Đa thức tối tiểu

Một phần của tài liệu (TIỂU LUẬN) OLYMPIC SINH VIÊN môn đại số ĐỊNH THỨC, hệ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH, MA TRẬN và ÁNH xạ TUYẾN TÍNH, đa THỨC (Trang 35 - 41)

Chương 3 Dạng chính tắc của ma trận và tốn tử tuyến tính

2 Cấu trúc của tự đồng cấu

2.3 Đa thức tối tiểu

Định nghĩa 3.18. Đa thức có bậc nhỏ nhất triệt tiêu ma trậnAvà có hệ số cao nhất bằng 1 được gọi làđa thức tối tiểucủaA.

Chú ý 3.19. Đa thức tối tiểu của tốn tử tuyến tính được định nghĩa bằng đa thức tối tiểu của ma trận của nó trong một cơ sở nào đó, và khơng phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của không gian.

Định lý 3.20. Mọi đa thức triệt tiêuA đều chia hết cho đa thức tối tiểu của nó.

Định nghĩa 3.21. Đa thức pđược gọi là triệt tiêu véctơvVứng với tốn tử tuyến tính

A :VVnếup(A)v =0. Đa thức triệt tiêu véctơvcó bậc nhỏ nhất và có hệ số cao nhất bằng 1 được gọi là đa thức tối tiểu củav.

Định lý 3.22. Với mọi tốn tử tuyến tínhA : VV, tồn tại một véctơvVsao cho đa thức tối tiểu của nó ứng với Atrùng với đa thức tối tiểu của toán tửA.

Định lý 3.23 (Cayley - Hamilton). Mỗi ma trận đều là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó.

Định lý 3.24 (Farahat, Lederman, 1958).Đa thức đặc trưng của ma trậnAcấpntrùng với đa thức tối tiểu của nó khi và chỉ khi với mọi véctơ(x1, . . . ,xn)tồn tại các cộtPQ có độ dài nsao choxk =QTAkP.

Định lý 3.25 (Greenberg, 1984). ChopA(t)là đa thức đặc trưng của ma trậnA, vàXlà ma trận giao hốn vớiA. Khi đó pA(X) = M(AX), ở đóM là một ma trận giao hoán với

2. Cấu trúc của tự đồng cấu 35

2.4 Bài tập

Bài tập 3.1. Chứng minh rằng các hệ số của đa thức đặc trưng của ma trậnA có thể được mơ tả như sau:

det(A−λI) = (λ)n+c1(−λ)n−1+. . .+cn

trong đócklà tổng của tất cả các định thức con chính cấpkcủa ma trậnA. (Một định thức con được gọi làchínhnếu các chỉ số hàng và chỉ số cột của nó trùng nhau).

Bài tập 3.2. Giả sửλlà nghiệm bội pcủa đa thức đặc trưng của ma trậnAvuông cấpn. a. Chứng minh rằng số chiều của không gian riêng ứng với giá trị riêng λkhông lớn

hơn p.

b. Đặtr=rank(A−λI). Chứng minh rằng1≤nrp.

Bài tập 3.3. Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trậnA−1 bằng bằng nghịch đảo của các giá trị riêng của A(kể cả bội).

Lời giải.

det(A−1−λI) = (λ)n. det(A−1). det

Aλ1I

.

Bài tập 3.4. Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trậnA2 bằng bằng bình phương của các giá trị riêng của A(kể cả bội).

Lời giải. Giả sửλ1,λ2, . . . ,λn là các giá trị riêng của ma trận A(kể cả bội). Khi đó

det(A−λI) = (λ1−λ)(λ2−λ). . .(λn−λ)

det(A+λI) = (λ1+λ)(λ2+λ). . .(λn+λ)

Nhân hai vế của các đẳng thức trên với nhau ta có

det(A2−λ2I) = (λ12−λ2)(λ22−λ2). . .(λ2nλ2)

thay λ2 bởiλ trong đẳng thức trên ta có

det(A2−λI) = (λ12−λ)(λ22−λ). . .(λ2nλ)

suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập 3.5. Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận Apbằng luỹ thừap của các giá trị riêng của (kể cả bội).

