bậc
Nhúm phạm trự bện được xột tới lần đầu tiờn trong [22] bởi A. Joyal và R. Street như là một sự mở rộng của phạm trự Picard. Trường hợp tổng quỏt hơn đối với cỏc nhúm phạm trự bện đó được nghiờn cứu bởi A. M. Cegarra và E. Khmaladze [14] với tờn gọi nhúm phạm trự phõn bậc bện (trường hợp riờng của nú là phạm trự Picard phõn bậc trong [15]). Cỏc tỏc giả trong [14] (tương ứng, [15]) đó thu được cỏc kết quả phõn lớp đồng luõn cho cỏc nhúm phạm trự phõn bậc bện (tương ứng, phạm trự Picard phõn bậc). Trong phộp chứng minh cỏc
kết quả phõn lớp này, phần thỳ vị nhất và cũng là phần phức tạp nhất là phộp dựng 3-đối chu trỡnh được cảm sinh bởi một nhúm phạm trự phõn bậc bện (hoặc phạm trự Picard phõn bậc) qua phạm trự khung mà mỗi lớp tương đương của cỏc phạm trự cựng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều thứ 3.
Trong mục này, trước hết chỳng tụi nhắc lại một số khỏi niệm và kết quả về nhúm phạm trự phận bậc bện và phạm trự Picard (theo [14] và [15]). Thứ hai, chỳng tụi trỡnh bày sự phõn lớp cỏc hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng kiểu (ϕ, f).
Một phạm trự monoidal Γ-phõn bậc bện bao gồm một phạm trự Γ-phõn bậc ổn định(C, gr), cỏc hàm tử Γ-phõn bậc⊗:C ìΓC → C, I : Γ→ C và cỏc đẳng cấu tự nhiờn bậc 1aX,Y,Z : (X⊗Y)⊗Z →∼ X⊗(Y ⊗Z),lX :I⊗X →∼ X,rX :X⊗I →∼ X
và cX,Y : X ⊗Y →∼ Y ⊗X, với I = I(∗) thỏa món cỏc điều kiện khớp của một phạm trự monoidal bện.
Nếu bện c trong phạm trự monoidal phõn bậc bện C là ràng buộc giao hoỏn thỡ C được gọi là phạm trự monoidal phõn bậc đối xứng (xem [15]).
Giả sử C và C0 là hai phạm trự monoidal phõn bậc bện (đối xứng). Một hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng (F,F , Fe ∗) :C → C0 là một hàm tử monoidal phõn bậc thỏa món biểu đồ giao hoỏn (1.2.3) với mọi X, Y ∈Ob(C).
1.5.1 Định nghĩa. Mộtnhúm phạm trự phõn bậc bệnlà một phạm trự monoidal phõn bậc bện sao cho mọi mũi tờn đều đẳng cấu và mọi vật đều khả nghịch.
Nếu bện c trong nhúm phạm trự phõn bậc bện P là ràng buộc giao hoỏn thỡ
P được gọi là phạm trự Picard phõn bậc (xem [15]).
Phạm trự con KerP của nhúm phạm trự phõn bậc bện P (tương ứng, phạm trự Picard phõn bậc) cú vật là cỏc vật của P và cỏc mũi tờn là những mũi tờn bậc 1 trong P, là một nhúm phạm trự bện (tương ứng, phạm trự Picard).
Giả sử C là một phạm trự monoidal bện (đối xứng). Một mở rộng phõn bậc
của C là một cặp (P, J), trong đú P = (P, gr) là một phạm trự monoidal phõn bậc bện (đối xứng) và J = (J,J , Je ∗) :C −→KerP là một tương đương monoidal đối xứng. Khi C là một nhúm phạm trự bện (tương ứng, phạm trự Picard) thỡ cặp(P, J)là mộtmở rộng phõn bậccủa nhúm phạm trự bệnC (tương ứng, phạm trự Picard).
A. M. Cegarra và E. Khmaladze [14] đó chỉ ra rằng mỗi nhúm phạm trự
h là một ba đối chu trỡnh thuộc ZΓ3,ab(M, N) (xem Mục 1.4).
Với cỏc dữ liệu (M, N, h) thỏa món cỏc điều kiện núi trờn, nhúm phạm trự phõn bậc RΓ(M, N, h) trở thành nhúm phạm trự phõn bậc bện với phộp bện cho bởi
cx,y = (h(x, y),1) : xy→yx.
Trong trường hợp P là phạm trự Picard phõn bậc thỡ h ∈ ZΓ3,s(M, N) và R
Γ(M, N, h) là một phạm trự Picard phõn bậc. Nếu M = π0P và N = π1P thỡ R
Γ(M, N, h) được ký hiệu là P(h).
Để tiện sử dụng, chỳng tụi gọi nhúm phạm trự phõn bậc bện P(h) (tương ứng, phạm trự Picard phõn bậc) là một nhúm phạm trự phõn bậc bện thu gọn
(tương ứng, phạm trự Picard phõn bậc thu gọn) của nhúm phạm phõn bậc bện
P (tương ứng, phạm trự Picard phõn bậc).
Chỳng tụi đó định nghĩa cản trở của một hàm tử (để trở thành một hàm tử monoidal đối xứng) (xem Mục 1.2). Bõy giờ chỳng tụi sẽ chỉ ra cản trở của một hàm tử phõn bậc (để trở thành một hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng).
Đối với một hàm tử phõn bậc F :RΓ(M, N, h)→ R
Γ(M0, N0, h0) kiểu (ϕ, f) thỡ cỏi cản trở
k=ϕ∗h0−f∗h
(xem Mục 1.2) trong trường hợp này là thuộc nhúm ZΓ3,s(M, N0).
Từ Mệnh đề 1.2.2 và Mệnh đề 1.2.3, với một vài thay đổi cần thiết ta lần lượt thu được kết quả sau.
1.5.2 Mệnh đề. Giả sử P vàP0 là hai phạm trự Picard phõn bậc.P(h)vàP0(h0)
lần lượt là phạm trự Picard phõn bậc thu gọn của P và P0. Khi đú mỗi hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng (F,Fe) : P → P0 cảm sinh một hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng Fh :P(h)→ P0(h0) kiểu (ϕ, f).
1.5.3 Mệnh đề. Cho S = RΓ(M, N, h) và S0 = RΓ(M0, N0, h0) là hai phạm trự Picard phõn bậc. Khi đú
(i) Mỗi hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng (F,Fe) : S → S0 là một hàm tử phõn bậc kiểu (ϕ, f).
(ii) Hàm tử phõn bậc F : S → S0 kiểu (ϕ, f) cú thể hiện, nghĩa là một hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng, nếu và chỉ nếu cỏi cản trở k triệt tiờu trong
HΓ3,s(M, N0). Khi đú tồn tại song ỏnh
Hom(ϕ,f)[S,S0]↔HΓ2,s(M, N0),
trong đú Hom(ϕ,f)[S,S0] là tập tất cả cỏc lớp đồng luõn của cỏc hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng kiểu (ϕ, f) từ S tới S0.
Kết quả (ii) của Mệnh đề 1.5.3 cũng đó được A. M. Cegarra và E. Khmaladze trỡnh bày trong [15, Định lý 3.9].