Trong chương này, chỳng tụi nhắc lại một số khỏi niệm và kết quả về phạm trự monoidal, nhúm phạm trự bện, phạm trự Picard, nhúm phạm trự phõn bậc, đối đồng điều của cỏc Γ-mụđun, nhúm phạm trự phõn bậc bện và phạm trự Picrad phõn bậc. Đồng thời, chỳng tụi cũn trỡnh bày về sự phõn lớp cỏc hàm tử monoidal (phõn bậc) đối xứng kiểu (ϕ, f).
CHƯƠNG 2
HỆ NHÂN TỬ TRONG
CÁC PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC
Bài toỏn phõn lớp cho cỏc nhúm phạm trự phõn bậc, nhúm phạm trự phõn bậc bện và phạm trự Picard phõn bậc đó được giải quyết lần lượt trong[11],[14],[15]
bởi A. M. Cegarra và cỏc đồng tỏc giả. Trong mỗi trường hợp, cỏc tỏc giả trờn đó xõy dựng một lý thuyết đối đồng điều Γ-toỏn tử thớch hợp và phõn lớp cỏc phạm trự đang xột bởi cỏc 3-đối chu trỡnh tương ứng nhờ cỏc phạm trự khung. Hơn nữa, cỏc tỏc giả trong [11] cũn ỏp dụng lý thuyết nhúm phạm trự phõn bậc để đưa ra lời giải thớch hợp cho bài toỏn mở rộng nhúm đẳng biến với hạt nhõn khụng aben. Cũn trong [14] và [15], A. M. Cegarra và E. Khmaladze đó phõn lớp cỏc mở rộng Γ-mụđun (chớnh là mở rộng nhúm đẳng biến với cỏc nhúm được bổ sung tớnh giao hoỏn) theo hai hướng khỏc nhau mà khụng ỏp dụng đến cỏc kết quả về phõn lớp cỏc nhúm phạm trự phõn bậc bện hay phạm trự Picard phõn bậc.
A. M. Cegarra và cỏc đồng tỏc giả [13] đó sử dụng khỏi niệm hệ nhõn tử của A. Grothendieck [44] để phõn lớp cỏc mở rộng phõn bậc của phạm trự monoidal. Nhưng sau đú họ đó khụng tiếp tục sử dụng phương phỏp này trong nghiờn cứu về nhúm phạm trự phõn bậc, nhúm phạm trự phõn bậc bện và phạm trự Picard phõn bậc. Trong [31], N. T. Quang đó giới thiệu một cỏch tiếp cận khỏc cho bài toỏn phõn lớp cỏc nhúm phạm trự phõn bậc dựa trờn phương phỏp hệ nhõn tử. Theo [13], mỗi nhúm phạm trựΓ-phõn bậc được xem như một mở rộng của một nhúm phạm trự bởi nhúmΓ. Do mỗi nhúm phạm trự tương đương với một nhúm phạm trự kiểu (Π, A) (xem H. X. Sớnh [46]) nờn nảy sinh một cõu hỏi tự nhiờn là: mỗi nhúm phạm trự Γ-phõn bậc cú tương đương với một mở rộngΓ-phõn bậc của một nhúm phạm trự kiểu (Π, A) hay khụng? Nếu cõu trả lời là khẳng định thỡ bài toỏn phõn lớp cú thể được thực hiện đơn giản hơn trờn cỏc nhúm phạm
trự Γ-phõn bậc kiểu này. Sau này, trong cụng trỡnh [7] với sự cộng tỏc của M. Calvo, A. M. Cegarra và N. T. Quang, cỏc tỏc giả đó quay lại sử dụng phương phỏp hệ nhõn tử để nghiờn cứu về nhúm phạm trự phõn thớ.
