với Ul(j)= r(lj)+1 X n=r(l+1j) Xn (3.181)
Từ mệnh đề 3.35 và chú ý3.5, theo đó các biến ngẫu nhiên này có giá trị trung bình µ được cho bởi
µjj = 1 πj m X i=1 πiµi (3.182)
vì vậy, giá trị này dương hoặc âm với mọi j tùy thuộc vào dấu của µđược xác định bởi µ=
m
X
i+1
πiηi. (3.183)
Như đã biết, theo Spitzer (1957) và Feller (1971) ta sẽ nói rằng một bước ngẫu nhiên tiến đến +∞ (hoặc lùi về−∞) khi và chỉ khi
P(lim sup
n {ω:Sn(ω)<0}) = 0,
(P(lim inf
n {ω :Sn(ω)>0}) = 0) (3.184)
và đó là dao động khi và chỉ khi P(lim sup
n {ω:Sn(ω)<0}) =P(lim inf
n {ω:Sn(ω)>0}) = 1. (3.185) Sau đây ta có định lí liên quan đến dáng điệu tiệm cận của bước ngẫu nhiên bán Markov
(Sn).
Mệnh đề 3.42. Nếu bước ngẫu nhiên bán Markov (Sn) có một xích Markov tối giản và tất cả các giá trị trung bình vô điều kiện ηi, i∈ I là hữu hạn và khi đó nếu µ là null, nếu với một chỉ số j,
P
U1(j) = 0
<1 (3.186)
thì bước ngẫu nhiên bán Markov là dao động và nếu µdương (hoặc ngược lại âm) thì bước ngẫu nhiên bán Markov tiến đến +∞ (hoặc −∞).
3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov
Xét một bước ngẫu nhiên bán Markov (Sn)với một xích Markov tối giản và tất cả các giá trị trung bình vô điều kiệnηi, i∈I hữu hạn. Bây giờ ta quan tâm đến phân phối của cận trên đúng sau:
M = sup{S0, S1, ...} (3.187)
Với µ >0, theo giả thiết của mệnh đề 3.42, theo mệnh đề này thì với mọii thuộc I và một số thực x:
Điều này cũng đúng với µ = 0, cũng như quá trình (J, X) dương, ((Hn, ζn), n >0) là chính quy (xem Pyke (1961a)) có nghĩa là nó chỉ có một số hữu hạn các phép chuyển trên bất kì khoảng thời gian nào.
Bây giờ với µ <0, ta được:
Mi(x) =P(M ≤x |J0 =i) =X j (1−υj) ˜Mij(x) (3.189) trong đó M˜ =h ˜ Miji
là ma trận cho hàm tái tạo của quá trình ((Hn, ζn), n >0). Từ mệnh đề 7.5 chương 5 của Janssen and Manca (2006), ta biết rằng:
lim
x→∞Mi(x) = 1,∀i∈I. (3.190)
Ta cũng thấy rằng
Mi(0) = 1−υi,∀i∈I. (3.191)
Ta có thể bắt đầu từ hệ phương trình tích phân sau của dạng Wiener-Hopf được cho từ lập luận xác suất trực tiếp:
Mi(x) = P j x R −∞ Mj(x−s)dQij(x), x≥0, 0, x <0. (3.192)
Với m = 1, ta có phương trình Wiener-Hopf cổ điển :
M(x) = x R −∞ M(x−s)dQ(x), x≥0, 0, x <0. (3.193)
Janssen (1970) chứng minh rằng hệ phương trình tích phân của dạng Wiener-Hopf này có duy nhất một nghiệm P, nghĩa là vectơ (M1, . . . , Mn) của các hàm phân phối thỏa hệ 3.192.
Chương 4
Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm
4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản Trong phần này, trước hết ta sẽ phát triển ví dụ 3.1 trong chương 3 thành tổng quát và sau đó xét cho trường hợp riêng của quá trình Poisson cho các yêu cầu bồi thường bảo hiểm.
