Chương V: Kết luận và đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo
3.2 Các mô hình hệ thống MIMO sử dụng kỹ thuật phân chia giá trị đơn SVD(Singular Value Decomposition)
3.2.1 Mô hình hệ thống SVD MIMO
Ta xét một hệ thống truyền dẫn vô tuyến bao gồm Nt anten phát và Nr anten thu như trên hình 1.3. Để tiện phân tích ta viết lại phương trình (3.4):
-XXXVI-
y=Hx+η (3.13)
Trong đó η là vectơ AWGN phức với ηi ~ N(0,σ2)và [ ] Nr
H I
Eηη =σ2 ;σ2 = N0 /2, N0 là mật độ phổ công suất tạp âm.
H là ma trận kờnh NrìNt; khi khoảng cỏch giữa cỏc anten >λ/2 và mụi trường nhiều tán xạ ta có thể coi H có các hàng và các cột độc lập với nhau. Khi này phân chia giá trị đơn (SVD: Singular Value Decomposition) cho ta:
H=UDVH (3.14)
trong đú Trong đú U và VH là cỏc ma trận nhất phõn (unitary) cú kớch thứơc NrìNr và NtìNt, VHlà chuyển vị Hermitian; đối với cỏc ma trận nhất phõn ta cú: UUH=INr
và VVH=INt. D là ma trận NrìNt gồm
{ }
A r t
N =min N , N (3.15)
Các giá trị đơn không âm được ký hiệu là: λ11/2,λ12/2,… , λ1N/A2 trên đường chéo chính của nó, trong đó λi với i=1,2,…, N là các giá trị eigen của ma trận HHH. Các giá trị eigen của HHHđược xác định như sau:
0 )
det(HHH −λI = (3.16)
hay
0 )
det(Q−λI = (3.17)
trong đó Q là ma trận Wirshart được xác định như sau:
≤
= <
t r
t r H
H
N N
N N H H Q HH
,
, (3.18)
Các cột của ma trận U là vectơ eigen của HHH còn các cột của ma trận V là vectơ eigen của ma trận HHH.
Số các giá trị eigen khác không của ma trận HHH chính bằng hạng của ma trận này.
Nếu Nt=Nr thì D là một ma trận đường chéo. Nếu Nt>Nr thì gồm một ma trận đường chộo NrìNr và sau đú là Nt-Nr cột bằng khụng. Nếu Nt<Nr thỡ D gồm một ma trận đường chộo Nt ìNt và sau đú là Nr-Nt dũng bằng khụng. Dưới đõy ta sẽ minh họa ma trận dường chéo D cho các trường hợp Nt≠Nr.
Trong trường hợp mà số anten phát lớn hơn số anten thu (Nt>Nr), U sẽ là ma trận Nrì Nr và V sẽ là ma trận Ntì Nt và D sẽ được tạo ra từ ma trận vuụng bậc Nr
tiếp sau là Nt-Nr cột bằng không như sau:
-XXXVII-
trong trường hợp này ma trận V chỉ có Nr hàng sử dụng được, còn Nt-Nr hàng còn lại không sử dụng dược. Khi này Nr phần tử đầu của ma trận x được sử dụng và Nt- Nr phần tử còn lại của nó được đặt vào không. Trường hợp đặc biệt ta có Nt anten phỏt nhưng chỉ cú một anten thu (Nr=1). Khi này ma trận U cú kớch thước 1ì1 và chỉ sử dụng đựơc một hàng của ma trận V.
Trường hợp thứ hai tương ứng với khi số anten thu nhiều hơn số anten phát (Nt<Nr). Trong trước hợp này vẫn như trước ta cú V là ma trận NtìNt và U là ma trận NrìNr, nhưng ma trận D là ma trận NtìNr được tạo thành từ ma trận đường chộo NtìNt theo sau là Nr-Nt hàng bằng khụng:
Trường hợp đặc biệt khi chỉ có một anten phát và Nr anten thu.
Thao tác trên được gọi là phân chia giá trị đơn ma trận H. Kết quả phân chia cho ta các đường chéo khác không với kích thước xác định theo (3.15).
Nếu nhân cả hai vế của phương trình kênh (3.4) với UH ta được:
η η
η) ~
~= ( + = + = +
= y U HVx U UDV Vx U Dx
y
UH H H H H (3.21)
trong đó ~y =UHy ; η~=UHη
Phương trình này dẫn đến mô hình kênh SVD MIMO sau đây (xem hình 3.2)
n N
m H nm n
n
r
u x
y λ ∑ η
=
+
=
1 2
/
~ 1 (3.22) trong đó n=1,2,…, NA. NA xác định theo (3.15)
-XXXVIII-
Các cột của ma trận U mô tả không gian Nt chiều. Trong trường hợp phân hóa phổ, AWGN có thể được coi rằng trắng theo không gian nếu không có tương quan giữa các vectơ cột của U và vectơ tạp âm η. Áp dụng định lý trung tâm, ta có:
n n
n x
y =λ1/2 +η
~ (3.23)
trong đó ηn là AWGN với phân bố N0(0, σ) trong máy thu nhưng trong miền không gian.
