Chương 3 Định dạng búp sóng dùng phương pháp số
3.1. Cơ sở định dạng búp sóng trọng số cố định
3.1.1. Tỉ số tín hiệu trên nhiễu tối đa
Một tiêu chuẩn có thể được áp dụng để tăng tín hiệu thu và làm giảm tín hiệu nhiễu dựa trên sự tối đa hóa SIR.
Giả thiết có một dàn N=3 phần tử với một phần tử được gắn với nguồn mong muốn và hai phần tử gắn với nhiễu không mong muốn. Tất cả các tín hiệu đều được giả thiết hoạt động tại cùng tần số sóng mang. Dàn được mô tả như hình 3.1. Các vecto dàn được cho bởi [2] :
[ e jkd ejkd ]T
a = − sinθ + 1 + sinθ .1)(3
Hình 3.1 Dàn 3 phần tử với tín hiệu mong muốn và không mong muốn Trọng số dàn để tối ưu hóa :
[w1 w2 w3]
wH = + + (3.2)
Đầu ra chung của tổng dàn sẽ là :
θ
θ sin
3 sin 2
. 1 jkd jkd
H a w e w w e
w
y = = − + + (3 .3)
θ0
θ1
θ2
s(k) i1(k
i2(k
x1(k)
x2(k)
x3(k)
w1* w2* w3*
∑ y(k)
Đầu ra của dàn cho tín hiệu mong muốn sẽ được thiết kế là ys và đầu ra của các tín hiệu nhiễu không mong muốn là y1,y2. Vì chưa biết 3 trọng số, ta phải thoả mãn 3 điều kiện :
Điều kiện 1 : ys = wH. a0 = w1e−jkdsinθ0 + w2 + w3ejkdsinθ0 = 1
Điều kiện 2 : y1 = wH. a1 = w1e−jkdsinθ1 + w2 + w3ejkdsinθ1 = 0
Điều kiện 3 : y2 = wH. a2 = w1e−jkdsinθ2 + w2 + w3ejkdsinθ2 = 0
Điều kiện 1 yêu cầu ys = 1 cho tín hiệu mong muốn, theo đó cho phép tín hiệu mong muốn được nhận mà không có sự thay đổi. Điều kiện 2 và 3 loại bỏ tín hiệu nhiễu không mong muốn. Những điều kiện này có thể được biểu diễn trong ma trận như sau:
wH. A = u1T (3.4)
Với A= [a0 a1 a2]= ma trận vectơ định hướng u1 = [ 1 0 ... 0 ]T = vectơ cơ bản Cartesian
Có thể nghịch đảo ma trận để tìm trọng số phức w1,w2, và w3 bằng phương trình :
wH = u1.A−1 (3.5)
gó Ví dụ, nếu tín hiệu mong muốn đến từ góc θ0 = 00 và nhiễu tới từ c θ1=450,θ2=600 thì trọng số tìm được :
+
−
=
i i w
w w
27 . 0 28 . 0
45 . 0 0.07 28 . 0
*3
*2 1*
(3.6)
Và kết quả đồ thị được chỉ trên hình 3.2 :
Hình 3.2 Triệt búp sóng phụ
Vectơ cơ bản Cartesian trong biểu thức (3.4) chỉ ra rằng trọng số của dàn được lấy từ dòng đầu tiên của ma trận A-1.
Sự phát triển trước đó được dựa trên tín hiệu mong muốn và tổng tín hiệu nhiễu làm ma trận là một ma trận vuông nghịch đảo. phải là ma trận NxN với dàn N phần tử và có N tín hiệu đến. Trong trường hợp với số tín hiệu nhiễu nhỏ hơn M-1, Godara đã đưa ra một biểu thức để ước lượng trọng số. Tuy nhiên, công thức của ông đòi hỏi tạp âm phải được thêm vào hệ thống vì ma trận nghịch đảo sẽ là ma trận đơn. Sử dụng phương pháp Godara [2] ta có :
H T H H σ2 −1 .7)(3
Với uT1 là vectơ Cartesian cơ bản mà độ dài bằng với tổng số nguồn.
Cho một dàn có M = 5 thành phần với d = λ/2, tín hiệu mong muốn đến với góc θ= 00 và một tín hiệu nhiễu đến tại góc -150 , một tín hiệu nhiễu khác đến với
góc +250. Nếu phương sai tạp âm là σn2=0.001 , sử dụng ước lượng trọng số dàn theo công thức (3.7) để tìm trọng số và đồ thị như sau :
Hình 3.3 Đồ thị dàn với m c không xấp xỉ tại ứ -150 và 250 Và trọng số :
T
n H H T H
i i i i I
A A A u w
−
− + +
= +
= −
11 . 0 26 . 0
08 . 0 17 . 0
13 . 0
08 . 0 17 . 0
11 . 0 26 . 0 ) .
(
. 2 1
1 σ
Ưu điểm của phương pháp Godara là tổng số nguồn có thể nhỏ hơn số phần tử dàn.
Sơ đồ triệt tiêu búp sóng phụ cơ bản hoạt động thông qua ứng dụng trực giác của vectơ điều khiển hướng dàn ăngten đối với tín hiệu mong muốn và tín hiệu nhiễu. Tuy nhiên, bằng phương pháp đạt tối đa SIR, chúng ta có thể đưa ra giải pháp phân tích cho các trường hợp tổng quát.
Dàn băng hẹp tiêu chuẩn không thích ứng chung được chỉ ra trong hình 3.4.