Xét một công ty bảo hiểm, bắt đầu tại thời điểm 0 với số vốn ban đầu là một lượng u(u >0)(đối với các công ty bảo hiểm có thể gọi là vốn dự trữ hoặc đối với các ngân hàng thì gọi là tài sản cố định). Hầu hết ở các quốc gia phát triển, vốn ban đầu được quy định bởi chính phủ và nó phụ thuộc vào vốn luân chuyển của công ty bảo hiểm.
Thực vậy, rõ ràng vốn dự trữ này bảo vệ khách hàng khỏi rủi ro khi một công ty bảo hiểm không may phải chi một lượng lớn tiền bồi thường trong một khoảng thời gian ngắn, ví dụ như do một biến cố lớn nào đó mà công ty không đủ sức để chi trả tiền bồi thường. Vấn đề cơ bản mà các chuyên viên tính toán bảo hiểm phải giải quyết là đưa ra đánh giá khách quan cho vốn dự trữ cực tiểu này. Ta sẽ nghiên cứu để giải quyết vấn đề cơ bản này sau.
Bất kì mô hình rủi ro nào liên quan đến công ty bảo hiểm đều được đặc trưng bởi ba quá trình cơ bản sau:
(i) Thứ nhất là quá trình số lượng các yêu cầu bồi thường. Đây là một quá trình ngẫu nhiên, đếm số lần yêu cầu bồi thường từ phía khách hàng.
(ii) Quá trình ngẫu nhiên thứ hai là quá trình ngẫu nhiên liên quan đến lượng tiền bồi thường. Đặc biệt, nó đưa ra hàm phân phối lượng tiền công ty phải chi trả khi có yêu cầu bồi thường.
(iii) Quá trình cuối cùng liên quan đến thu nhập của công ty. Nhìn chung đây là quá trình quyết định. Thu nhập của công ty chính là phí bảo hiểm do khách hàng đóng và phí bảo hiểm này phải được xác định cho mỗi hợp đồng cụ thể.
Với bất kì giả thiết nào về ba quá trình này, có sự tương ứng với một mô hình rủi ro ngẫu nhiên đặc biệt. Vấn đề quan trọng nhất này sẽ được trình bày sau. Trong phần này ta chỉ xét hai mô hình là: mô hình E.S Anderson (còn gọi là mô hình G/G) và mô hình Cramer – Lundberg (mô hình P/G). Các kí hiệu được lấy từ lý thuyết hàng đợi cho ta thông tin về hai hàm phân phối được sử dụng trong các mô hình này. Hàm phân phối thứ nhất về khai báo yêu cầu giải quyết quyền lợi bảo hiểm và hàm phân phối thứ hai về số
lượng tiền bồi thường (với G là một hàm phân phối bất kì và P trong Poisson là phân phối mũ âm).
4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G4.2.1 Mô hình 4.2.1 Mô hình
Giả thiết cơ bản cho mô hình G/G là:
(i) Quá trình số lượng yêu cầu giải quyết quyền lợi bảo hiểm
Đặt (Xn, n≥1) là quá trình ngẫu nhiên của số lần khai báo giữa các yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Giả sử rằng quá trình này là một dãy các biến ngẫu nhiên không âm độc lập cùng phân phối vớiA là hàm phân phối thông thường, như vậy: a) A(0)<1. (4.1) b) Z ∞ 0 xdA(x) =α <∞. (4.2) (ii) Quá trình chi trả bồi thường
Đặt(Yn, n≥1)là dãy các số tiền chi trả bồi thường liên tiếp. Ta cũng giả sử rằng có một dãy các biến ngẫu nhiên không âm độc lập cùng phân phối, với B là hàm phân phối thông thường, như vậy:
a) B(0)<1. (4.3) b) Z ∞ 0 ydB(y) =β <∞. (4.4) Hơn nữa, dãy (Xn, n≥1) và (Yn, n ≥1) độc lập và được xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω,=, P).
(iii) Quá trình doanh thu bảo hiểm
Giả thiết cổ điển là có một hằng số c dương là mức phí bảo hiểm trong một đơn vị thời gian, có nghĩa là trong khoảng thời gian[0, t], tổng doanh thu của một công ty bảo hiểm làct.
