4 Γ mụđun chộo bện và nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện
4.3. Kết luận của Chương 4
Trong chương này, luận ỏn đó giải quyết được cỏc vấn đề sau:
- Đưa ra định nghĩa nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện và biểu diễn
Γ-mụđun chộo bện qua khỏi niệm này;
- Xỏc định dạng hàm tử giữa cỏc nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện liờn kết với cỏc Γ-mụđun chộo bện tương ứng và xỏc định mũi tờn trong phạm trự cỏc Γ-mụđun chộo bện;
- Chứng minh phạm trự cỏc Γ-mụđun chộo bện tương đương với phạm trự cỏc nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện;
- Phỏt biểu và giải bài toỏn mở rộng Γ-mụđun kiểu Γ-mụđun chộo aben nhờ cỏc kết quả của lý thuyết phạm trự Picard phõn bậc.
CHƯƠNG 5
MỞ RỘNG NHểM ĐẲNG BIẾN VÀ
NHểM PHẠM TRÙ PHÂN BẬC CHẶT CHẼ
Khỏi niệm nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ đó được giới thiệu bởi N. T. Quang và P. T. Cỳc [33] khi nghiờn cứu về sự phõn lớp cỏc Γ-mụđun chộo và bài toỏn mở rộng nhúm đẳng biến kiểu Γ-mụđun chộo. Khỏi niệm hạt nhõn Γ-đẳng biến (Π, G, p) đó được giới thiệu bởi A. M. Cegarra và cỏc đồng tỏc giả [11] và là sự mở rộng của khỏi niệm hạt nhõn trừu tượng trong bài toỏn mở rộng nhúm. Cỏc tỏc giả trong [11] đó chỉ ra rằng nếu cản trở của hạt nhõn
Γ-đẳng biến triệt tiờu thỡ tồn tại mở rộng nhúm đẳng biến và khi cản trở triệt tiờu, cỏc mở rộng nhúm đẳng biến của G bởi Π được phõn lớp nhờ vào cỏc hàm tử monoidal phõn bậc giữa nhúm phạm trự phõn bậc rời rạc DisΓΠ và nhúm phạm trự phõn bậc HolΓG.
Trong chương này, chỳng tụi nghiờn cứu nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ gắn với bài toỏn mở rộng nhúm đẳng biến. Thứ nhất, chỳng tụi chỉ ra mối liờn hệ giữa bất biến thứ ba của nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ HolΓG với cản trở của hạt nhõn đẳng biến (Π, G, p) (Định lý 5.2.1). Định lý này chứa Mệnh đề 13 trong [35] về cỏc bất biến của nhúm phạm trự chặt chẽ liờn quan đến hạt nhõn trừu tượng của bài toỏn mở rộng nhúm. Thứ hai, chỳng tụi phõn lớp cỏc mở rộng nhúm đẳng biến là mở rộng tõm (Định lý 5.3.1). Thứ ba, chỳng tụi xõy dựng một nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ từ một nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ và mộtΓ-đồng cấu đẳng biến (Định lý 5.4.1). Kết quả này mở rộng cấu trỳc pull-back của S. MacLane [26] về việc dựng mở rộng nhúmEγ của mở rộng
E và đồng cấu nhúm γ.