Chuyển pha bậc 2 đƣợc phân loại theo số mũ tới hạn của các đại lƣợng vật lý (đã trình bày mục 1.2.2). Ví dụ, đối với mô hình 2D Ising, các số mũ tới hạn đƣợc biết chính xác là: α = 0, β = 0.125, γ = 1.75 và ν = 1.Tuy nhiên, trên một mạng mô phỏng kích thước hữu hạn chúng ta có hữu hạn số bậc tự do, điều này gây nên một số vấn đề nhƣ: tham số trật tự tốt là gì, làm thế nào để xác định đƣợc nhiệt độ chuyển pha thực sự và xác định đƣợc số mũ tới hạn [54, 55].
Để giải quyết những vấn đề trên, chúng tôi dùng lý thuyết kích thước hữu hạn (fnite size scaling) để tính nhiệt độ chuyển pha và các số mũ tới hạn thông qua các đại lượng vật lý thống kê. Các bước tiến hành như sau:
Tính Tpeak(L) và sai số của Tpeak (L) đối với đại lƣợng nhiệt dung riêng, Độ cảmtừ (hình 2.14) và Độ cảm nematic thông qua vị trí các đỉnh cho các kích thước mô phỏng L của hệ.
Hình 2.14. Độ cảm từ phụ thuộc vào nhiệt độ cho mô hình 2D Ising [55]
Tính Tcross(L) và sai số của Tcross(L) đối với đại lƣợng tham số Binder, tỷ số chiều dài tương quan từ, tỷ số chiều dài tương quan nematic thông qua các điểm giao cắt kết. Trên hình 2.15a mô tả đại lượng tỷ số chiều dài tương quan phụ thuộc vào kích thước mô phỏng L của hệ, các đường này ξ/L cắt nhau tại một điểm, ta sẽ xác định được nhiệt độ chuyển pha bậc 2 Tc = Tcross(L). Với kích thước L đủ lớn, ta xác định đƣợc nhiệt độ chuyển pha bậc hai Tc với sai số nhỏ.
33
Trên thực tế, do hiệu ứng kích thước hữu hạn khi mô phỏng, điểm giao cắt Tcross(L) của các kích thước khác nhau phụ thuộc vào kích thước Tcross(L). Trong trường hợp này, chúng ta phải thực hiện phép ngoại suy Tcross(L) tới L để xác định nhiệt độ chuyển pha bậc hai Tc của hệ (hình 2.15b).
Hình 2.15. ξ/L, khi hiệu ứng kích thước hữu hạn lớn. Tcross là điểm giao cắt của ξ/L với hai kích thước hữu hạn L khác nhau. Tc được xác định bằng phép ngoại suy từ
Tcross (hình a). TKT được xác định thông qua điểm bắt đầu chập nhau của ξ/L với L khác nhau (hình b) [53]
Tính nhiệt độ chuyển pha Tc và sai số của Tc đƣợc tính toán thông qua Tpeak(L) và Tcross(L). Nhiệt độ chuyển pha Tc = Tpeak(∞) (hoặc Tc = Tcross(∞)) đƣợc xác định thông qua sự phụ thuộc kích thước L của Tpeak(L) theo công thức (2.41) (hình nhỏ trên hình 2.14b) [55, 56]:
1 1/
T( L ) T( ) A.L , (2.41) 2.5.2. Tính nhiệt độ chuyển pha KT
Trường hợp hệ mô phỏng có chuyển pha KT được tính thông qua đại lượng Tỷ số chiều dài tương quan, đồ thị sự phụ thuộc ξ/L vào nhiệt độ sẽ cho ta xác định được nhiệt độ chuyển pha TKT. Với các kích thước L khác nhau, các đường ξ/L chập vào nhau tại TKT. Theo lý thuyết tỉ lệ kích thước hữu hạn (Finite Size Scalling - FSS), nhiệt độ chuyển pha TKT(∞) được xác định thông qua sự phụ thuộc kích thước L của TKT(L) dựa theo công thức (2.42) [57]. Công thức này đã thành công trong việc tính toán nhiệt độ chuyển pha KT thông qua đại lượng tỷ số chiều dài tương quan với các kích thước mạng khác nhau [54, 57].
