Chương 3 Định dạng búp sóng dùng phương pháp số
3.2. Định dạng búp sóng thích ứng
3.2.1. Tối thiểu bình phương trung bình- LMS [2]
Thuật toán tối thiểu bình phương trung bình là một phương pháp tiếp cận dựa trên gradient. Monzingo đưa ra một phương pháp xuất sắc xử lý cơ bản việc tiếp cận này. Thuật toán dựa trên gradient giả thiết hiệu suất bề mặt bậc hai là hàm bậc hai của trọng số dàn, hiệu suất bề mặt J(w) là một dạng của hình tròn xoay parabol ellip có một giá trị cực tiểu. Một trong những cách tốt nhất để thiết lập giá trị cực tiểu là thông qua phương pháp gradient. Ta thiết lập hiệu suất bề mặt (hàm giá trị) bằng cách tìm MSE. Sai số trong hình 3.9 là :
ε(k) = d(k) – wH(k)x(k) (3.47) Bình phương sai số ta có :
|ε(k) |2 = | d(k) –wH(k)x(k)|2 (3.48) Ngay lập tức, ta sẽ triệt tiêu được sự phụ thuộc vào thời gian, như đã tính toán, hàm giá trị sẽ có dạng :
w R w r w D w
J xx
H
H +
−
= 2
)
( (3.49)
Với
D = E[|d|2]
Sử dụng phương pháp gradient để xác định giá trị cực tiểu của biểu thức (3.49). Ta có :
∇w(J(w))= 2Rxxw−2r (3.50) Giá trị cực tiểu đạt được khi gradient bằng 0. Như vậy giải pháp cho các trọng số là phương pháp Wiener tối ưu:
r R wopt −xx1
= (3.51)
Kết quả phương trình (3.51) dựa trên thống kê tín hiệu và trong tính toán ma trận tương quan.
Nói chung, chúng ta không biết thống kê tín hiệu và do đó phải ước lượng ma trận tương quan dàn (Rxx) và vectơ tương quan tín hiệu (r) qua mộtloạt các ghi nhanh hoặc cho mỗi trường hợp trong từng thời điểm. Việc ước lượng tức thời của các giá trị này ta có :
≈ H (3.52)
Và r(k) ≈d*(k)x(k) (3.53) Ta sử dụng kỹ thuật lặp lại gọi là phương pháp hướng dốc nhất để xấp xỉ gradient của hàm giá trị. Hướng của hướng dốc nhất là lấy ngược chiều với hướng của vecto gradient. Phương pháp hướng dốc nhất có thể được xấp xỉ trong giới hạn
của các trọng số sử dụng phương pháp LMS của Widrow. Xấp xỉ độ dốc nhất lặp lại:
à (J( )) .54) (3
Với àlà thụng số kớch thước bước và là gradient của hiệu suất bề mặt . Gradient của hiệu suất bề mặt được cho bởi biểu thức (3.50). Nếu ta thay thế các phép tính xấp xỉ tương quan tức thời, ta sẽ có phương pháp LMS.
(k+1) = (k) - [à ] = (k) e*(k) (k) - à .55)(3 Với e(k) = d(k) - (k) (k) = tín hiệu lỗi
Sự hội tụ của thuật toán LMS trong biểu thức (3.55) tỉ lệ trực tiếp với thông số kích thước bước . Nếu kích thước bước quá nhỏ, sự hội tụ sẽ chậm và rơi vào trường hợp quá ngưỡng. Nếu sự hội tụ chậm hơn sự thay đổi của góc tới, có thể dàn thích ứng không đạt được tín hiệu mong muốn đủ nhanh để dò theo tín hiệu thay đổi. Nếu kích thước bước quá lớn, thuật toán LMS sẽ vượt quá trọng số tối ưu mong muốn. Trường hợp này gọi là dưới mức ngưỡng. Nếu sự hội tụ quá nhanh, trọng số sẽ dao động về trọng số tối ưu nhưng không dò chính xác phương pháp mong muốn.
Vì vậy phải chọn một kích thước bước trong khoảng đảm bảo hội tụ. Tính ổn định được đảm bảo theo các điều kiện tương thích :
0 ≤ à ≤
2 max
1
λ 56)(3.
Với λmax là giá trị riêng lớn nhất của Rxx.
Vì ma trận tương quan là xác định dương, tất cả các giá trị riêng trong đó đều dương. Nếu tất cả tín hiệu nhiễu là tạp âm và chỉ có duy nhất một tín hiệu mong muốn, ta có thể xấp xỉ điều kiện (3.56) là :
0 ≤ à ≤
] [ 2
1 Rxx
trace .57)(3
Cho dàn 8 phần tử với khoảng cách d = 0.5λ có tín hiệu nhận được với góc tới θ0=300, tín hiệu nhiễu tại θ1 =-600. Sử dụng MATLAB để viết chu trình LMS để giải ra trọng số mong muốn. Giả thiết rằng vectơ tín hiệu nhận được mong muốn được xác định xs(k)= a0s(k)với s(k) = cos(2*pi*t(k)/T); với T = 1ms và t = (1:100)*T/100. Giả thiết vectơ tín hiệu nhiễu được xác định bởi xi(k)=a1i(k), với
= randn(1,100), các tín hiệu là trực giao với chu kì thời gian T. Tín hiệu mong muốn d(k)=s(k).
Sử dụng thuật toán trung bình phương nhỏ nhất theo biểu thức (3.55) để tìm ra trọng số dàn thích ứng.
Trọng số cho dàn 8 phần tử tuyến tính trên : w1 = 1
w2 = 0.24385+0.86239i w3 = -1.0287+0.46908i w4 = -0.40928 1.3023i- w5 = 1.3594-0.13518i w6 = -0.028997+1.1326i w7 = -0.89012+0.11094i w8 = -0.38947 0.91876i-
Hình 3.12 Cường độ của trọng số dàn
Hình 3.13 Thu và dò tín hiệu mong muốn
Hình 3.14 Sai số bình phương trung bình