Hình 3.4 Dàn ăngten băng hẹp truyền thống
Hình 3.4 chỉ ra một tín hiệu mong muốn đến từ góc 0, N nhiễu đến từ các θ góc θ1, … ,θN. Tín hiệu và nhiễu được thu bởi một dãy M thành phần với M trọng số. Mỗi tín hiệu nhận được tại phần tử m còn bao gồm nhiễu cộng Gaussian. Thời gian được biểu diễn bởi mẫu thời gian thứ k. Vì vậy, đầu ra trọng số dàn y có thể được cho bởi :
y(k) = wH.x(k) .8)(3
Với [ ] ( )
) ( . . .
) (
) ( . ...
) ( )
(
2 1
2 1
0 n k
k i
k i
k i
a a
a k s a k x
N
N +
+
=
) ( ) ( )
( k x k n k
xs + i +
= (3.9)
Với w=[w1 w2 ... wM]T = trọng số dàn )
(k
xs =vectơ tín hiệu mong muốn )
(k
xi = vectơ tín hiệu giao thoa
θ0
θ1
θ
s(k) i1(k
iN(k
x1(k)
x2(k)
xM(k)
w1* w2*
wM*
∑ y(k)
. . .
) (k
n = tạp âm trắng Gaussian cho mỗi kênh
ai=vectơ đ ềi u khiển ướng dàn M phần tử cho hướng tới θ h i Ta nhận được biểuthức (3.8) kết hợp với (3.9) ta có :
y(k)= wH.[ xs( k)+ xi( k)+ n(k)]= wH.[xs(k)+u(k)] .10) (3 với :
) ( ) ( )
(k x k n k
u = i + = tín hiệu không mong muốn
Giả sử tất cả các tín hiệu đến đơn sắc và tổng số tín hiệu đến N+1 ≤ M. Điều đó nghĩa là tín hiệu đến thay đổi theo thời gian, do đó tính toán này dựa trên ảnh chụp nhanh k thời gian của tín hiệu đến. Nếu các m y di đá ộng di chuyển, ma trận của vectơ điều khiển hướng thay đổi theo thời gian và góc tới tương ứng cũng thay đổi. Trừ khi biểu diễn theo một cách khác, sự phụ thuộc thời gian sẽ được ẩn trong biểu thức (3.8) thông qua (3.10)
Chúng ta có thể tính toán ma trận tương quan dàn cho cả tín hiệu mong muốn (Rss) và không mong muốn (Ruu). Đôi khi người ta thường gọi những ma trận này là ma trận phương sai dàn. Tuy nhiên, ma trận phương sai còn có nghĩa khác là ma trận tương quan. Vì chúng ta không biết trung bình thống kê của nhiễu hệ thống hoặc đầu ra bộ tách sóng phía trước, cách tốt nhất là dán nhãn cho tất cả ma trận R như ma trận tương quan. Nếu áp dụng thời gian trung bình, ma trận tương quan có thể được định nghĩa với với kí hiệu thời gian trung bình là ss và uu.
Công suất đầu ra dàn có trọng số cho tín hiệu mong muốn được cho bởi : σ2s=E[|wH.xs|2] = wH. R ss. w .11)(3 Với Rss =E[xsxHs ] = matrận tương quan tín hiệu
Công suất đầu ra dàn có trọng số cho tín hiệu không mong muốn là :
σ2s=E[|wH.u|2] = wH.Rss.w (3.12)
Ta có : Ruu = Rii + Rnn (3.13)
Với Rii = ma trận tương quan cho nhiễu Rnn = trận tương quan cho tạp âm
Tỉ số tín hiệu trên tạp âm (SIR) được định nghĩa là tỉ số của công suất tín hiệu mong muốn trên công suất tín hiệu không mong muốn :
SIR= 22 =
u S
σ σ
w R w
w R w
uu H
SS H
. .
.
. (3.14)
Tỉ số SIR có thể lớn nhất theo biểu thức (3.14) bằng cách biến đổi như sau (theo Harrington). Sắp xếp lại chúng ra được mối quan hệ :
Rss.w= SIR.Ruu.w .15)(3 Hoặc Ruu−1 Rss.w= SIR.w (3.16) Giá trị lớn nhất của tỉ số SIR (SIRmax) bằng với giá trị lớn nhất của λmax cho ma trận Hermitian Ruu−1Rss. Giá trị vectơ liên quan đến giá trị lớn nhất đó thông qua vecto trọng số tối ưu opt. Vì vậy ta có:
− =
SIR ss uuR w
R 1 . λmax. w opt=SIRmax. w SIR (3.17) Vì ma trận tương quan là ma trận được định nghĩa Rss=E[| |s2].a0.aH0 ,chúng ta có thể đặt trọng số vectơ theo phương pháp Wiener tối ưu.
wSIR= .β 1 0
.a
Ruu− .18)(3
Với
[ ]
SIR
H w
SIR a s E . 0 .
max 2
β= 3.19)(
Mô phỏng một dàn gồm M = 5 thành phần với khoảng cách d = 0.5λ có phương sai tạp âm σ2n= 0.001. tín hiệu mong muốn nhận được tới với góc θ0 = 200, và 2 tín hiệu nhiễu tới với các góc θ1= 20- 0 và θ2=400. Giả thiết biên độ tín hiệu và nhiễu là không đổi. Sử dụng MATLAB để tính toán SIRmax, các trọng số chuẩn hóa từ biểu thức (3.17) và đưa ra đồ thị phương hướng.
Trọng số dàn được chuẩn hóa bởi giá trị trọng số trung tâm :
−
−
−
−
− +
=
i i i i i wSIR
0066 . 0 2410 .0
1944 . 0 0148 . 0
1859 . 0 1007 . 0
1186 . 0 1547 . 0
1982 . 0 1372 . 0
Và đồ thị phương hướng đưa ra là :