Trong chương này, chỳng tụi sử dụng phương phỏp hệ nhõn tử để nghiờn cứu cỏc phạm trự Picard phõn bậc. Chỳng tụi chứng minh rằng mỗi phạm trự Picard phõn bậc P tương đương với mở rộng tớch chộo của một hệ nhõn tử lấy hệ tử trong phạm trự Picard thu gọn của KerP (Định lý 2.1.5) và chỉ ra rằng cỏc cấu trỳc Γ-mụđun trờn M, N và 3-đối chu trỡnhh được cảm sinh trực tiếp từ giả hàm tử (Định lý 2.2.1). Từ những kết quả này, chỳng tụi thu lại được định lý phõn lớp cỏc phạm trự Picard phõn bậc trong [15]. Ngoài ra, chỳng tụi cũn ỏp dụng lý thuyết phạm trự Picard phõn bậc để phõn lớp cỏc mở rộng Γ-mụđun và thu được một hệ quả là kết quả phõn lớp đối đồng điều cỏc mở rộng Γ-mụđun trong [15].
Cỏc kết quả chớnh của chương được viết dựa trờn bài bỏo [36]. 2.1. Hệ nhõn tử lấy hệ tử trong phạm trự Picard
Mục này được dành để mụ tả hệ nhõn tử đối xứng trong cỏc phạm trự Picard phõn bậc và chứng minh rằng mỗi phạm trự Picard phõn bậc P tương đương với mở rộng tớch chộo của hệ nhõn tử đối xứng lấy hệ tử trong phạm trự Picard thu gọn của KerP.
Trước hết, chỳng tụi ký hiệuPic là phạm trự của cỏc phạm trự Picard và cỏc hàm tử monoidal đối xứng giữa chỳng. Ký hiệuZ3s là phạm trự con đầy của phạm trự Pic. Phạm trự này được xỏc định như sau. Mỗi vật của Z3s là một phạm trự Picard P=R(M, N, h), trong đú M, N là cỏc nhúm aben và h= (ξ, η)∈Zs3(M, N)
với ξ:M3→N, η:M2 →N. Mỗi mũi tờn R(M, N, h)→R(M0, N0, h0) là một hàm tử monoidal đối xứng(F,Fe), trong đúF là cặp đồng cấu nhúm ϕ:M →M0vàf :
N →N0, Feliờn kết với hàm g :M2→N0 sao cho f∗(h) =ϕ∗(h0) +∂g∈Zs3(M, N0). Sự tồn tại của mũi tờn monoidal τ : (F, g)⇒(F0, g0) đũi hỏi rằng F =F0. Khi đú
τ cảm sinh một ỏnh xạ t :M →N0 sao cho g0=g+∂t. Phạm trự Z3s được gọi là
phạm trự cỏc 3-đối chu trỡnh đối xứng.
2.1.1 Định nghĩa. Một hệ nhõn tử đối xứngF trờnΓvới cỏc hệ tử trong phạm trự Picard P (hay một giả hàm tử F : Γ→ Pic) bao gồm một họ cỏc tự tương
đương monoidal đối xứng Fσ : P → P với σ ∈ Γ và cỏc đẳng cấu giữa cỏc hàm tử monoidal đối xứng θσ,τ :FσFτ →Fστ với σ, τ ∈Γ, thỏa món cỏc điều kiện:
(i) F1 =idP;
(ii) θ1,σ =idFσ =θσ,1, σ ∈Γ;
(iii) Với mọi σ, τ, γ ∈Γ, biểu đồ sau giao hoỏn
FσFτFγ θ σ,τ Fγ −−−−→ FστFγ Fσθτ,γ y yθστ,γ FσFτ γ θ σ,τ γ −−−→ Fστ γ (2.1.1)
Ta viết F = (P, Fσ, θσ,τ) và ký hiệu đơn giản là (F, θ).
Hệ nhõn tử đối xứng F được gọi là một hệ nhõn tử đối xứng khỏ chặt chẽ
nếu F∗σ =id với mọi σ ∈Γ.
Mệnh đề sau đõy chỉ ra rằng mỗi phạm trự Picard phõn bậc cảm sinh một hệ nhõn tử lấy hệ tử trong một phạm trự Picard.
2.1.2 Mệnh đề. Mỗi phạm trự Picard phõn bậc (P, gr) cảm sinh một hệ nhõn tử đối xứng F : Γ→Pic.
Chứng minh. Phần chứng minh của mệnh đề được suy ra từ [13, Định lý 2.1 (i)] cựng với những bổ sung cần thiết. Để bạn đọc tiện theo dừi, chỳng tụi trỡnh bày đầy đủ phộp chứng minh mệnh đề này.
