiệt dung riêng (C), độ từ hóa từ (m), độ từ hóa nematic (mq ), Độ cảm(χ), Độ cảm nematic (χq), tham số Binder (g), tham số nematic Binder (gq), mô đun xoắn (ϒ), Tỷ số chiều dài tương quan từ (ξ/L) và Tỷ số chiều dài tương quan nematic (ξq/L). Các đại lượng sẽ được sử dụng trong các chương 3, 4, 5 và 6 cho các trường hợp q khác nhau.

2.4.1. Năng lƣợng

Năng lượng tương tác của hệ được tính thông qua tổng Hamiltonian tương tác trao đổi giữa các spin trên toàn bộ mạng mô phỏng theo biểu thức [36]:

1

1 2

N

E  Hi , (2.15)

trong đó: N là tổng số spin của hệ và hệ số 1/2 được đưa vào vì mỗi tương tác giữa hai spin lân cận đƣợc tính hai lần.

Trong mô hình 2D XY tổng quát với tương tác nematic bậc q, năng lượng của hệ đƣợc tính theo Hamiltonian trong công thức (1.6):

1 ij

1 ( ) (1 ) ( )

2

N

i j i j

E J cos  cosq  

 

        , (2.16) 2.4.2. Nhiệt dung riêng

Từ hệ thức tổng quát trên, nhiệt dung phân tử đẳng tích Cv (khi thể tích không đổi) và nhiệt dung phân tử đẳng áp Cp đƣợc biểu biễn qua các hàm nhiệt động.

2 V 2

V V

E E

C T

T T

 

 

 

      ;

2 p 2

p

H G

C T

T T

 

 

 

     , (2.17) trong đó E, F, H, G: Nội năng, Năng lƣợng tự do, Entanpi, Thế Gibbs. Trong chuyển pha sắt từ, thể tích và áp suất của hệ không đổi nên C = CV = Cp đƣợc tính thông qua giá trị trung bình của năng lƣợng E theo công thức:

26

V

C d E

 dT , (2.18) Trong mô phỏng, ta chỉ xác định đƣợc một số hữu hạn các điểm nhiệt độ mô

phỏng. Vì vậy nhiệt dung riêng trong công thức (2.18) của hệ đƣợc tính theo biểu thức:

CV E T

 

 , (2.19) Mặt khác, theo vật lý thống kê cổ điển, nhiệt dung riêng CV của hệ đƣợc tính theo công thức:

2 2 V 2

B

E E

C k T

  , (2.20)

Hơn nữa, giá trị trung bình của các đại lƣợng vật lý trong các hệ ta mô phỏng đƣợc tính theo toàn bộ các cấu hình spin của hệ. Nhiệt dung riêng của một spin Cv/N trong hệ đƣợc tính theo công thức:

2 2 2

/ 1

V

B

E E

C N

N k T

  , (2.21)

trong đó: N=L x L : tổng số spin của hệ kB : hằng số Boltzmann

Hình 2.8 biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt dung riêng cho một spin phu thuộc vào nhiệt độ [36]. Từ hình vẽ ta thấy xuất hiện các đỉnh tương ứng với các kích thước khác nhau L, đây là biểu hiện của một chuyển pha (Đối với mô hình Ising là chuyển pha bậc 2), từ các đỉnh này chúng ta có thể tính đƣợc chuyển pha của hệ bằng phương pháp finite size scaling (sẽ được trình bày chi tiết tại chương 3).

Hình 2.8. Nhiệt dung riêng của một spin phụ thuộc vào nhiệt độ với các kích thước mạng L = 2, 4, 8, 16 trong mô hình Ising mạng hai chiều hình vuông [36]

2.4.3. Độ từ hóa và độ từ hóa nematic

Độ từ hóa là một đại lƣợng vật lý nói lên khả năng bị từ hóa của một vật liệu từ, đƣợc xác định bằng tổng mômen từ nguyên tử trên một đơn vị thể tích:

27

m V

 , (2.22)

Trong mô hình hệ spin cho vật liệu từ, từ trường của nguyên tử được biểu diễn bằng véctơ spin Si. Độ từ hóa của hệ đƣợc tính bằng công thức:

1 1 N

i

S

m N

 

, (2.23)

với N = L x L: tổng số spin của hệ

Độ từ hóa là một tham số trật tự cơ bản trong hệ vật liệu từ. Thông thường, đối với vật liệu có chuyển pha bậc 2, giá trị của độ từ tiến gần tới 1 khi hệ có nhiệt dưới nhiệt độ chuyển pha Tc và tiến gần 0 khi hệ có nhiệt độ trên nhiệt độ chuyển pha Tc.

Trong mô hình Ising, kết quả mô phỏng độ từ hóa biểu diễn sự phụ thuộc của độ từ hóa vào nhiệt độ, giá trị của độ từ hóa tiến gần tới 1(pha sắt từ) khi nhiệt độ của hệ dưới nhiệt độ chuyển pha Tc và tiến gần 0 (pha thuận từ) khi nhiệt độ hệ trên nhiệt độ chuyển pha (hình 2.9) [36].

