QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
II. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VÉCTƠ. ĐIỀU KIỆN ĐỂ BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG
2.3.2. Hai đường thẳng vuông góc
A' B'
D' C'
D C A B
Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD có AB
=2a, CD2 2a. M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = a 5. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
2a
a 5
2 2 a O
N
M A
B
C
D
Gọi O là trung điểm của AC
Suy ra OM song song với AB, ON song song với CD Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng OM và ON.
Xét tam giác OMN, ta có:
2 2 2
cos 2. .
OM ON MN
MON OM ON
= 2
2 2 2
2 5 2
a a a
a
= 2
1 Suy ra góc MON=1350 .
Suy ra gócgiữa hai đường thẳng AB và CD bằng 450
a) Tiếp cận (khởi động): GỢI Ý
Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ' ' ' '. Kể tên các đường thẳng vuông góc với AB.
B' C'
C
D B
A' D' A
b) Hình thành kiến thức.
1. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 900. Kí hiệu: ab
2. Nhận xét:
a. abu v. 0 trong đó u v, lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng a b, . b. a // 'a '
b a b a
c. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể cắt nhau hoặc không cắt nhau.
Trang 109
c) Củng cố. GỢI Ý
Hãy nêu một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian?
+ Dùng định nghĩa.
+ Chứng minh tích vô hướng hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó bằng 0.
+ a // 'a ' b a b a
- Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm.
Nhóm 1, 2: Ví dụ 6
Nhóm 3, 4: Ví dụ 7
- Thực hiện: Học sinh dựa vào kiến thức liên quan trong mặt phẳng, tìm hiểu làm ví dụ vào bảng phụ.
- Báo cáo, thảo luận: Các nhóm treo bảng phụ, cử đại diện báo cáo kết quả. Các nhóm khác nhận xét, phản biện.
- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức. HS viết bài vào vở.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC và SBC cân có chung đáy BC. Chứng minh rằng hai đường thẳng SA và BC vuông góc.
M S
A
B
C
Gọi M là trung điểm của BC
Vì tam giác ABC và SBC cân đáy BC nên AM và SM vuông góc với BC.
Ta có : SA BC. MA MS BC .
= MA BC.. MS BC.
= 0 (vì MABC MS, BC) Suy ra SA BC.
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD có AB AC, AB BD. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD. CMR: AB PQ.
Ta có: PQPA AC CQ PQPB BD DQ
Cộng vế theo vế: 2PQ ACBD Suy ra 2AB PQ. AB AC. AB BD. 0. Kết luận: ABPQ.
Trang 110
3. LUYỆN TẬP (15 phút)
Bài toán. GỢI Ý
Bài toán 1] Cho hình lập phươngABCD A B C D. . Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A D .
Gợi ý:
Do ABCD A B C D. là hình lập phương nên các tam giác AB C A C D ; là các tam giác đều DA C 60 Mặt khác AC/ /A C nên
AC A D; A C A D ; 60
Bài toán 2. Cho hình hộp thoi
ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và ABCB BA' B BC' 600 . Chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.
B' C'
A' D'
A D B C
Gợi ý:
Trước hết ta dễ thấy tứ giác A’B’CD là hình bình hành, ngoài ra B’C = a = CD nên nó là hình thoi. Ta chứng minh hình thoi A’B’CD là hình vuông. Thật vây, ta có:
2 2
'. ' . . '. 0
2 2
a a
CB CD CBBB BACB BA BB BA Suy ra CB'CD . Vậy tứ giác A’B’CD là hình vuông.
Bài toán 3. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng MN SC, .
Gợi ý:
Ta có: MN/ /SAMN SC, SA SC, .
Ta lại có: ACa 2. Xét SAC, nhận thấy:
2 2 2
AC SA SC .
Theo định lí Pitago đảo, SAC vuông tại S. Suy ra:
P
Q B
C
D A
Trang 111 900
ASC hay MN SC, SA SC, 900.
Bài toán 4. Cho hình chóp S ABC. có SASBSC và ASBBSCCSA. Chứng minh SCAB.
A C
B S
Gợi ý:
Ta có SC AB. SC SB SA. SC SB SC SA. .
. .cos . . .cos .
. .cos . .cos .
SC SB SC SB SC SA SC SA SC SB BSC SC SA ASC
Mà SASBSC và BSCASC SC AB. 0. Do đó SCAB.
Bài toán 5. Cho tứ diện ABCD có ABCD. Gọi I J E F, , , lần lượt là trung điểm của AC BC BD AD, , , . Chứng mình
IEJF .
J
E I
F
B D
C A
Gợi ý:
Ta có IF là đường trung bình của ACD 1
2 IF CD
IF CD
.
Lại có JE là đường trung bình của BCD 1
2 JE CD
JE CD
. IF JE IF JE
Tứ giác IJEF là hình bình hành.
Mặt khác:
1 2 1 2 IJ AB JE CD
. Mà ABCDIJ JE. Do đó IJEF là hình thoi. Suy ra IE JF, 90 .