Giả sử (P, gr) là một phạm trự Picard Γ-phõn bậc. Ta xõy dựng hệ nhõn tử
F như sau: F biến vật duy nhất∗ của Γ thành phạm trự Picard KerP. Bõy giờ với mỗi mũi tờn σ ∈Γ, ta dựng một hàm tử monoidal đối xứng Fσ = (Fσ,Feσ) :
KerP →KerP như sau.
Với mỗi X ∈ KerP, vỡ phõn bậc gr là ổn định nờn tồn tại mũi tờn đẳng cấu
ΥσX : X →∼ FσX, trong đú FσX ∈ KerP và gr(ΥσX) = σ. Đặc biệt, khi σ = 1, ta lấy F1X =X và Υ1X =idX. Với mỗi mũi tờn f : X → Y bậc 1 trong KerP, mũi tờn Fσ(f) trong KerP được xỏc định bởi
Fσ(f) = ΥσY ◦f ◦(ΥσX)−1. (2.1.2)
Cỏc đẳng cấu tự nhiờn FeX,Yσ : Fσ(X ⊗Y) −→∼ FσX ⊗FσY được xỏc định duy nhất bởi
e
Với mỗi cặp σ, τ ∈ Γ tồn tại một đẳng cấu giữa cỏc hàm tử monoidal: θσ,τ :
FσFτ −→∼ Fστ với θ1,σ =idFσ =θσ,1 được xỏc định bởi
θσ,τX = ΥσFτX ◦ΥτX ◦(ΥστX )−1 (2.1.3) với mọi X ∈Ob(P). Vỡ F1X =X nờn F1 =idKerP.
Khi đú, (Fσ,Feσ) sẽ tương thớch với cỏc ràng buộc kết hợp a và giao hoỏn c của phạm trự PicardKerP nhờ vào mũi tờn đẳng cấu Υσ cựng với tớnh tự nhiờn củaa và c. Hơn nữa, do cỏc hệ thức (2.1.2), (2.1.3) và Υ(στ)γ = Υσ(τ γ) nờn đẳng cấu θσ,τ thỏa món
θστ,γ ◦θσ,τFγ =θσ,τ γ ◦Fσθτ,γ.
Như vậy, F = (KerP, Fσ, θσ,τ) xỏc định như trờn là một hệ nhõn tử trờn Γ
lấy hệ tử trong phạm trự Picard KerP.
Bõy giờ ta xõy dựng một phạm trự Picard phõn bậc từ một hệ nhõn tử đối xứng F = (P, Fσ, θσ,τ). Phạm trự này được gọi là mở rộng tớch chộo của F và được ký hiệu là ∆F.
Ta đặt Ob(∆F) = Ob(P). Mũi tờn X → Y trong ∆F là cặp (a, σ), trong đú
FσX →a Y là mũi tờn trong P.Với σ, τ ∈Γ, hợp thành X (a,σ→)Y (b,τ→)Z là mũi tờn
(c, τ σ) : X → Z, trong đú c được xỏc định một cỏch tự nhiờn theo biểu đồ giao hoỏn sau FτFσX F τ(a) −−−→ FτY θτ,σX y yb Fτ σX −−−→ Z nghĩa là (b, τ)◦(a, σ) = (b◦Fτ(a)◦(θXτ,σ)−1, τ σ).
Từ cỏc điều kiện chuẩn tắc và điều kiện đối chu trỡnh của F, ta suy ra phộp hợp thành của cỏc mũi tờn trong ∆F cú tớnh kết hợp và phần tử đơn vị. ∆F là phạm trự Picard Γ-phõn bậc với hàm tử gr: ∆F →Γ cho bởi
X 7→ ∗; (X (a,σ→)Y)7→σ.