4.2.2 Phí bảo hiểm
Một trong những vấn đề chính của công ty là làm thế nào để cố định mức phí bảo hiểm tương đối hợp lí. Khi đó phải quan tâm hai điều kiện sau:
a) Tuổi thọ của công ty bảo hiểm, đó là giai đoạn mà vốn công ty phải luôn dương với xác suất cao và lâu dài. Thực vậy, từ quan điểm kinh tế, vốn dự trữ lớn sẽ cho một hệ số an toàn cao nhưng nếu vốn dự trữ thừa quá mức có nghĩa là công ty thu phí bảo hiểm quá cao.
4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 111 b) Vấn đề đáng quan tâm của mỗi công ty là phải chọn hệ sốccàng thấp càng tốt nhưng
không vi phạm độ an toàn kinh tế riêng của mỗi công ty.
Để cố định giá trị c, ta xét quá trình tái tạo (Tn, n≥0)của các thời điểm có yêu cầu giải quyết bồi thường bảo hiểm liên quan đến dãy(Xn, n ≥1), với X0 = 0. Đó là:
Tn=
n
X
k=0
Xk. (4.5)
Theo thuyết tái tạo, quá trình đếm kết hợp (N(t), t≥0), được xác định bởi 1.6 trong chương 1, cho ta tổng số yêu cầu bồi thường trong(0, t] và từ hệ thức 1.103trong hệ quả 1.13 của chương 1, ta biết rằng:
lim t→∞ H(t) t = 1 α (4.6) nếu H(t) = E(N(t)) (4.7) và với t lớn thì: E(N(t))≈ t α. (4.8)
Bây giờ, từ hệ thức 4.4tổng số tiền trung bình mà công ty phải trả cho các bồi thường bảo hiểm trong (0, t]xấp xỉ bằng:
β
αt. (4.9)
Kết quả cuối cùng này chỉ ra rằng tổng số tiền bồi thường mà công ty bảo hiểm phải trả trong suốt thời gian (0, t] được xấp xỉ làct, trong đó:˜
˜
c= β
α. (4.10)
Theo đó nếu ta lấy giá trị ˜c này như mức phí bảo hiểm cố định trên một đơn vị thời gian thì nó được xem như một trò chơi giữa công ty bảo hiểm và khách hàng. Trò chơi này gần như được xem là công bằng tiệm cận. Đó là lý do tại sao c˜được gọi là phí bảo hiểm thuần túy. Nhưng một cách không may mắn, sau này ta sẽ thấy rằng sự lựa chọn này sẽ dẫn đến sự phá sản của công ty trong[0,∞). Khi đó cũng đưa ra một hệ số an toàn dương η để:
c= (1 +η)˜c (4.11)
hoặc
c= (1 +η)β
α. (4.12)
Mặt khác, công ty phải chọn mức phí bảo hiểm c như sau: c > β
α. (4.13)
Bây giờ, c˜được gọi là hệ số phí bảo hiểm. Vì thế, nếu ta đặtc= 1, thì hệ thức sẽ cho ta:
nghĩa là khoảng thời gian trung bình giữa hai yêu cầu giải quyết bồi thường liên tục lớn hơn số tiền bồi thường trung bình.
Điều kiện này đảm bảo lợi ích của người nắm chính sách bảo hiểm. Phần lý thuyết này sẽ được làm sáng tỏ bên dưới.
Kết luận: mỗi công ty bảo hiểm phải kiểm soát được hai tham số cơ bản đó là: vốn dự trữ ban đầu hoặc cổ phần u và hệ số an toàn η. Hơn nữa, khả năng để mở công ty bảo hiểm được quy định bởi pháp luật.
4.2.3 Ba quá trình cơ bản
Bây giờ khảo sát ba quá trình ngẫu nhiên quan cơ bản trọng trong lý thuyết rủi ro. 1) Quá trình tích lũy tiền bồi thường bảo hiểm
Nó là một quá trình ngẫu nhiên(U(t), t≥0) được định nghĩa như sau:
U(t) = N(t) X n=1 Yn (4.15) hoặc: U(t) =UN(t) (4.16) nếu Un= n X i=1 Yi, (4.17)
luôn sử dụng quy ước cổ điển tổng của vô hạn tập rỗng bằng0.