Hình 2.9. Độ từ hóa của một spin phụ thuộc vào nhiệt độ với các kích thước mạng L = 2, 4, 8, 16 trong mô hình Ising hai chiều hình vuông [36]

Đối với mô hình 2D XY tổng quát với tương tác nematic bậc q, các véctơ spin nằm trong một mặt phẳng. Vì vậy, mô men từ có thể đƣợc xác định thông qua hình chiếu lên 2 trục Ox và Oy [42]:

2 2

1 1

1 ( ) ( )

N N

x y

i i

i i

m S S

N  

   , (2.24)

- Độ từ hóa từ theo hướng Ox (mx)và Oy (my):

1 N

x i

i

m cos



 và

1 N

y i

i

m sin



 ,

Suy ra: m 1 (mx)2 (my)2

 N  (2.25) - Độ từ hóa nematic bậc q theo hướng Ox (mx)và Oy (my):

28

1 N

x i

i

n cosq



 và

1 N

y i

i

n sinq



 Suy ra: mq 1 ( )nx 2 (ny)2

 N  (2.26)

2.4.4. Độ cảm từ và độ cảm nematic

Độ cảm từ là đại lƣợng vật lý đặc trƣng cho khả năng từ hóa của vật liệu, hay nói lên khả năng phản ứng của vật liệu dưới tác dụng của từ trường ngoài B. Độ cảm từ thể hiện mối quan hệ giữa từ độ (là đại lượng nội tại) và từ trường ngoài, nên thường mang nhiều ý nghĩa vật lý gắn với các tính chất nội tại của vật liệu và được xác định bằng biểu thức:

dm

 dB , (2.27)

Theo vật lý thống kê cổ điển, độ cảm từ tính theo giá trị trung bình trên toàn bộ cấu hình spin của hệ mô phỏng đƣợc xác định bằng biểu thức [13]:

 2 2

1

B

m m

  Nk T  , (2.28)

Tương tự, ta có độ cảm nematic bậc q

 2 2

1

q q q

B

m m

  Nk T  , (2.29)

Hình 2.10. Độ cảm từ của một spin phụ thuộc vào nhiệt độ với các kích thước mạng L = 2, 4, 8, 16 trong mô hình Ising mạng hai chiều [36]

Trong mô hình Ising, chúng ta có thể thấy đƣợc sự phụ thuộc của độ cảm từ vào nhiệt độ, giá trị của độ cảm từ phân kỳ tại nhiệt độ chuyển pha Tc. Quan sát sự biến đổi của đại lƣợng này trên đồ thị hình 2.10, ta có thể xác định đƣợc nhiệt độ chuyển pha Tc từ đỉnh của đường độ tự cảm từ với các kích thước khác nhau [36].

2.4.5. Tham số Binder và tham số nematic Binder

Tham số Binder (Binder parameter hoặc Binder cumulant) có giá trị tiến gần tới 1 khi hệ có nhiệt dưới nhiệt độ chuyển pha và tiến gần 0 khi hệ có nhiệt độ trên nhiệt độ chuyển pha. Với mô hình 2D XY tổng quát với tương tác nematic bậc q đƣợc tính nhƣ sau [13]:

- Tham số Binder

29

4 2 2

2 m

g

m

  , (2.30)

- Tham số nematic Binder

4 2 2

2 q

q

q

g m

m

  , (2.31)

Tham số Binder trong mô hình Ising [36] có chuyển pha bậc 2 khi T → TC , giá trị của tham số magnetic Binder không phụ thuôc vào kích thước (với các kích thước khác nhau các đường tham số Binder cắt nhau tại một điểm), từ đó ta xác định đƣợc nhiệt độ chuyển pha bậc hai Tc (hình 2.11).

Hình 2.11. Tham số Binder phụ thuộc vào nhiệt độ với các kích thước mạng L = 2, 4, 8, 16 trong mô hình Ising hai chiều hình vuông [36]

2.4.6. Mô đun xoắn

Mô đun xoắn ϒ (hay còn gọi spin stiffness) là một đại lƣợng đặc trƣng cho sự thay đổi năng lƣợng của hệ khi trong hệ có sự thay đổi trạng thái của xoắn (nhƣ biến dạng chẳng hạn). Biểu thức mô đun xoắn đƣợc định nghĩa nhƣ sau [48]:

N 2

E s

  T , (2.32)

trong đó E là năng lượng liên kết giữa các spin lân cận theo hướng x, s2 đo sự thăng giáng (sự quay) của các spin theo trục x.