Tớch tenxơ trờn cỏc vật trong ∆F chớnh là tớch tenxơ trong P, tớch tenxơ giữa cỏc mũi tờn trong ∆F được xỏc định bởi
trong đú d được xỏc định bởi hợp thành Fσ(X⊗X0)(Fe σ )−1 → FσX⊗FσX0a→⊗bY ⊗Y0. Γ-hàm tử I : Γ→∆F cho bởi ∗ 7→IP; (∗→ ∗σ )7→(I ((F σ ∗)−1,σ) → I).
Cỏc ràng buộc kết hợp, đối xứng, đơn vị trỏi và đơn vị phải: a, c,l,r trong ∆F
lần lượt là
aX,Y,Z = (aX,Y,Z,1), cX,Y = (cX,Y,1), lX = (lX,1), rX = (rX,1),
trong đú aX,Y,Z,cX,Y,lX,rX là cỏc ràng buộc của phạm trự Picard P.
Vỡ vậy, từ Mệnh đề 2.1.2 và [13, Định lý 2.1 (i)] cựng với những bổ sung cần thiết ta thu được mệnh đề sau.
2.1.3 Mệnh đề. Mỗi phạm trự Picard Γ-phõn bậc P tương đương với một mở rộng tớch chộo ∆F với F là một hệ nhõn tử lấy hệ tử trong KerP.
Mệnh đề tiếp theo được suy ra từ [31, Mệnh đề 3.1].
2.1.4 Mệnh đề. Nếu G : P → P0 là một tương đương monoidal đối xứng của hai phạm trự Picard thỡ mỗi hệ nhõn tử đối xứng F lấy hệ tử trong P cảm sinh một hệ nhõn tử đối xứng F0 lấy hệ tử trong P0. Hơn nữa, cỏc mở rộng tớch chộo tương ứng là Γ- tương đương.
Bõy giờ chỳng tụi chứng minh rằng mỗi phạm trự Picard phõn bậc P tương đương với mở rộng tớch chộo của hệ nhõn tử đối xứng lấy hệ tử trong phạm trự Picard thu gọn của KerP.
2.1.5 Định lý. Giả sử P là phạm trự PicardΓ-phõn bậc vàKerP(h)là phạm trự Picard thu gọn của KerP. Khi đú tồn tại hệ nhõn tử F lấy hệ tử trong KerP(h)
sao cho P tương đương với ∆F.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.1.3, P tương đương với tớch chộo ∆(FP) với FP
lấy hệ tử trong phạm trự Picard KerP. Do KerP tương đương monoidal đối xứng với phạm trự Picard thu gọn KerP(h) của nú nờn theo Mệnh đề 2.1.4,FP
cảm sinh hệ nhõn tử đối xứng F lấy hệ tử trong KerP(h) sao cho ∆(FP) tương đương với ∆F. Vỡ vậy, P tương đương với ∆F.
2.2. Hệ nhõn tử lấy hệ tử trong phạm trự Picard R(M, N, h)
Để phõn lớp cỏc phạm trự PicardΓ-phõn bậc, A. M. Cegarra và E. Khmaladze [15] đó xõy dựng cỏc nhúm đối đồng điều đối xứngHΓn,s(M, N) của cỏcΓ-mụđun (xem Mục 1.4). Từ mỗi 3-đối chu trỡnh đối xứng h∈ ZΓ3,s(M, N) cho trước, cỏc tỏc giả đó xõy dựng được một phạm trự Picard Γ-phõn bậc S =RΓ(M, N, h) và chỉ ra rằng cỏc 3-đối chu trỡnh đối xứng h, h0 là đối đồng điều khi và chỉ khi cỏc phạm trự Picard Γ-phõn bậc S,S0 tương đương. Họ đó thu được một song ỏnh giữa nhúm đối đồng điều đối xứng HΓ3,s(M, N) với tập cỏc lớp tương đương cỏc phạm trự Picard Γ-phõn bậc kiểu (M, N) (xem [15, Định lý 3.11]).
Trong phần này, chỳng tụi chỉ ra rằng mỗi phạm trự Picard phõn bậc P cảm sinh một cỏch tự nhiờn cỏc cấu trỳcΓ-mụđun trờn M =π0(P), N =π1(P)và một 3-đối chu trỡnh chuẩn tắc h ∈ ZΓ3,s(M, N). Kết quả này cho phộp thu lại được định lý phõn lớp cỏc phạm trự Picard phõn bậc trong [15, Định lý 3.11].