Ta cũng có thể coi NA luồng song song được truyền trong các kênh không gian trực giao (xem hình 3.2). Giống như đối với OFDM, ta cũng có thể sử dụng mô hình kênh phađinh phẳng song song tương đương để phân tích và mô phỏng kênh MIMO.
Hình 3.2 -Phân chia kênh phađinh phẳng MIMO thành các kênh phađinh phẳng song song tương đương dưạ trên SVD
λi được coi là độ lợi kênh và có thể được sử dụng để đánh giá BER tại phía thu. Nếu ta sử dụng tách sóng nhất quán và coi rằng đã biết λi, thì SNR tại máy thu được xác định như sau:
2 2
2
n n n n n
i E
SNR x
σ λ λ
σ =
= (3.24)
trong đó i=1,2,…, NA ; NA xác định theo phương trình (3.15); Ei là năng lượng ký hiệu điều chế, λi là giá trị eigen của ma trận H và σi2=N0 là mật độ phổ công suất tạp âm AWGN.
Nếu cho rằng kênh tĩnh và biên độ tín hiệu không đổi giống như trường hợp BPSK, thì SNR trên một kênh sẽ là:
-XXXIX-
2 n n
Eb
SNR σ
= λ (3.25)
trong đó Eb là năng lượng bit và σn2=N0 /2. Xác suất lỗi bit trong trường hợp này được tính như sau:
=
0
2 N Q E
Pr b n
n
λ (3.26)
trong đó σi2=N0 /2 là phương sai của hàm mật đố xác suất N0(0, σ ), Eb là năng lương bit và Prn là xác suất lỗi bit của một kênh không gian.
Xác suất lỗi trung bình được tính như sau:
∑=
= NA n
n r A
average P
P N
1
1 (3.27)
Đối với kờnh 4ì4 MIMO phađinh phẳng được tạo ra bởi ULA (Uniform Linear Array dàn đồng dạng tuyến tính) các kết quả mô phỏng nhận được các giá trị SDV như sau:
2 / 1
λ1 =1,83514108105847
2 / 1
λ2 = 0,49193260469410
2 / 1
λ3 = 0,13044557968295
2 / 1
λ4 = 0,02833800461830
Sử dụng các độ lợi kênh không gian nói trên cho mô mỏng ta được các đường cong BER trên hình 3.3 cho từng kênh không gian.
-XL-
Hình 3.3 -BER cho các kênh không gian phađinh phẳng điều chế BPSK trong AWGN
Ta thấy rằng kênh không gian 1 có độ lợi kênh không gian cao nhất (λ11/2
=1,8) có hiệu năng BER tốt nhất. Trái lại hiệu năng BER của kênh không gian 4 tồi nhất vì nó có độ lợi kênh thấp nhất (λ14/2 = 0,028).
Cũng như các kênh OFDM, ta cần xét đồng thời với mã hóa kênh và đan xen. Tại các giá trị SNR thấp, các kênh không gian với độ lợi kênh thấp có thể bị hỏng do xác suất lỗi cao. Đối với trường hợp truyền gói, sử dụng cả bốn kênh không gian dẫn đến tỷ lệ lỗi gói và tổn thất tổng thông lượng sẽ lớn hơn. Trong trường hợp một hay nhiều kênh không gian tồi, tốt hơn hết là không sử dụng kênh không gian này.
3.2.2 Mô hình hệ thống SVD MIMO tối ưu
Bản chất của mô hình SVD MIMO tối ưu là tại phía phát người ta chia luồng ký hiệu thành nhiều luồng con và nhân các luồng con này với các cột của ma trận V sau đó phát đi trong không gian. Tại phía thu các ký hiệu thu được nhân với ma trận Uh để tách ra các luồng không gian rồi dùng bộ kết hợp để kết hợp các ký hiệu thu này. Như vậy từ mô hình SVD tối ưu hay nói khác đi từ công thức y=Hx+η ở (3.13) nhân hai vế với ma trận UH ta được:
Uhy = Uh(Hx+η)
Giả sử x được nhân trước với ma trận V và đặt z=Uhy = Uh(HxV+η)
= UhUDVhVx+Uhη
= Dx+ Uhη (3.28)
Vì ma trận D là ma trận được chéo hóa, nên ta có thể phân hóa quan hệ giữa z và x vào dạng:
zi=λ1/2ixi+ηi (3.29)
trong đó i=1,2,..,NA với NA xác định theo phương trình (3.15).
Biểu thức (3.29) cho phép ta xây dựng hệ thống SVD MIMO tối ưu gồm NN kênh pha đinh phẳng song song như trên hình 3.4
-XLI-
Hình 3.4 -Mô hình SVD MIMO tối ưu.
