Chương 3 Dạng chính tắc của ma trận và tốn tử tuyến tính
2 Cấu trúc của tự đồng cấu
2.2 Tự đồng cấu chéo hoá được
Định nghĩa 3.12. Tự đồng cấu f của không gian véctơV được gọi làchéo hố đượcnếu có một cơ sở củaV gồm tồn các véctơ riêng củaf. Nói cách khác f chéo hố được nếu ma trận của nó trong một cơ sở nào đó củaV là một ma trận chéo.
Gọi A là ma trận của f trong một cơ sở nào đó củaV. Từ định nghĩa ta suy ra f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại ma trậnC khả nghịch sao choC−1AClà một ma trận chéo.
Định nghĩa 3.13. Ma trậnAđồng dạng với một ma trận chéo được gọi là ma trận chéo hoá được.
Định lý 3.14. Giả sử tự đồng cấuf :V →V có tính chấtf2 = f. Khi đó f chéo hoá được.
Định lý 3.15 (Điều kiện cần và đủ cho sự chéo hoá). Tự đồng cấu f của khơng gian véctơn chiềuV chéo hố được nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
(i) Đa thức đặc trưng củaf có đủ nghiệm trongR:
Pf(X) = (−1)n(X−λ1)s1(X−λ2)s2. . .(X−λm)sm
(ii) rank(f −λiIdV) = n−si(vớii = 1, 2, . . . ,m), ở đây si là bội của λi xem như nghiệm của đa thức đặc trưng.
Chú ý 3.16. Trên trường số phức Chầu hết các tốn tử tuyến tính đều chéo hóa được, chỉ có các tốn tử có trị riêng bội là có thể khơng chéo hóa được, và các tốn tử như vậy sẽ tạo thành một tập hợp có độ đo0. Nói riêng, tất cả các tốn tử unita và Hermitian đều chéo
hóa được, và tồn tại một cơ sở trực giao bao gồm các véctơ riêng của nó. Điều này là do nếu
AW ⊂W thì AW⊥ ⊂W⊥.
Chú ý thêm rằng các véctơ riêng của tốn tử unita có độ dài bằng 1, vì|Ax|=|x|. Các trị riêng của tốn tử Hermitian là thực vì(Ax,x) = (x,Ax) = (Ax,x).
Định lý 3.17. ChoA là một ma trận trực giao, khi đó tồn tại một cơ sở trực giao sao cho ma trận củaAtrong cơ sở đó có dạng đường chéo khối với các khối±1, hoặc cosϕ −sinϕ
sinϕ cosϕ
! .