Lời giải. Tương tự như bài tập trên, gọi1,ǫ1,ǫ2, . . . ,ǫn−1 là các căn bậc p khác nhau của 1ǫk =cos2kπp +isin2kπp . Ta có det(A−λI) = (λ1−λ)(λ2−λ). . .(λn−λ) det(A−λǫ1I) = (λ1−λǫ1)(λ2−λǫ1). . .(λn−λǫ1) ... det(A−λǫp−1I) = (λ1−λǫp−1)(λ2−λǫp−1). . .(λn−λǫp−1)

Nhân các vế của pphương trình trên với nhau ta được

det(AnλpI) = (λ1pλp)(λ2pλp). . .(λpnλp)

Thay λp bởiλtrong đẳng thức trên ta suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập 3.6. ChoA là một ma trận vuông cấpn với các phần tử trong một trường đóng đại sốK. Gọiλ λ1, 2, . . . ,λn là các giá trị riêng (kể cả bội) của ma trậnA. Chứng minh rằng

nếu f(X)là một đa thức với các hệ số trongKthì

detf(A) = f(λ1)f(λ2). . . fn).

Lời giải. Theo bài ra,

det(A−λI) = ni=1iλ). Giả sử f(λ) =a0 ∏s j=1(λ−µi), khi đó f(A) =a0 ∏s j=1(A−µiI). Vậy detf(A) =a0n sj=1 det(A−µjI) =a0n sj=1 ni=1imuj) =∏n i=1 " a0 sj=1 (λi−µj) # =∏n i=1 fi)

Bài tập 3.7. Chứng minh rằng nếu PA(λ) = ∏k

i=1

iλ)si là đa thức đặc trưng củaAthì đa thức đặc trưng củaf(A)với f là một đa thức làPf(A)(λ) = ∏k

i=1

2. Cấu trúc của tự đồng cấu 37

Lời giải. Áp dụng bài tập 3.6 với hàm sốg(x) = f(x)−λ, giả sử PA(λ) = det(A−λI) =

ni=1iλ).(kể cả bội), ta có detg(A) = ni=1 g(λi) hay Pf(A)(λ) =det(f(A)−λI) = ni=1 (f(λi)−λ)

Bài tập 3.8. Chứng minh rằng nếuλ λ1, 2, . . . ,λn là các giá trị riêng của ma trậnA

f(X)là một đa thức thì f(λ1), f(λ2), . . . ,f(λn) là các trị riêng của ma trậnf(A).

Lời giải. Là một hệ quả trực tiếp của bài tập 3.7.

Bài tập 3.9. Chứng minh rằng nếuλ λ1, 2, . . . ,λn là các giá trị riêng của ma trậnA

f(x) = h(x)g(x) là một phân thức hữu tỷ xác định khix = A (nghĩa làdeth(A) 6= 0), khi đó

det f(A) = f(λ1)f(λ2). . . fn)và f(λ1), f(λ2), . . . ,fn) là các giá trị riêng của ma trận

f(A).

Lời giải. Áp dụng đẳng thứcdet f(A) = det(g(A)

det(h(A) và sử dụng các kết quả của bài tập 3.6, 3.7, 3.8.

Bài tập 3.10. Chứng minh rằng nếu A,B là các ma trận vng cùng cấp thì các đa thức đặc trưng củaABBAtrùng nhau.

Lời giải. i) Nếu Alà ma trận khơng suy biến thì ABBAlà các ma trận đồng dạng nên có cùng đa thức đặc trưng.

ii) Nếu Asuy biến thì0 là một giá trị riêng củaA. Chọn mđủ lớn sao cho Ak = Ak1I

không suy biến với mọikm. (kể từmđủ lớn nào đó, 1

k,kmkhơng phải là giá trị riêng của A). Khi đó AkBBAk có cùng đa thức đặc trưng. Cho k → ∞ ta có điều phải chứng minh.

Bài tập 3.11. Cho P là một ma trận hoán vị. Chứng minh rằng Pn = I;PT = P−1. Tìm các giá trị riêng củaP.

Bài tập 3.12.

a) Có tồn tại hay khơng các ma trận vuông cùng cấpABsao choABBA= I?