Định lý sau đõy chỉ ra điều kiện cần của hệ nhõn tử lấy hệ tử trong phạm trự Picard.
2.2.1 Định lý. Giả sử Γ là một nhúm và S = R(M, N, ξ, η) là một phạm trự Picard. Khi đú
(i) Mỗi hệ nhõn tử đối xứng khỏ chặt chẽ F = (S, Fσ, θσ,τ) : Γ → Z3s cảm sinh cỏc cấu trỳc Γ-mụđun trờn M, N và một 3-đối chu trỡnh chuẩn tắc hF ∈
ZΓ3,s(M, N);
(ii) Điều kiện F1 = idS trong định nghĩa của hệ nhõn tử cú thể suy ra được từ những điều kiện cũn lại.
Chứng minh. (i) Theo Mệnh đề 1.2.3 (i), mỗi hàm tử monoidal đối xứng Fσ :
S−→S là một cặp đồng cấu nhúm (ϕσ :M →M, fσ :N →N). Hơn nữa, do Fσ
là một tự tương đương nờn ϕσ và fσ là những tự đẳng cấu nhúm.
Mặt khỏc, với mọi σ, τ ∈Γ, do θσ,τx :FσFτx−→Fστx là một mũi tờn trong S
nờnFστ(x) = (FσFτ)(x)với mọix∈M.Từ đú ta cúϕστ =ϕσϕτ. Điều này chứng
tỏM là một Γ-mụđun với đồng cấu nhúmϕ: Γ→AutM, trong đú ϕ1 =idM. Để đơn giản, với mọi σ ∈Γ, x∈M và a∈N, ta đặt
Do ξ, η lần lượt là cỏc hàm liờn kết với ràng buộc kết hợp và ràng buộc giao hoỏn của phạm trự Picard S, nờn cặp ξ, η thỏa món cỏc hệ thức
ξ(y, z, t)−ξ(x+y, z, t) +ξ(x, y+z, t)−ξ(x, y, z+t) +ξ(x, y, z) = 0, (2.2.1)
η(x, y) +η(y, x) = 0, (2.2.2)
ξ(x, y, z)−ξ(y, x, z) +ξ(y, z, x) +η(x, y +z)−η(x, y)−η(x, z) = 0. (2.2.3) Bõy giờ đặt Fex,yσ = (fe(x, y, σ), σ(x+y)). Do Fσ là một hàm tử monoidal đối xứng và F∗σ =id nờn tớnh tương thớch của Feσ với ràng buộc a và c dẫn đến
e
f(y, z, σ)−fe(x+y, z, σ) +fe(x, y+z, σ)−fe(x, y, σ)
=σ(ξ(x, y, z))−ξ(σx, σy, σz), (2.2.4) e
f(x, y, σ)−fe(y, x, σ) =η(σx, σy)− σ(η(x, y)). (2.2.5) Tớnh tương thớch của Feσ với cỏc ràng buộc đơn vị kộo theo tớnh chuẩn tắc của hàm fe: fe(x,0, σ) = fe(0, y, σ) = 0. Tiếp theo ta xột đẳng cấu hàm tử monoidal
θσ,τ = (θσ,τx ) với
θσ,τx = (t(x, σ, τ), στ x) :FσFτx−→Fστx.
Từ định nghĩa phộp biến đổi tự nhiờn của cỏc hàm tử monoidal, ta cú cỏc hệ thức sau
fσfτ =fστ, (2.2.6)
e
f(x, y, στ)−fe(τ x, τ y, σ)−σ(fe((x, y, τ))
=t(y, σ, τ)−t(x+y, σ, τ) +t(x, σ, τ), (2.2.7) trong đú t thỏa món điều kiện chuẩn tắc t(0, σ, τ) = 0. Hệ thức (2.2.6) xỏc định một đồng cấu nhúm f : Γ→AutN. Do đú N là một Γ-mụđun và f1 =idN. Hơn nữa, điều kiện đối chu trỡnh (2.1.1) dẫn đến hệ thức
σt(x, τ, γ) +t(x, σ, τ γ) = t(x, στ, γ) +t(γx, σ, τ). (2.2.8) Như vậy, bộ bốn (ξ, η,f , te ) xỏc định một ỏnh xạ chuẩn tắc
hF :M3∪(M|M)∪(M2ìΓ)∪(M ìΓ2)→N.