Với mỗit cố định,U(t) cho ta tổng số lượng yêu cầu bồi thường trong (0, t]. Ta đặt M(t, y) là giá trị của hàm phân phốiU(t) tại thời điểm y. Ta viết:
M(t, y) =
∞ X
n=0
P (Un ≤y, N(t) =n). (4.18)
Áp dụng hệ thức1.12trong chương1, theo giả thiết hai quá trình ngẫu nhiên(Xn, n≥ 1)và (Yn, n≥1)độc lập dẫn tới: M(t, y) = ∞ X n=0 P (Un≤y, P(N(t) =n) = ∞ X n=0 (A(n)(t)−A(n+1)(t))B(n)(y). (4.19) 2) Quá trình rủi ro
Là một quá trình ngẫu nhiên :
(U(t)−ct, t≥0) (4.20) mô tả tổng chi phí mà công ty phải trả cho đến thời điểm t, được dự phòng sao cho công ty vẫn không bị phá sản vào thời điểm này.
4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 113 3) Quá trình rủi ro đối với tiền dự trữ (hoặc quá trình thặng dư)
Nó mô tả quá trình ngẫu nhiên (α(t), t≥0), trong đó:
α(t) =u−U(t) +ct,t≥0 (4.21) tại thời điểm t là tổng tài sản thực của công ty, giả sử rằng công ty vẫn hoạt động tốt vào thời điểm đó.
Hai sơ đồ tiếp theo cho ta đường quỹ đạo điển hình của quá trìnhN và quá trìnhα.
Hình 4.1: Quỹ đạo của quá trình N
Hình 4.2: Quỹ đạo của quá trình α
4.2.4 Xác suất phá sản
Bây giờ ta xét quá trình rủi ro cơ bản trong lý thuyết rủi ro. Từ quan điểm kinh tế ngặt, tuổi thọ của một công ty bảo hiểm được định nghĩa như thời gian dừng:
T = inf{t:α(t)<0} (4.22)
Đây là một quan điểm quan trọng, ta không xét xác suất mà công ty vay nợ để giải quyết một rủi ro nhỏ. Rõ ràng, nếu biến cố {ω :T(ω)≤0} xảy ra thì công ty bị phá sản trước hoặc vào thời điểm t. Ngược lại thì công ty không bị phá sản.
Ta sẽ sử dụng kí hiệu sau cho xác suất phá sản và không phá sản trong thời gian horizon vô hạn, nghĩa là trên [0,∞):
φ(u) =P(T =∞|α(0) =u) = 1−Ψ(u). (4.24) Sự hiểu biết về hàm Ψhoặc hàm tương ứngφ là cần thiết để ta có thể chọn các giá trị cho các tham số u và η sao cho đảm bảo các dịch vụ tốt cho khách hàng. Ví dụ, nếu u cố định, ta thấy rằng xác suất φ như một hàm của hệ số an toàn η:
φ(u, η). (4.25)
Nếu ta đặt điều kiện:
φ(u, η)> ε, (4.26) ví dụ với ε = 0.99999, ta có thể chọn giá trị η cực tiểu như vậy điều kiện 4.26 được thỏa mãn.
Với sự hỗ trợ của các kết quả bước ngẫu nhiên, ta có thể chứng minh rằng lý thuyết với hệ số an toàn dương là một điều kiện cần để không xảy ra phá sản trong [0,∞).
Trong giai đoạn (Tn−1, Tn], chi phí của công ty tăng hay giảm là do các khoản thực phải chi được đưa ra bởi:
Zn=Yn−cXn, n ≥1. (4.27) Dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
(Zn, n ≥1) (4.28)
tạo ra các bước ngẫu nhiên của các giá trị liên tiếp: Sn = n X k=1 Zk. (4.29) Từ hệ thức 4.21 ta có: α(Tn) =u−Sn (4.30)
với Sn là giá trị của quá trình rủi ro tại thời điểm Tn.
