4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm
4.6.3 Giải pháp tổng quát cho vấn đề tiệm cận xác suất rủi ro
rủi ro bán-Markov tổng quát
Từ kết quả của phần phụ cuối, ta xét mô hình rủi ro bán-Markov nhân Q= [Qij(., .)] với c= 1 và tập trung vào quá trình
((Jn, Yn−Xn), n ≥0) ; (4.173) Rõ ràng quá trình này được xem như một bước rủi ro bán Markov (SMRW) của nhân bán-Markov rQ được cho bởi
rQij(z)
Z Z {(ξ,ζ):ξ−ζ≤z}
Qij(dξ, dζ). (4.174)
Trong trường hợp đặc biệt độc lập có điều kiện, ta lấy: r Qij(z) =pij Z +∞ −∞ B Fij(z+ξ)dAFij(ξ). (4.175)
4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát 135 Ta biết rằng vị trí tại giai đoạn n của bước rủi ro bán Markov được cho bởi tổng riêng
(Sn, n≥0) liên quan đến dãy ngẫu nhiên ((Yn−Xn, n≥0) và đưa ra biến ngẫu nhiênM được định nghĩa bởi hệ thức 3.187 trong chương 3, đó làM = sup{S0, S1, ..., Sn, ...}, với:
φij(u) =P
M ≤u, lim
n→∞Jn =j|J0 =i
, u≥0, i, j ∈I, (4.176) và từ đó biến cố không phá sản trên [0,∞)kéo theo không phá sản tại thời điểm yêu cầu bồi thường bảo hiểm đầu tiên, ta có:
φij(u) = ( 0,u <0, P k Ru −∞φkj(u−z)drQik(z),u >0. , i, j∈I (4.177) bỏ quaj, ta được: φi(u) = ( 0,u <0, P k Ru −∞φk(u−z)drQik(z),u > 0, i,∈I (4.178) đó là hệ Wiener-Hopf của các phương trình tích phân và như vậy
φi(u) = P(M ≤u,|J0 =i), u≥0, i∈I (4.179) như trong hệ thức 3.192 trong chương 3.
Bây giờ ta xét hệ 4.178với giá trị u không âm, từ kết quả Jenssen (1970) được đề cập trong phần 3.16 của chương 3, hệ này có nghiệm P duy nhất khi và chỉ khi
X
k
πkrηk<0. (4.180)
Vì vậy, nếu điều kiện không đủ thì bước rủi ro bán Markov((Jn, Sn), n≥0)sẽ tiến đến
+∞và sự phá sản trên [0,∞)là một biến cố tất yếu bất chấp J0, trong trường hợp này:
φi(u) = 0,u≥0,i∈I. (4.181)
Như
r
ηk=Bηk−Aηk, k ∈I, (4.182) Điều kiện 4.178tương đương với
X
k
πk Bηk−Aηk
<0 (4.183)
điều này tương đương với điều kiện 4.172giả sử luôn được thỏa và tương đương với sự gia tăng hệ số an toàn dương để phá hủy trò chơi công bằng tiệm cận, nghĩa là có lợi cho công ty bảo hiểm, không có sự gia tăng này sự phá sản trong thời gian horizon vô hạn là tất yếu.
Áp dụng định lí duy nhất của Jenssen (1970), ta có hệ thức sau đây là đúng:
Định lý 4.5. Với mô hình rủi ro bán-Markov ergodic, với mỗi trạng thái ban đầu isự phá sản trong thời gian horizon vô hạn xảy ra nếu điều kiện 4.172 không thỏa.
Ngược lại, nếu điều kiện được thỏa thì với mỗi trạng thái i:
φ+ij(u) =πjφi+(u),i, j ∈I,u∈R, (4.185) với φ+ij(u) = U0(u)φij(u), φ+i (u) =φi(u), i, j ∈I, u∈R (4.186) và theo 4.176 φ+i (u) = X k Z u −∞ φ+k(u−z)drQik(z),u∈R,i,∈I. (4.187) Ta lưu ý rằng sự chuyển đến hàm φ+ij đã được thực hiện vì ta chỉ quan tâm đến xác suất không phá sản cho lượng vốn dự trữu dương, dù các xác suất này có thể không nhất thiết bằng 0 với u âm.
Hiển nhiên, với mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát, xấp xỉ số vẫn rất quan trọng. Chú ý 4.3. Ta biết rằng với m = 1, mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (GSMRM) đưa ta trở lại mô hình G/G.
Vì vậy, với trường hợp này, hệ 4.187 trở thành:
φ+(u) = u Z −∞ φ+(u−z)drQ(z),u∈R, r Q(z) = Z +∞ −∞ B(ξ+u)dA(ξ). (4.188)
Kết luận
Trong luận văn này tôi nghiên cứu về bán Markov và ứng dụng của nó trong bảo hiểm. Trong đó, tôi trình bày lý thuyết về quá trình tái tạo, quá trình xích Markov, quá trình trạng thái bán Markov và các bước ngẫu nhiên Markov để làm cơ sở xây dựng mô hình rủi ro bán Markov trong bảo hiểm.
Sau đó tôi đưa ra một vài mô hình rủi ro cổ điển trong bảo hiểm như: + Mô hình rủi ro E.S Anderson.
+ Mô hình rủi ro Cramer Lundberg (P/G).
Mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản: + Mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản.
+ Mô hình rủi ro trong quản lý tài sản và vốn.
[1] Jacques Janssen Raimondo Manca. (2006) Applied Semi-Markov Process. Springer Publication.
[2] Black Well D. (1948).A renewal theorem. Duke Math. J. 15. 145-150.
[3] Baker C.T.H. (1977). The Numerical Treatment of Integral Equations. Clarendon Press, New York.
[4] Christofidies N. (1975).Graph theory. An algorithmic approach. Academic Press, New York-London.
[5] Chung K. L. (1960). Markov chain with stationary transition probabilities. Springer Publication.
[6] Daley, D. J. (1965). On a class of renewal functionsProc. Cambridge Philos. Soc .61 519-526.
[7] De Dominicis R., manca R. (1984b), A computational procedure for the asymptotic analysis of a homogeneous semimarkov process. Statistics & Probability letters. 2, 249-253.
[8] E. B. Dynkin. The theory of Markov Process. Dover Publication, Inc. Mineola, Newyork.
[9] Feller W., (1957) An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume I . Second Edition, Wiley, New York. XV, 461.
[10] Janssen J., R. Manca, (2001b, 1969b). Non-homogeneous semi-Markov reward pro- cess for the management of health insurance models.Proccedings ASTIN Washington. B174.
[11] Parzen, E., (1962). Stochastic processes. Holden-Day Series in Probability and Statis- tics Holden-Day, Inc., San Fancisco.
[12] Spitzer F. (1957). The wiener-Hopf equation whose kernel is a probability density. Duke Math. J.24, 327-343.
[13] S. P. Meyn and R. L. Tweedie. (1999)Markov Chains and Stochastic Stability. Beijing World Publishing Corporation.
[14] Smith, W.L., (1954). Asymptotic renewal theorems.Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A64. 9–48.
