CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
2.2. Phương pháp tính toán dựa trên thuật toán của Chen
Năm 1970, phương pháp Nicholson-Ross-Weir [25] được nghiên cứ để sử dụng cho việc tính toán các thông số (chiết suất, trở kháng, hệ số điện môi và độ từ
thẩm) của một vật liệu biến hóa sử dụng các số liệu phổ phản xạ, truyền qua và các tín hiệu pha. Cũng với mục đích tính toán các tham số trường điện từ, năm 2004, X.
Chen [26] dựa trên các kết quả của nhóm trên đã xây dựng một phương pháp cải tiến hơn. Với phương pháp tính toán này chúng ta lưu ý một số vấn đề rất quan trọngsau:
1. Thứ nhất, các tham số trường điện từ có dạng phức để phản ánh đúng bản chất thụ động (có tổn hao) của sóng điện từ khi đi qua các môi trường. Vì thế trong quá trình tính toán, chúng ta phải đảm bảo rằng các tham số này sẽ không vi phạm bất kỳ định luật vật lý nào. Trong tính toán, việc sử dụng các điều kiện vật lý sẽ cho phép ta giới hạn kết quả cho 1 nghiệm duy nhất.
2. Thứ hai, các tham số của trường điện từ này phụ thuộc vào tần số và thường nhận giá trị rất lớn quanh vị trí cộng hưởng. Đặc điểm này của vật liệu biến hóa sẽ khiến cho việc xác định chỉ số nhánh (giá trị cho biết số lượng các bước sóng truyền bên trong 1 bản vật liệu) trở nên rất phức tạp, đặc biệt quanh vùng cộng hưởng.
Để xác định độ từ thẩm và độ điện thẩm, ta coi bản vật liệu biến hoá như một môi trường hiệu dụng đồng nhất. Trong trường hợp này, chiết suất, trở kháng, độ từ thẩm và độ điện thẩm có thể được truy hồi từ kết quả của các tham số tán xạ, bao gồm hệ số phản xạ , hệ số truyền qua và pha. Xét một sóng phẳng chiếu vuông góc lên một bản MMs đồng nhất có độ dày d, với gốc tọa độ trùng với mặt phẳng đầu tiên của tấm, có là hệ số phản xạ, liên quan đến hệ số truyền qua T thông qua công thức , trong đó là số sóng của sóng điện từ trong chân . Theo phương pháp Nicholson-Ross-Weir (NRW), các tham số tán xạ liên hệ với chiết suất và trở kháng thông qua [25]:
(2.1)
(2.2)
Với: .
Từ (2.1) và (2.2), giá trị của trở kháng được truy hồi từ tham số tán xạ bằng cách tính ngược lại phương trình (2.1) và (2.2):
2.(3)
(2.4)
Với: . Trong phương trình (2.3), dấu ± chỉ ra bước
chọn nhánh đầu tiên. Dấu của trở kháng được xác định theo nguyên tắc coi vật liệu MMs là môi trường thụ động, do đó phần thực của trở kháng và phần ảo của chiết suất trong phương trình (2.5) và (2.6) được xác định bởi điều kiện:
(2.5) (2.6)
Như vậy, cần phải chọn giá trị của trở kháng sao cho thoả mãn điều kiện (4) trên toàn bộ dải tần hoạt động. Khi đã xác định được , giá trị của thu được từ , và được tính như sau:
(2.7)
Độ lớn của thu được từ phương trình luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1, đảm bảo cho dấu phần ảo của chiết suất luôn thỏa mãn phương trình(6). Cuối cùng, ta thu được công thức để xác định chiết suất:
(2.8)
Trong đó m là số nguyên liên quan đến chỉ số nhánh của . Tại đây, chúng ta đối mặt với việc lựa chọn nhánh phức tạp hơn: chọn giá trị đúng của . Việc xác định phần thực của tương đối khó khăn do sự tồn tại của các nhánh khi giải phương trình hàm logarithm.
Mặc dù giá trị của trở kháng và phần ảo của chiết suất có thể tính toán một cách cụ thể thông qua phương trình (2.3) và (2.8). Nhưng có thể thấy cách tính toán này có một hạn chế là: các tham số tán xạ lấy từ kết quả mô phỏng và thực
nghiệm đều có thể có sai số nên sẽ dẫn đến các sai số của n và z. Các giá trị sai số này khá nhỏ nhưng sẽ làm cho dấu bị đảo ngược tại các vị trí mà các tham số có giá trị xấp xỉ 0. Có một giải pháp để giải quyết điều này đó là đưa vào các giá trị ngưỡng cho các điều kiện (2.5) và (2.6). Cụ thể, khi giá trị tuyệt đối của z lớn hơn giá trị ngưỡng, điều kiện (2.5) có thể được áp dụng. Dấu của trở kháng sẽ tương ứng với giá trị của chiết suất có phần ảo không âm với các trường hợp còn lại. Điều kiện này tương đương với .
Từ phương trình (2.8), phần thực của chiết suất vẫn chưa được xác định rõ ràng do vấn đề chọn nhánh của m khi giải phương trình hàm logarit của phương trình (2.7). Việc xác định chỉ số nhánh m của vật liệu Meta tương đối phức tạp.
Trước tiên, nhánh của tại tần số ban đầu được xác định như sau: từ (2.9) (2.10)
(2.11) (2.12)
Vì vật liệu biến hoá được coi là môi trường thụ động, do đó phần ảo của độ điện thẩm và độ từ thẩm phải nhận giá trị dương ( và ). Thông qua tính toán ta thu được điều kiện:
(2.13)
Ở tần số ban đầu, nhánh đúng của kết quả giải phương trình logarit là nhánh với giá trị số nguyên thoả mãn phương trình (2.13). Nếu có nhiều kết quả thì với mỗi giá trị nhánh , ta xác định giá trị của tại tất cả các tần số tiếp theo bằng cách sử dụng phương pháp lặp được đề cập ở phần tiếp theo. Với các tần số tiếp theo, để xác định ta sử dụng tính liên tục của chiết suất và mô hình lặp dựa trên các tham số đã thu được ở trên. Giả sử có giá trị chiết suất tại tần số , ta sẽ thu được giá trị tại tần số tiếp theo bằng cách khai triển Taylor hàm
:
(2.14)
Với và biểu thị số sóng trong chân
không tại tần số . là tần số ban đầu mà các tham số đã được xác định, là tần số kế tiếp. Trong phương trình (2.14), chỉ số nhánh [m trong (2.8)] của phần thực là giá trị duy nhất chưa xác định. Vì vế bên trái của phương trình (14) được xác định từ phương trình (2.7), do đó phương trình (2.14) là phương trình bậc hai ứng với biến là và sẽ có 2 nghiệm. Vì đã xác định được giá trị của theo (2.7), ta có thể chọn được đúng một trong hai nghiệm bằng cách so sánh phần ảo của chúng với , Nghiệm có phần ảo gần nhất với là nghiệm đúng, và được ký hiệu là . Vì là kết quả xấp xỉ tốt nhất của , ta sẽ chọn nhánh m trong phương trình (2.8) sao cho gần nhất có thể với giá trị .