4 Γ mụđun chộo bện và nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện
5.1.Nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ
Mục này được dành để nhắc lại một số khỏi niệm về nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ theo N. T. Quang và P. T. Cỳc [33] và trỡnh bày một số vớ dụ minh họa.
Hàm tử monoidal (F,Fe) : G →G0 giữa hai nhúm phạm trự được gọi là hàm tử monoidal chớnh qui nếu
F(x)⊗F(y) = F(x⊗y), F(b)⊗F(c) =F(b⊗c)
với x, y ∈Ob(G) và b, c∈Mor(G).
Hệ nhõn tử (F, θ) trờnΓ với cỏc hệ tử trong nhúm phạm trựG được gọi làhệ nhõn tử chớnh qui nếu với mọi σ, τ ∈Γ thỡ θσ,τ =id và Fσ là hàm tử monoidal chớnh qui.
5.1.1 Định nghĩa. ([33]) Nhúm phạm trự phõn bậc G được gọi là một nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ nếu
(i) KerG là một nhúm phạm trự chặt chẽ;
(ii) G cảm sinh một hệ nhõn tử chớnh qui (F, θ) trờn Γ với cỏc hệ tử trong nhúm phạm trự KerG.
Một cỏch tương đương, nhúm phạm trự phõn bậc G là chặt chẽ nếu G là mở rộng Γ-phõn bậc của một nhúm phạm trự chặt chẽ bởi một hệ nhõn tử chớnh qui.
Sau đõy chỳng tụi sẽ trỡnh bày một số vớ dụ về nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ.
5.1.2 Vớ dụ. Với Γ-nhúm Π, ta cú thể xõy dựng nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ DisΓΠ giống như phạm trự Picard Γ-phõn bậc DisΓM (xem Mục 2.3), chỉ cần bỏ qua tớnh giao hoỏn của phộp toỏn.
5.1.3 Vớ dụ. Với Γ-nhúmG, ta cú thể xõy dựng nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ HolΓG như sau. Vật của nú là cỏc phần tử của Γ-nhúm AutG và mũi tờn bậcσ là cặp (u, σ) :α→β sao cho σα=àuβ với u∈G và σ ∈Γ. Phộp hợp thành của hai mũi tờn α−−−→(u,σ) β−−−→(v,τ) γ là
Tớch tenxơ trờn cỏc vật là phộp hợp thành của cỏc tự đẳng cấu trong Γ-nhúm
AutG và tớch tenxơ trờn hai mũi tờn được xỏc định
(α−−−→(u,σ) β)⊗(α0 (u 0 ,σ) −−−→β0) = (αα0 (u+β(u 0 ),σ) −−−−−−−→ββ0) (5.1.2) Hàm tử đơn vị phõn bậc I : Γ→HolΓG được cho bởi
I(∗−→ ∗σ ) =idG (0−→,σ)idG.
Cỏc ràng buộc đơn vị và kết hợp là cỏc đồng nhất.
5.1.4 Vớ dụ. Nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ liờn kết với Γ-mụđun chộo. Vớ dụ này được lấy ra từ cụng trỡnh [33] của N. T. Quang và P. T. Cỳc. Một
Γ-mụđun chộo là một bộ bốn (B, D, d, ϑ) trong đú d : B → D, ϑ: D → AutB là hai đồng cấu Γ-mụđun thỏa món cỏc điều kiện sau:
(i) ϑd=à;
(ii) d(ϑx(b)) =àx(d(b));
(iii) σ(ϑx(b)) =ϑ(σx)(σb),
trong đú σ ∈Γ, x ∈D, b∈B và àx là tự đẳng cấu trong sinh bởi x. Nú cũn được gọi là mụđun chộo đẳng biến theo Noohi [28].
Trong phộp dựng nhúm phạm trự Γ-phõn bậc chặt chẽ bện liờn kết với một
Γ-mụđun chộo bện (xem Mục 4.1) nếu bỏ qua tớnh bện thỡ cấu trỳc thu được chớnh là nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ. (Núi đỳng hơn, phộp dựng trong Mục 4.1 là dựa trờn phộp dựng trong [33, Mục 3]).