CHƯƠNG VI CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI
6.2. Động học tương đối tính – phép biến đổi Lorentz
6.2.3 Động lực học tương đối tính
a/ Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm:
THEO THUYẾT TƯƠNG ĐỐI, PHƯƠNG TRÌNH BIỂU DIỄN ĐỊNH LUẬT NEWTON HAI:
dt v md
Fr r
= không thể mô tả chuyển động của chất điểm với vận tốc lớn. Để mô tả chuyển động, cần phải có phương trình khác tổng quát hơn. Theo thuyết tương đối, phương trình đó có dạng:
( m v ) dt
F r = d r (6.15)
TRONG Để M LÀ KHỐI LƯỢNG CỦA CHẤT ĐIỂM:
2 2 0
c 1 v m m
−
= (6.16)
m là khối lượng chất điểm đó trong hệ mà nó chuyển động với vận tốc V được gọi là khối lượng tương đối; m0là khối lượng cũng của chất điểm đó trong hệ mà nó đứng yên (V = 0) được gọi là khối lượng nghỉ.
TA THẤY RẰNG THEO THUYẾT TƯƠNG ĐỐI, KHỐI LƯỢNG CỦA MỘT VẬT KHễNG CềN LÀ HẰNG SỐ NỮA, Nể TĂNG KHI VẬT CHUYỂN ĐỘNG; GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT KHI Nể ĐỨNG YấN. CŨNG Cể THỂ NểI RẰNG: KHỐI LƯỢNG Cể TÍNH TƯƠNG ĐỐI; Nể PHỤ THUỘC HỆ QUY CHIEÁU.
PHƯƠNG TRÌNH (6.15) BẤT BIẾN VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ VÀ TRONG TRƯỜNG HỢP V<< C Nể TRỞ THÀNH PHƯƠNG TRèNH BIỂU DIỄN ĐỊNH LUẬT THỨ HAI CỦA NEWTON.
b/ Động lượng và năng lượng.
Theo (6.16) động lượng của một vật bằng:
2 2 0
1 c v v v m
m P
−
=
= r
r r
(6.17)
Khi V<<c ta thu được phương trình cổ điển p r
= m0v r. Như vậy phương trình cơ bản (6.15) có thể viết:
dt p F r d r
=
TA HÃY TÍNH NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT. THEO ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG, ĐỘ TĂNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT BẰNG CÔNG CỦA NGOẠI LỰC TÁC DỤNG LÊN VẬT :
dW = dA
Để đơn giản, ta sử dụng cùng phương với chuyển dời Fr d r s .
dW = dA = F r d s r = Fds
THEO (6.15) TA Cể:
ds c
1 v v m dt
dw d
2 2 0
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
−
=
dt ds dv c )
1 v ( c
v m dt
dv
c 1 v dw m
2 / 3 2 2 2
0 2
2 2 0
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
− +
−
=
Nhửng ds
dt
dv vdv
dt dv ds =
=
DO Để:
2 / 3 2 2 0
2 2 2
2
2 2 0
c ) 1 v (
vdv m c )
1 v ( c 1 v
c 1 v
vdv dw m
−
=
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
− +
−
=
Mặt khác (6.16) ta có:
3/2
2 2 2
0
c ) 1 v ( c
vdv dm m
−
=
SO SÁNH HAI BIỂU THỨC TRÊN TA RÚT RA:
dW = c2dm
Hay W = mc2 + C
Trong đó C là một hằng số tích phân. Do điều kiện m = 0 thì W = 0 ta rút ra
C = 0. Vậy: W = mc2 (6.18)
Hệ thức này thường gọi là hệ thức Einstein.
c/ Các hệ quả
• Từ hệ thức Einstein ta tìm được năng lượng nghỉ của vật. Nghĩa là năng lượng lúc vật đứng yên (m = m0):
W = m0c2
EK = mc2 – m0c2 = m0c2
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣
⎡
−
−
1 c 1 v
1
2
2 (6.19)
BIỂU THỨC NÀY KHÁC VỚI BIỂU THỨC ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT THƯỜNG GẶP TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN. KHI V << C:
2
2
2
2 2c
1 v
c 1 v
1 ≈ +
− DO Để:
2
v ) m
c 1 2 1 v ( c m
Ek ≈ 0 2 + 22 − ≈ 0 2
Ta lại tìm được biểu thức động năng trong cơ học cổ điển.