Cỏc hệ thức (2.2.1)-(2.2.5), (2.2.7) và (2.2.8) đảm bảo rằng hF là một 3-đối chu trỡnh chuẩn tắc đối xứng thuộc nhúm ZΓ3,s(M, N) theo nghĩa [15].
(ii) Trước hết F1 là hàm tử đồng nhất của phạm trự S. Từ điều kiện (ii) trong Định nghĩa 2.1.1, nghĩa là θ1,σ =θσ,1 =idFσ với σ ∈Γ, ta được t(x,1, σ) =
t(x, σ,1) = 0. Bởi vậy, với τ = 1 đẳng thức (2.2.7) kộo theo fe(x, y,1) = 0, nghĩa là e
Fx,y1 =id. Vậy F1 là hàm tử monoidal đối xứng đồng nhất.
Từ Định lý 2.1.5 và Định lý 2.2.1, chỳng tụi thu được kết quả sau đõy.
2.2.2 Định lý. Mỗi phạm trự Picard phõn bậc P cảm sinh cỏc cấu trỳc Γ- mụđun trờn M = π0P, N = π1P và cảm sinh một 3-đối chu trỡnh chuẩn tắc
hF ∈ZΓ3,s(M, N).
Chứng minh. Định lý 2.1.5 đảm bảo rằng P tương đương với mở rộng tớch chộo
∆F, trong đú F là hệ nhõn tử đối xứng của phạm trự Picard S = (M, N, ξ, η). Vỡ vậy, từ Định lý 2.2.1 ta cú điều phải chứng minh.
Vớ dụ sau đõy sẽ mụ tả hệ nhõn tửF lấy hệ tử trong phạm trự Picard DisM.
2.2.3 Vớ dụ. Với nhúm aben M, phạm trự Picard chặt chẽ DisM được cho bởi
DisM = R(M,0,0). Giả sử F là một hệ nhõn tử đối xứng trờn Γ và lấy hệ tử trong DisM. Khi đú với mỗiσ ∈Γ, hàm tử monoidal đối xứngFσ là cặp(ϕσ, fσ),
trong đú fσ =id : 0→ 0, cỏc mũi tờn Fex,yσ =id với mọi x, y ∈ M và cỏc mũi tờn
θσ,τ đều là mũi tờn đồng nhất id0. Theo Định lý 2.2.1 (i), cỏc đồng cấu nhúm
ϕσ :M →M xỏc định một đồng cấu nhúm ϕ: Γ→AutM.
Như vậy, mỗi hệ nhõn tử củaΓ lấy hệ tử trong phạm trự Picard DisM là một đồng cấu ϕ: Γ→AutM. Đồng cấu này xỏc định cấu trỳc Γ-mụđun của M.
Vớ dụ tiếp theo sẽ mụ tả hệ nhõn tử đối xứng F lấy hệ tử trong phạm trự Picard RedN.
2.2.4 Vớ dụ. Với nhúm abenN, phạm trự Picard chặt chẽ RedN được xỏc định bởi RedN =R(0, N,0). Giả sử F là hệ nhõn tử trờn Γ và lấy hệ tử trong RedN. Khi đú với mỗi σ ∈Γ, ta cú hàm tử monoidal đối xứng Fσ = (ϕσ, fσ) : (0, N)→
(0, N), trong đú ϕσ = id. Theo phộp chứng minh của Định lý 2.2.1, vỡ M = 0
nờn đẳng cấu tự nhiờn Feσ xỏc định một hàm Γ→N, ký hiệu làfe. Hơn nữa, do tớnh chuẩn tắc của hàm t nờn θσ,τ là đồng nhất 0. Mặt khỏc, do cỏc hàm ξ, η