Từ hình 3.4 ta thấy tại máy phát SVD MIMO (hình 3.4a)trước hết luồng ký hiệu số liệu được bộ chia luồng không gian chia thành nt luồng không gian. Sau đó các luồng này được nhân với các cột của ma trận V để nhận được các ký hiệu phát vào không gian. Tại máy thu SVD MIMO (hình 3.4b) các tín hiệu thu được nhân với ma trận Uh để tách ra các luồng không gian. Sau đó các ký hiệu số liệu được kết hợp bởi bộ kết hợp. Lưu ý rằng khi phân tích SVD ta sẽ được N kênh không gian song song xác định theo (3.29).
3.2.3 Dung lượng kênh SVD MIMO
Dung lượng kênh quyết định giới hạn hiệu suất phổ tần. Nói chung dung lượng này phụ thuộc vào các sơ đồ điều chế và mã hóa. Dưới đây ta sẽ xét các biểu thức dung lượng trong thường hợp máy phát biết trước hoặc không biết trước trạng thái kênh. Các trường hợp này cũng còn được gọi là "dung lượng vòng kín" và
"dung lượng vòng hở". Dung lượng vòng kín đã được rút ra trong rất nhiều công bố và các tài liệu lý thuyết thông tin kinh điển, các kết quả tương tự cũng liên quan đến các kênh Gauss song song (tương quan).
Trong các bài báo của mình, Telatar 1995 và Foschini 1996, đã đưa ra giới hạn dung lượng cho các hệ thống MIMO. Biểu thức này được xác định như sau:
log det2
r
h N
t
C E N
ρ
= + ÷
I HH (3.30)
log det2
r
h N
t
C E N
ρ
= + ÷
I H H (3.31)
-XLII-
Trong đó kỳ vọng E được thực hiện theo phân bố của ma trận kênh ngẫu nhiên H, INr là ma trận đơn vị kích thước Nr ; 2
i
ρ P
=σ là tỷ số tín hiệu trên tạp âm, P là tổng công suất phát và σ =i2 N0/2 là mật độ phổ công suất tạp âm.
Dung lượng tức thời đựơc xác định phương trình (3.30) như sau
+
= H
t
N HH
i N
SE log2 det r γ bps/Hz (3.32) Ta viết lại HHH dựa trên SVD:
HHH=UDVH(UDVH) = UD VHVDH UH
= U|D|2 UH (3.33)
Đặt (3.33) vào (3.32) ta được:
+
= H
t
N HH
i N
SE r
det γ
log2
+
= H
t H
N U D U
U N UI r
2
2 det | |
log γ
+
= H
t
N D U
I N U r
2
2 det | |
log γ
+
=log2 det( )det( )det |D|2 I N
U U
t N H
r
γ
+
=log2 det |D|2 I N
t Nr
γ (3.34)
Vì tích của det(U)det(UH)=1 và D chỉ có NA giá trị egien trên đường chéo, NA xác định theo phương trình (3.15). Ta có thể biểu diễn biểu thức trong log2 của (3.34) như sau:
det + |D|2 I N
t Nr
γ
= + + + NA t t
t N N
Nγ λ 1 γ λ ...1 γ λ
1 1 2
∏ +
=1 1
2 1
log
t n N
n N
A γ
(3.35)
Lấy log phương trình (3.35) ta được dung lượng tức thời:
-XLIII-
+ +
+
+
+
+
= NA
t t
t N N
SE log2 1 Nγ λ1 log2 1 γ λ2 ... log2 1 γ λ
+
=∑
= n
t N
n N
A γ λ
1 log2
1
(3.36)
Nếu trong (3.36) n <<1 Nγt λ
thì + n
Nγt λ 1
log2 tiến tới không và kênh không gian này sẽ không cho độ lợi dung lượng đáng kể. Vì thế nếu không sử dụng kênh này, tổng dung lượng cũng hầu như không giảm.
Phương trình được rút ra ở trên cho ta cách đánh giá hiệu năng của các kênh.
Nếu thừa số n Nγt λ
nhỏ hơn một ngưỡng cho trước ta có thể lọai bỏ kênh này. Khi này số các luồng không gian được sử dụng nhỏ số kênh khả dụng cực đại, nhưng thông lượng hiệu dụng vẫn được tăng cường.
Khi sử dụng số đường Q<NA , ta chỉ sử dụng các cột tương ứng với các kênh không gian có độ lợi mạnh nhất trong các ma trận U và V. NA-Q kênh không gian không được sử dụng sẽ có xn tương ứng được đặt vào không .
Từ các phân tích trên ta có thể đưa ra các kết luận sau:
1. Dung lượng MIMO tăng tuyến tính với min(Nt;Nr) và ma trận kênh phân chia thành min(Nt;Nr) kênh song song độc lập
2. Nếu giữ Nr cố định và tăng Nt, thì dung lượng sẽ bào hóa tại một giá trị cố định
3. Nếu giữ nguyên Nt và tăng Nr, thì dung lượng sẽ tăng theo log cùng với tăng Nr.