Khái niệm quá trình tái tạo dừng là một phần của quá trình tái tạo trì hoãn. Quá trình tái tạo trì hoãn A cũng là một quá trình tái tạo nhưng biến ngẫu nhiên đầu tiênX1 không cùng phân phối với các biến ngẫu nhiên khác dù chúng vẫn độc lập nhau.
Chính xác hơn, đặt (Xn, n≥ 1) là dãy các biến độc lập độc lập không âm, G là hàm phân phối của tất cả các biến ngẫu nhiên khác.
Dãy tương ứng (Tn, n≥0), với
T0 = 0, (1.270)
Tn =X1+. . .+Xn (1.271)
được gọi là dãy tái tạo trì hoãn hoặc quá trình tái tạo trì hoãn.
Rừ ràng, định nghĩa cổ điển của quỏ trỡnh tỏi tạo cú thể được mở rộng cho trường hợp quá trình tái tạo trì hoãn. Ví dụ nếu Hd(t) là hàm tái tạo của quá trình tái tạo trì hoãn và nếu đặt điều kiện làX1 =x,thì ta có:
Hd(t|X1 =x) =
0 nếu x > t
1 +H(t−x) nếu x≤t (1.272) trong đó H là hàm tái tạo kết hợp với hàm phân phốiF. Khi đó, với định nghĩa:
Hd(t|X1) =E(N(t)|X1) (1.273)
1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 31 ta được:
E(N(t)) =E(Hd(t, X1)) (1.274)
= Zt
0
[1 +H(t−x)]dG(x). (1.275)
hoặc:
Hd=G(t) +H•G(t). (1.276)
Vì thế nếu biết được hàm tái tạo H muốn tính Hd thì ta chỉ cần tính tích chập.
Khái niệm quá trình tái tạo trì hoãn này đựơc trình bày bởi vì nó giải thích rằng nếu một quá trình tái tạo được khảo sát và nó đang hoạt động trong một khoảng thời gian dài thì biến đầu tiên X1 được khảo sát là tuổi thọ còn lại γ tại thời điểm bắt đầu của quá trình khảo sát. Ta có thể giả sử rằng hàm phân phối giới hạn của γ được cho bởi 1.234.
Hiển nhiên, các biến ngẫu nhiên Xn,n≥2 còn lại có hàm phân phối F. Như vậy ta có quá trình tái tạo trì hoãn riêng cho nó là
G(x) = 1 m
Zx
0
[1−F(u)]du; x≥0. (1.277) Quá trình như vậy được gọi là quá trình tái tạo dừng.
Hai kết quả chính, liên quan đến quá trình tái tạo dừng, có liên quan đến hàm tái tạo H và hàm phân phối tuổi thọ còn lại.
Mệnh đề 1.27. Với mỗi quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi hàm phân phối(G, F) với giá trị trung bình hữu hạn m cho f, với mọi t ta có:
Hs(t) = t
m (1.278)
Hs là hàm tái tạo của quá trình tái tạo dừng.
Chứng minh. Nếu áp dụng phép biến đổi Laplace Stieltjes cho cả hai vế của1.276ta được:
Hd(s) =G(s) +H(s).G(s) (1.279)
với quy ước:
K(s) = Z∞
0
e−sxdK(x). (1.280)
Từ phương trình tái tạo cổ điển 1.57 ta suy ra:
H(s) =F(s) +F(s).H(s) (1.281)
hoặc
H(s) = F(s)
1−F(s). (1.282)
Từ 1.277và tính chất của phép biến đổi L-S, ta được:
G(s) = 1 m
Z∞
0
e−su[1−F(u)]du (1.283)
= 1 m
1 s −
Z∞
0
e−suF(u)du
. (1.284)
Lấy tích phân từng phần ta có:
G(s) = 1 m
1−F(s)
s . (1.285)
Thay H(s) và G(s)bằng 1.282 và 1.285 vào đẳng thức 1.279ta được:
H(s) = 1 m
1−F(s) s
1− F(s) 1−F(s)
. (1.286)
Hoặc sau khi rút gọn ta được:
Hs(s) = 1 m
1
s. (1.287)
Ta biết rằng
Z∞
0
e−sxdx = 1
s. (1.288)
Như vậy, theo đó phép biến đổi Laplace Stieltjes ngược của 1.287 cho ta:
Hs(t) = t
m. (1.289)
Mệnh đề 1.27 có ý nghĩa quan trọng. Thực vậy, giá trị Hs là tiệm cận đúng cho mọi quá trình tái tạo, nhưng ở đây với trường hợp quá trình tái tạo dừng, biểu thức tiệm cận này đúng với mọit.
Bây giờ, đặt γs(t) là tuổi thọ còn lại tại thời điểm t với quá trình tái tạo dừng và khi đó:
Fγcs(t)(x) = 1−Fγs(x). (1.290) Mệnh đề 1.28.