Đối với mô hình 2D XY tổng quát với tương tác nematic bậc q, mô đun xoắn đƣợc tính thông qua biểu thức sau [12]:

2

2 2

1 ( ) (1 ) cos ( )

1 ( ) (1 ) ( )

x

x

i j i j

ij

i j i j

B ij

cos q q

N

sin q sinq

Nk T

   

   

 

        

 

  

        

 

 





, (2.33)

Các nghiên cứu trước chỉ ra rằng, đối với chuyển pha thuộc lớp Kosterlitz–

Thouless, mô đun xoắn thể hiện tính không liên tục. Khi các cặp xoáy dương và xoáy âm tách nhau ra, mô đun xoắn sẽ nhảy về 0 ngay lập tức khi kích thước L→ ∞

30

[49]. Đối với các hệ mô phỏng có kích thước hữu hạn, tính không liên tục thể hiện khi kích thước hệ tăng lên (hình 2.12a).

a) b)

Hình 2.12. Mô đun xoắn phụ thuộc kích thước mô phỏng và thể hiện tính không liên tục khí L→ ∞ (đường liền nét màu xanh) (hình a) [49] . Kết quả mô phỏng cho đại lượng mô

đun xoắn của mô hình 2D XY chuẩn (hình b) [48]

Hình 2.12b mô tả kết quả mô phỏng cho mô hình 2D XY chuẩn cho đại lƣợng

 [49]. Ta nhận thấy rõ, khi kích thước tăng thì tính không liên tục tăng lên, đây là biểu hiện của chuyển pha KT.

2.4.7. Hàm tương quan và chiều dài tương quan

Hàm tương quan (correlation function) được định nghĩa theo biểu thức [29]:

0 0

( ) : ( ( )i ( ) )( ( )i ( ) ) ,

G r  S r  S r S r  S r (2.34)

Trong đó, ri là vị trí của spin thứ S(ri). Hàm tương quan đo sự tương quan giữa các thăng giáng (sự thay đổi trạng thái của spin) của spin S(ri) và S(r0).

Đối với hệ có chuyển pha bậc 2, trên nhiệt độ chuyển pha Tc hàm tương quan G(r) (tuân theo quy luật hàm e mũ) tiến dần về 0 khi khoảng cách r tăng, dưới nhiệt độ chuyển pha hàm tương quan G(r) tiến về giá trị hữu hạn khi r tăng (hình 2.13a) [50].

a) b)

Hình 2.13. Sự phụ thuộc của hàm tương quan vào khoảng cách giữa cách r giữa các spin cho hệ có chuyển pha bậc 2 (a) và chuyển pha KT (b) [50]

31

Trường hợp hệ có chuyển pha KT, trên nhiệt độ chuyển pha TKT hàm tương quan G(r) (tuân theo quy luật hàm e mũ) tiến dần về 0 khi khoảng cách r tăng, dưới nhiệt độ chuyển pha hàm tương quan G(r) (tuân theo quy luật hàm lũy thừa) tiến về 0 chậm (hình 2.13b) [50].

Chiều dài tương quan được tính theo hàm tương quan theo biểu thức sau [51]:

1( 2)

( ) 2d r

G r r exp



   

   (2.35) Khi nhiệt độ tới gần nhiệt độ tới hạn, chúng ta quan sát sự phân kỳ giá trị trung bình của chiều dài tương quan. Số mũ tới hạn  và  của hàm tương quan được định nghĩa [29]:

t 

  , với p = d–2+ (2.36)

Năm 2000, nhóm H. G. Ballesteros [52] đưa ra cách tính chiều dài tương quan trực tiếp từ tham số trật tự độ từ hóa và khai triển furier của độ từ hóa.

Đối với mạng hai chiều có kích thước N = L x L, hàm tương quan theo công thức 2.34 đƣợc tính thông quan độ từ hóa theo biểu thức [52]:

( )2 1 i i r ,

i

m r m m

N 

  (2.37) trong đó mi là độ từ hóa của spin tại nút mạng thứ i (tính theo công thức 2.23).

Khai triển độ từ hóa m k( ) trong không gian k, gần vùng tới hạn ở trạng thái thuận từ trong giới hạn nhiệt động lực học [52]:

m k( )2 2 1 2, k 1

k 





 

 (2.38)

Từ biểu thức 2.38 ta có thể tính được chiều dài tương quan thông qua độ từ hóa:

2

2 2

2 2

0

1 ( )

( ) k

m k

m k k





  

 (2.39) Trong mô hình 2D XY tổng quát với tương tác nematic bậc q, chiều dài tương quan (q) đƣợc tính theo biểu thức tổng quát sau [52,53]:

2 2

1 (0)

2 ( / 2) ( ) 1

q q

m q m

m

sin k m k

   (2.40)

trong đó km (2 / , 0) L véc tơ sóng spin (km  km ) và phụ thuộc vào độ từ hóa theo biểu thức:

2 2

, 1

( ) 1 ( . )

N q

q i i

x y i

m k S exp ik r

N 

 

   ; 2 2

, 1

(0) 1

N q

q i

x y i

m S

N 

 

   .

32

vớiSiqcó các hình chiếu lên các trục x và y theo biểu thức Sixq cos q( i) và

( )

q

iy i

S sin q .

Các đại lƣợng vật lý thống kê trên: nhiệt dung riêng, Độ cảmtừ, tham số Binder, mô đun xoắn … được tính toán cho các mẫu khác nhau (thông thường khi tiến hành mô phỏng cần lấy ít nhất 5 mẫu để thực hiện bước này). Để giảm thiểu sai số, ngoài phương pháp tính trực tiếp, chúng tôi sử dụng phương pháp jackknife để tính giá trị trung bình cho các đại lƣợng vật lý thống kê [54].