2
( ) ( ) 1 2
( ( ))
KT KT
T L T c
ln bL
, (2.42)
Từ phương trình (2.42) để xác định được các nhiệt độ chuyển pha thông qua sự phụ thuộc kích thước của nhiệt độ TKT(L) thì hằng số R đã được sử dụng. Sử dụng các giá trị R khác nhau để xác định nhiệt độ TKT(L) (hình 2.16a). Dữ liệu các đường R phải chồng chất trên một đường thẳng, điều này có nghĩa tham số b phụ thuộc R. Chúng ta vẽ ra TKT(L) nhƣ một hàm của 1/l2, với l = ln(bL) làm cho phù hợp với tham số b và c (hình 2.16b). Điểm giao cắt của đường dữ liệu với trục nhiệt độ cho ta xác định đƣợc nhiệt độ chuyển pha TKT = TKT(∞) [54, 57].
34
Hình 2.16. Xác định nhiệt độ TKT (L) thông qua R1, R2, R3 (hình a). TKT(L) phụ thuộc theo l-2 (với l = ln(bL)) (hình b)
Trường hợp hệ có chuyển pha KT được tính thông qua đại lượng mô đun xoắn ϒ. Trong nhiệt động lực học, chuyển pha KT đƣợc báo hiệu bởi sự gián đoạn của mô đun xoắn tại nhiệt độ chuyển pha TKT từ giá trị hữu hạn ϒ(TKT) tiến về 0 (trong vùng mất trật tự). Giá trị hữu hạn ϒ(TKT) liên hệ nhiệt độ chuyển pha TKT thông qua biểu thức 2.43 [12].
KT 2 KT
(T ) 2 T
, (2.43)
trong đó λ = 1/q (q = 2, 3 …); hệ số biểu thị tính chất xoáy của các xoáy đơn (xoáy không kết cặp), đặc trƣng cho sự chuyển pha từ pha mất trật tự sang pha nematic (N) hoặc pha sắt từ (F)) [12, 14].
Đối với hệ mô phỏng có kích thước hữu, nhiệt độ tới hạn của chuyển pha tại T
= TKT được xác định thông qua sự phụ thuộc kích thước L của TKT(L) theo hàm lôgarit. Giá trị hữu hạn ϒ(T = TKT) đƣợc xác định thông qua hàm fitting theo công thức 2.44 [12, 58]:
2 1 1
( , ) 1
2 log( )
fit
T L TA
CL
, (2.44)
trong đó A, C; là hai tham số fitting phi tuyến (với A 1
).
Để xác định chính xác nhiệt độ chuyển pha TKT; hệ chuyển trạng thái từ pha mất trật tự (các xoáy không kết cặp) sang trạng thái có các cặp xoáy bán nguyên với chu kỳ π), trước hết ta xác định điểm giao cắt giữa đường mô đun xoắn ϒ(T, L) cho các kích thước mô phỏng và đường thẳng theo công thức 2.43 (hình 2.17a). Theo lý thuyết tỉ lệ kích thước hữu hạn, nhiệt độ chuyển pha TKT = TKT(∞) được xác định thông qua sự phụ thuộc kích thước L của TKT (L) dựa theo công thức 2.44 (hình 2.17b). Công thức này thành công trong việc tính toán nhiệt độ chuyển pha KT thông qua các đại lượng như mô đun xoắn và đại lượng tỷ số chiều dài tương quan cho các kích thước khác nhau [54, 57].
35
a) b)
Hình 2.17. Xác định điểm giao cắt giữa đường KT 22 KT
(T ) T
và đường ( , )T L với các kích thước mô phỏng (hình a), fitting giá trị TKT(L) khi L→ ∞ (hình b)
36