(i) Mỗi quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi hàm phân phối (G, F)có giá trị trung bình hữu hạn m cho F và với mọi t ta được:
P(γ(t)≤x) =G(t+x)− Z
[0,t]
[1ưF(t+xưu)]dHd(u). (1.291) (ii) Hơn nữa, nếu quá trình tái tạo là dừng với mọi t thì :
P(γ(t)≤x) = 1 m
Zx
0
[1−F(u)]du. (1.292)
1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng 33
Chứng minh. (i) Điều kiện cho giá trị của X1 γs(t) =
X1−t nếu t < X1
γ(t−X1) nếu t≥X1
(1.293) Từ đó, với t > x:
P (X1 > y|X1 > t) = 1−G(y)
1−G(t) (1.294)
và từ 1.293 ta suy ra:
P (γs(t)> x) = [1−G(t)]P(X1−t > x|X1 > t) + Zt
0
P(γ(t−y)> x)dG(y) (1.295)
= [1−G(t)].1−G(t+x) 1−G(t) +
Zt
0
P(γ(t−y)> x)dG(y). (1.296) Hoặc:
Fγcs(t)(x) = 1−G(t+x) + Zt
0
Fγ(t−y)c (x)dG(y). (1.297)
Đẳng thức này biểu diễn Fγcs(t) như một hàm của Fγ(t)c . Hàm cuối này có được từ mệnh đề1.21 và theo 1.222 có thể được viết lại dưới dạng:
Fγcs(t)(x) = 1−F(t+x) + Z
[0,t]
[1ưF(tưuưx)]dH(u). (1.298) Để đơn giản ta viết:
1−F(t+x) =Fx(t). (1.299)
Như vậy 1.298có dạng:
Fγcs(t)(x) =Fx(t) +Fx(tưu)•H(t). (1.300) Trở lại 1.297, ta được:
Fγcs(t)(x) = 1−G(t+x) +Fx•G(t) +Fx•H•G(t) (1.301) hoặc
Fγcs(t)(x) = 1−G(t+x) +Fx•[G+H•G](t). (1.302) Sử dụng hàm tái tạo Hs và áp dụng hệ thức 1.276 thì 1.302 trở thành:
Fγcs(t)(x) = 1−G(t+x) +Fx•Hd(t) (1.303) đây là điều phải chứng minh.
(ii) Với mệnh đề 1.27, trong trường hợp dừng, hệ thức 1.303trở thành:
Fγcs(t)(x) = 1−G(t+x) + Zt
0
F¯x(tưu)du
m. (1.304)
Thay u0 =tưu được:
Fγcs(t)(x) = 1−G(t+x) + 1 m
Zt
0
F¯x(u)du. (1.305)
Với hàm Gtrong 1.277 ta có:
Fγcs(t)(x) = 1− 1 m
Zx+t
0
[1−F(u)]du+ 1 m
Zx+t
x
[1−F(u)]du. (1.306) Bởi tính chất cộng tính của tích phân liên quan đến miền tích phân nên ta có:
Fγs(t)(x) = 1− Zx
0
[1−F(u)]du (1.307)
hoặc 1.292.
Phần (ii) trong mệnh đề 1.28cho kết luận tương tự như định lí trước: trong trường hợp dừng, phân phối tiệm cận của tuổi thọ còn lại γ(t) là phân phối đúng với mọi t. Kết quả này đưa ra một số hệ quả quan trọng.
Hệ quả 1.29. Với mỗi quá trình tái tạo dừng và với mọi t ta có:
(i)
Fδ(t)c (x) = 1 m
Zx
0
[1−F(u)]du. (1.308)
(ii)
P (γ(t)> x, δ(t)> y) = 1 m
Z∞
x+y
[1−F(u)]du. (1.309) (iii)
P XN(t)+1 ≤x
= 1 m
Zx
0
udF(u). (1.310)
Chứng minh. Kết quả (i) và (ii) trực tiếp có được từ các hệ thức 1.236 1.263 và kết quả 1.291 từ mệnh đề1.28.
Với (iii) ta sử dụng hệ thức 1.216 với XN(t)+1 là tổng của hai biến ngẫu nhiên δ(t) và γ(t). Từ mệnh đề 1.28 và hệ thức 1.308, ta biết phân phối của biến ngẫu nhiên hai chiều (γ, δ) độc lập với t và do đó nó cũng đúng cho γ(t) +δ(t).
Cho t > Xt, ta có:
XN(t)+1 =XN(t−X1)+1 (1.311)
vì vậy:
P XN(t)+1 ≤x|t > X1
=P XN(t−X1)+1 ≤x|t > X1
. (1.312)
1.10 Dạng số 35