Chương 2 Khơng gian véctơ Ánh xạ tuyến tính
3 Cơ sở của không gian véctơ Độc lập tuyến tính
§3. CƠ SỞ CỦA KHƠNG GIAN VÉCTƠ - ĐỘC LẬP TUYẾN
TÍNH 3.1 Bài tốn đổi cơ sở
Cho Alà ma trận của ánh xạ tuyến tính f :V →W trong cặp cơ sởe={e1, . . . ,en}của
V và ǫ= {ǫ1, . . . ,ǫn}củaW.Giả sử e′ =ePvàǫ′ = ǫQlà các cơ sở khác của V và W. Khi
đó
A′ =Q−1AP
là ma trận của f trong cặp cơ sởe′ vàǫ′. Đặc biệt, nếuV =W vàP=Qthì A′=P−1AP.
Định lý 2.23. Với mỗi tốn tử tuyến tínhA, đa thức đặc trưng |λI−A| =λn+an−1λn−1+. . .+a0
không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của không gianV.
Định lý 2.24 (Green, 1973). . Cho x1, . . . ,xnvà y1, . . . ,yn là hai cơ sở của không gianV,
1≤k ≤n. Khi đó kvéctơ củay1, . . . ,yncó thể hốn đổi được với các véctơx1, . . . ,xksao cho chúng ta vẫn thu được 2 cơ sở khác của không gianV.
Định lý 2.25 (Aupetit, 1988). Cho T là một tốn tử tuyến tính trên khơng gianV sao cho với mọiξ ∈V các véctơξ,Tξ, . . . ,Tnξ là độc lập tuyến tính. Khi đó các tốn tử tuyến tính I,T, . . . ,Tnlà độc lập tuyến tính.
3.2 Bài tập
Bài tập 2.4. TrongVn cho các véctơe1, . . . ,em. Chứng minh rằng nếu m ≥ n+2 thì tồn tại các sốα1, . . . ,αm không đồng thời bằng 0 sao cho∑αiei =0 và∑αi =0.
Bài tập 2.5. Một tổ hợp tuyến tính lồi của các véctơv1, . . . ,vmlà một véctơ bất kì
x=t1v1+. . .+tmvm,
ở đóti ≥0và∑ti =1.Chứng minh rằng trong một khơng gian véctơ thựcn chiều, bất kì tổ hợp tuyến tính lồi củam véctơ cũng là một tổ hợp tuyến tính lồi của khơng nhiều hơn
n+1 véctơ cho trước.
Bài tập 2.6. Chứng minh rằng nếu|aii| > ∑k6=i|aik|với mọi i = 1, . . . ,n thì A = (aij)n
1 là một ma trận khả nghịch.
Bài tập 2.7. a) Cho các véctơe1, . . . ,en+1trong một không gian Euclidenchiều, sao cho (ei,ej)< 0nếu i 6= j, chứng minh rằng mọin véctơ rút ra từ hện+1véctơ trên đều là một cơ sở củaV.
b) Chứng minh rằng nếue1, . . . ,emlà các véctơ trongRnsao cho (ei,ej)<0với i 6= jthì