Chương 3 Định dạng búp sóng dùng phương pháp số
3.2. Định dạng búp sóng thích ứng
3.2.6. Phương pháp liên hợp Gradient
Vấn đề khi giảm độ dốc là độ nhạy tốc độ hội tụ với giá trị riêng mở ộ r ng của ma trận tương quan. Kết quả mở rộng lớn hơn thì hội tụ chậm hơn. Tốc độ hội tụ có thể tăng lên bằng cách sử dụng phương pháp liên hợp gradient CGM. Mục tiêu của CGM là tìm kiếm vòng lặp cho phương pháp tối ưu bằng cách chọn đường liên hợp (trực giao) cho mỗi vòng lặp mới. Liên hợp trong ngữ cảnh này nghĩa là trực giao.
Phương pháp CGM đưa ra kết quả hướng tìm kiếm trực giao của sự hội tụ nhanh.
Hình 3.30 chỉ ra góc nhìn trên của bề mặt hiệu suất 2 chiều với bước liên hợp cho
thấy sự hội tụ hướng về phương pháp tối ưu. Chú ý là đường của vòng lặp thứ n+1 trực giao với đường của vòng lặp thứ n.
Phương pháp CGM bắt nguồn từ mong muốn giải quyết hệ thống phương trình tuyến tính. CGM còn được gọi là phương pháp tiếp cận tăng tốc gradient (AG). Gradient được tăng tốc bởi ưu điểm của việc chọn hướng liên hợp. Phương pháp CGM được thay đổi để sử dụng trong việc dự đoán trọng số dàn.
Hình 3.25 Hội tụ sử dụng hướng liên hợp
CGM là phương pháp vòng lặp mà mục tiêu là tối thiểu hàm giá trị bậc hai : w
d w A w w
J = H − H
2 ) 1
( (3.117)
Với
=
) ( ...
) ( ) (
. .
) 2 ( ...
) 2 ( ) 2
((1) (1) ... (1)
2 1
2 1
2 1
K x K
x K x
x x
x
x x
x A
M M M
KxM Ma trận lưu giữ nhanh dàn
K = số lượng ảnh lưu giữ M = số lượng phần tử dàn
w = vectơtrọng số chưa biết
d = [d(1) d(2) … d(K)]T = vectơtín hiệu mong muốn của K hình ảnh lưu giữ
Chúng ta có thể lấy gradient của hàm giá trị và cho bằng 0 để tìm ra giá trị nhỏ nhất. Nghĩa là :
d w A w
wJ = −
∇ ( ) (3.118)
Chúng ta có thể sử dụng phương pháp giảm độ dốc lặp lại để tối thiểu hóa biểu thức (3.118). Chúng ta mong muốn lướt qua đáy của hàm giá trị bậc hai chọn số nhỏ nhất của vòng lặp. Chúng ta có thể bắt đầu với việc thử khởi tạo cho giá trị trọng số w(1) và tìm ra số dưr(1). Giá trị dư đầu tiên sau giá trị thử là:
) 1 ( ))
1 ( (' )
1
( J w d Aw
r =− = − .119)(3
Chúng ta chọn tiếp theo một hướng vectơ giúp chúng ta có một hướng liên hợp mới để lặp lại trọng số tốiưu. Do đó :
) 1 ( )
1
( A r
D = H .120)(3
Trọng số chung cập nhật biểu thức được cho bởi : )
( ) ( ) ( ) 1
(n wn n D n
w + = −à .121)(3
Với kích thước bước là :
) ( )
( ) ( )
) (
( D n A AD n
n r A A n n rH H
H H
à = .122)(3
Chúng ta có thể cập nhật số dư và vecto hướng. Chúng ta nhân biểu thức (3.121) với và cộng thêm để nhận được cập nhật cho các số dư :
) ( ) ( ) ( ) 1
(n r n n AD n
r + = +à .123)(3
Cập nhậtvectơhướng được cho bởi công thức : )
( ) ( ) 1 ( )
1
(n A r n n D n
D + = H + −α .124)(3
Chúng ta có thể sử dụng tìm kiếm tuyến tính để quyết định để tối thiểu hóa J(w(n)) do đó :
) ( )
(
) 1 ( )
1 ) (
( r n AA r n
n r A A n
n r H H
H
H + +
α = .125)(3
Do đó, thủ tục để sử dụng CGM là để tìm phần dư và các trọng số liên quan và cập nhật cho tới khi điều kiện hội tụ được thỏa mãn. Phương pháp thực tế là không nhiều hơn K vòng lặp. Điều kiện này gọi là hội tụ bậc hai.
Cho dàn có M =8 phần tử với phần tử nửa bước sóng, tìm các trọng số dưới những điều kiện sau :
Tín hiệu đến quan tâm là s = cos(πk/K) với góc tới là 450.
- Một tín hiệu nhiễu được định nghĩa : I1=randn(1,K) tới tại góc tới -300 - Một tín hiệu nhiễu khác được định nghĩa : I2=randn(1,K) tới tại góc 00. - Tạp âm có phương sai σ2=0.001. Do đó, n=σ*randn(1,K)
Sử dụng phương pháp CGM để tìm ra trọng số tối ưu khi sử dụng kích thước khối K = 20.
Hình 3.25 là đồ thị tiêu chuẩn của số dư.
Hình 3.26 Tiêu chuẩn của số dư cho mỗi vòng lặp Có thể thấy rằng số dư giảm xuống mức nhỏ sau 14 vòng lặp.
Hình 3.26 là kết quả đồ thị phương hướng của bài toán.
Hình 3.27 Đồ thị dàn sử dụng phương pháp CGM Có thể thấy 2 null được đặt ở 2 góc tới của tín hiệu nhiễu.
MATLAB cũng hỗ trợ hàm gradient liên hợp để tìm hệ số tối ưu. Hàm này thực hiện bình phương tối thiểu của CG và cho bởi công thức w = lsqr(A,d). A là ma trận được lưu giữ nhanh dàn, d là vectơ tín hiệu mong muốn bao gồm K dữ liệu lấy mẫu. Sử dụng các thông số của mô phỏng trước đó, chúng ta sử dụng hàm MATLAB lsqr(A,d) và đưa ra đồ thị hệ số dàn trong hình 3.27.
Hình 3.28 Kết quả đồ thị dàn sử dụng CGM MATLAB