• Bình phương biểu thức (6.18) ta được :
m20c4 = 2
2 2
2
c v . W W
c ) 1 v (
W − = −
Thay W = mc2 vào biểu thức trên, và chú ý p r = m v r ta có:
W2 = m02c4 + p2c2 (6.20)
Đó là biểu thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng của vật.
• Ta hãy ứng dụng các kết quả trên vào hiện tượng phân rã hạt nhân:
Giả sử một hạt nhân phân rã thành hai hạt nhân thành phần. Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
W = W1 + W2
Với W là năng lượng của hạt nhân trước khi phân rã. W1 và W2 là năng lượng của hai hạt thành phần.
Thay (6.18) vào biểu thức trên ta sẽ được:
2 22 2 2
2 12 2 1 2
c 1 v
c m
c 1 v
c mc m
− +
−
= (6.21)
Trong đó, ta đã xem hạt nhân như không chuyển động trước khi phân rã, còn m1, m2, m là khối lượng nghỉ của các hạt, vì:
1 2
2 12
1 2 m c
c 1 v
c m >
− và
2 2 2
22
2 2 m c
c 1 v
c m >
− nên từ (6.21) ta rút ra:
m > m1+m2
Nghĩa là khối lượng của hạt nhân trước khi phân rã lớn hơn tổng khối lượng của các hạt nhân thành phần.
Theo công thức Einstein phần năng lượng ứng với độ hụt của khối lượng này bằng:
W = (m – (m1 + m2))c2 = ∆mc2
Phần năng lượng này thường được tỏa ra dưới dạng nhiệt và bức xạ.
*- Ý nghĩa triết học của hệ thức Einstein:
Như chúng ta đã biết, vật chất tồn tại khách quan, khối lượng và năng lượng chỉ là hai đại lượng vật lý đặc trưng cho quán tính và mức độ vận động của vật chất. Không có gì chứng tỏ vật chất mất đi mà tính chất của nó vẫn tồn tại. Do đó, điều khẳng định vật chất biến thành năng lượng là vô căn cứ. Hệ thức Einstein không phải nối liền vật chất với năng lượng mà nối liền hai tính chất của vật chất:
quỏn tớnh và mức độ vận động. Hệ thức cho ta thấy rừ, trong điều kiện nhất định, một vật có khối lượng nhất định thì cũng có năng lượng nhất định tương ứng với khối lượng đó.
Thuyết tương đối hẹp của Einstein đã đưa khoa học vật lý tiến thêm một bước mới. Về sau, năm 1915 Einstein đã phát triển sâu thêm một bước nữa của thuyết tương đối và đưa ra thuyết tương đối rộng. Thuyết tương đối rộng áp dụng cho các hệ qui chiếu chuyển động có gia tốc, giúp ta nghiên cứu trường hấp dẫn.
Thuyết tương đối rộng giúp ta hiểu biết một cách sâu sắc hơn sự liên hệ giữa không gian và thời gian với vật chất trong trường hấp dẫn gây ra bởi một vật có khối lượng lớn, không gian “bị cong” đi. Các vật chuyển động theo quán tính trong không gian này không còn chuyển động thẳng nữa mà chuyển động theo đường cong. Thời gian ở nơi trường hấp dẫn mạnh thì trôi chậm hơn so với thời gian ở nơi trường hấp dẫn yếu. Nhờ có thuyết tương đối rộng, trong thiên văn người ta giải thích được nhiều sự kiện quan trọng trong vũ trụ.