Bây giờ ta xét biến ngẫu nhiên M được xác định bởi hệ thức3.170 trong chương3; từ 4.24 ta suy ra:
φ(u) =P(M ≤u). (4.31)
Từ mệnh đề 3.40 trong chương 3, ta biết rằng hàm phân phối M không suy biến khi và chỉ khi bước ngẫu nhiên tiến đến −∞, hoặc:
E(Zn)<0. (4.32)
Rõ ràng, từ hệ thức 4.27 điều kiện cuối cùng này cũng tương đương với bất đẳng thức 4.13. Trường hợp
β−cα= 0 (4.33)
phải được xem xét cẩn thận.
Thực vậy, trong trường hợp này bước ngẫu nhiên được tạo ra bởi dãy ngẫu nhiên dao động 4.27, vì vậy với bất kì u >0ta có:
P(∃n∈N0 :Sn> u) = 1. (4.34) Mặt khác, kết quả này chỉ ra rằng với bất kì vốn dự trữ ban đầu, công ty sẽ bị phá sản với xác suất bằng 1. Điều này cũng có nghĩa là trò chơi công bằng tiệm cận dẫn đến sự phá sản của công ty.
4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 115Vì vậy, bỏ qua hệ số an toàn, bước ngẫu nhiên (Sn, n ≥0)cũng sẽ tiến ra +∞ hoặc sẽ Vì vậy, bỏ qua hệ số an toàn, bước ngẫu nhiên (Sn, n ≥0)cũng sẽ tiến ra +∞ hoặc sẽ dao động. Trong cả hai trường hợp ta biết rằng
M =∞. (4.35)
Theo đó, việc tính toán hàm xác suất không phá sản φ chỉ xảy ra khi bất đẳng thức 4.13 hoặc 4.14 được thỏa và nó cũng cần để cụ thể hóa một số giả thiết cơ bản để có các biểu thức giải tích dễ vận dụng hơn. Điều này có thể thực hiện được trong trường hợp của mô hình Cramer-Lundberg hoặc P/G.
4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 4.3.1 Mô hình
Để có được mô hình rủi ro riêng, ta có thể chỉnh sữa mô hình Anderson ở trên theo phương pháp sau: ta xem quá trình chi trả tiền bồi thường là một quá trình Poisson hoặc như ví dụ 1.2 trong chương1 với:
A(x) = 1−eλx nếu x≥0 0 nếu x <0 (4.36) theo 4.2: α= 1 λ. (4.37)
Khi đó điều kiện 4.13 hoặc4.32 trở thành:
c > λβ. (4.38)
Vì vậy, nếu trong trường hợp tổng quát, bất kì mô hình Anderson nào được xác định bởi hai hàm phân phối A và B trên [0,∞) đã biết thì nó giải thích cho kí hiệu của mô hình rủi ro E.S Anderson (hay G/G) với kí tự G có nghĩa là “tổng quát”. Mặt khác, bất kì mô hình Cramer – Lundberg (hay P/G) được xác định bởi tham số λ dương thì nó xác định quá trình Poisson của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm và bởi hàm phân phối tổng quát B trên [0,∞) cho lượng tiền bồi thường bảo hiểm. Điều này cũng giải thích cho kí hiệu P/G (P là “Poisson” và G là “tổng quát”) của mô hình riêng này.
4.3.2 Xác suất phá sản
Bây giờ ta xét xem làm thế nào để có thể xây dựng phương pháp giải đặc trưng để có được các kết quả đơn giản cho hàm xác suất không phá sản φ.
Từ bây giờ, ta giả sử rằng điều kiện 4.38 được thỏa mãn. Ngược lại thì φ đồng nhất với 0. Từ các quy luật xác suất chuẩn, với các điều kiện quan tâm đến thời điểm xảy ra yêu cầu bồi thường bảo hiểm đầu tiên, ta có
φ(u) = Z ∞ 0 λe−λt Z u+ct 0 φ(u+ct−y)dB(y)dt, u >0. (4.39) Thay biến z =u+ct ta được:
φ(u) = λ ce λ cu Z ∞ c e−cλz Z z