Bài tập 3.13. Tìm trị riêng và véctơ riêng của ma trậnA= (aij)vớiaij =λij.

Bài tập 3.14. Chứng minh rằng mọi ma trận vuông A đều là tổng của hai ma trận khả nghịch.

Bài tập 3.15. Chứng minh rằng các trị riêng của ma trận phụ thuộc liên tục vào các phần tử của nó. Nói rõ hơn, cho trước ma trậnA= (aij). Khi đó với mọiǫ>0, tồn tạiδ>0sao cho nếu|aijbij|< δλlà một trị riêng củaA, thì tồn tại một trị riêngµ củaB = (bij) sao cho|λµ|<ǫ.

Bài tập 3.16. Tổng của các phần tử trên mỗi hàng của ma trận khả nghịch A bằng s.

Chứng minh rằng tổng của các phần tử trên mỗi hàng củaA−1bằng1/s.

Bài tập 3.17. Chứng minh rằng nếu hàng đầu tiên của ma trậnS−1AS có dạng(λ, 0, 0, . . . , 0), thì cột đầu tiên của ma trậnSlà một véctơ riêng của ma trậnA ứng với véctơ riêngλ.

Bài tập 3.18. Cho f(λ) =|λIA|, ở đóA là một ma trận vng cấpn. Chứng minh rằng

f′(λ) = ∑n

i=1|λiAi|, ở đó Ai là ma trận thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứivà cột thứ j.

Bài tập 3.19. Cho λ1, . . . ,λn là các trị riêng của ma trận A. Chứng minh rằng các trị riêng của ma trậnadjAlàΠi6=1, . . . ,Πi6=n .

Bài tập 3.20. Véctơ xđược gọi là đối xứng (phản đối xứng, tương ứng) nếu các tọa độ của nó thỏa mãn(xi= xni) (tương ứng (xi =−xni)). Cho A= (aij) là một ma trận đối xứng tâm (aij = anj,nj). Chứng minh rằng trong các véctơ riêng của Aứng với các trị riêng, tồn tại hoặc là một véctơ riêng đối xứng, hoặc là một véctơ riêng phản đối xứng.

Bài tập 3.21. Cho ma trận Avng, phức cấpn có các phần tửai,ni+1 = xicó thể khác

0, cịn các phần tử cịn lại bằng0. Tìm điều kiện của{x1, . . . ,xn}sao cho ma trận A chéo hóa được.

Bài tập 3.22 (Drazin, Haynsworth, 1962). a) Chứng minh rằng ma trậnAm véctơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với các trị riêng thực khi và chỉ khi tồn tại ma trận vuôngSxác định không âm có hạng bằngm sao choAS=SA∗.

b) Chứng minh rằng ma trậnAmvéctơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với các trị riêngλ thỏa mãn|λ|= 1khi và chỉ khi tồn tại ma trận vngSxác định khơng âm có hạng bằngm sao choASA∗=S.

2. Cấu trúc của tự đồng cấu 39

Bài tập 3.23. Cho A là một ma trận cấpn

f1(A) =A−(trA)I, fk+1( ) =A fk( )AA − 1

k+1tr(fk(A A) )I. Chứng minh rằng fn(A) =0.

Bài tập 3.24. Cho AB là các ma trận cấpn. Chứng minh rằng nếu trAm = trBmvới mọim=1, . . . ,n thì các trị riêng củaAB là trùng nhau.

Bài tập 3.25. ChoAlà một ma trận khả nghịch và đa thức đặc trưng của nó trùng với đa thức tối tiểu. Chứng minh rằng đa thức tối tiểu của A−1bằng p(0)−1λnp(λ−1).

Bài tập 3.26. Cho Π(x−λi)ni là đa thức tối tiểu của ma trận A. Chứng minh rằng đa

thức tối tiểu của ma trận A I

0 A

!

Một phần của tài liệu (TIỂU LUẬN) OLYMPIC SINH VIÊN môn đại số ĐỊNH THỨC, hệ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH, MA TRẬN và ÁNH xạ TUYẾN TÍNH, đa THỨC (Trang 35 - 41)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(63 trang)