Chương 2 Khơng gian véctơ Ánh xạ tuyến tính
4 Hạng của ma trận
§4. HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa 2.26. ChoA là một ma trận cỡm×n. Hạng của ma trậnA là cấp cao nhất của các định thức con khác khơng của nó.
4.1 Các tính chất của hạng của ma trậnBổ đề 2.27. Bổ đề 2.27.
1. rank(A)≤min{m,n}. Nếu Alà ma trận vng cấpn thìAkhả nghịch khi và chỉ khi
rank(A) = n.
2. rank(A+B)≤rank(A) +rank(B).
Định lý 2.28. (Định lý Sylvester) ChoA,B là các ma trận cỡm×nvà n×p tương ứng. Khi đó
rank(AB) =rank(B)−dim(ImB∩KerA)
Nói riêng,
rank(A) +rank(B)−n ≤rank(AB) ≤min rank{ (A), rank(B)}
Lời giải. Chú ý rằng nếuAlà tốn tử tuyến tính trên khơng gian véctơ nchiều thì
n=dim ImA+dimKerA
và nếu Alà ma trận của tốn tử tuyến tính Athì
rank(A) =dim ImA.
Bây giờ xem A như là ánh xạ tuyến tính trên khơng gian véctơ conImB. Khi đó ảnh của nó làImABvà hạt nhân của nó là ImB∩KerA. Do đó ta có
dim ImAB+dim(ImB∩KerA) =dim Im .B
Cuối cùng, chú ý rằng bất đẳng thức cần chứng minh được suy ra trực tiếp từ đẳng thức trên và bất đẳng thức sau:
dim ImA+dimKer(ImB∩KerA)≤dim ImA+dimKerA=n.
Bổ đề 2.30. Hạng của ma trậnAbằng cỡ nhỏ nhất của các ma trậnB,C, sao cho A=BC.
Lời giải. Nếu A = BC và cỡ nhỏ nhất của các ma trận B,C bằngk. Khi đó ta cần chứng
minh
rank(A)≤min{rankB, rankC} ≤ k.
Định lý 2.31 (Flanders, 1962). Cho r ≤ m ≤ n và Mn,m là không gian các ma trận cỡ
n×m. Giả sửU là khơng gian véctơ con củaMn,m thỏa mãn hạng lớn nhất của các phần tử củaU bằngr. Khi đó dimU ≤nr. Bổ đề 2.32. Nếu B∈Uthì B= B11 B12 B21 0 ! ,ở đóB B21 12=0. Bổ đề 2.33. Nếu B,C ∈Uthì B C21 12+C21B12=0. 4.2 Bài tập
Bài tập 2.8. ChoAlà một ma trận vuông cấpn. CMR tồn tạik≤nsao chor(Ak) = (Ar m) với mọi m≥k. Nói riêng r(An) = (Ar n+1).
Bài tập 2.9. Giả sử các giá trị riêng của ma trậnAcó phần thực âm. Chứng minh rằng tồn tại ma trận xác định dươngC sao choATC+CA =−I.
Bài tập 2.10. Choaij =xi+yj. Chứng minh rằngrank(aij)n
1 ≤2.
Bài tập 2.11. Cho A là một ma trận vng có hạng bằng 1. Chứng minh rằng |A+I|=1+tr .A
Bài tập 2.12. Chứng minh rằng rank(A A∗ ) = rankA.
Bài tập 2.13. Cho A là một ma trận khả nghịch. Chứng minh rằng nếurank A B
C D
! =
rankA thìD =CA−1B.
Bài tập 2.14. Cho A A1, 2 là các ma trận có cùng cỡ, vàV1,V2 là khơng gian véctơ sinh bởi các hàng của A A1, 2tương ứng,W1,W2 là không gian véctơ sinh bởi các cột củaA A1, 2 tương ứng. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương.
4. Hạng của ma trận 29
2. V1∩V2 =0, 3. W1∩W2 =0.
Bài tập 2.15. Chứng minh rằng nếu A vàB là các ma trận có cùng cỡ vàBTA = 0 thì
rank(A+B) =rankA+rankB.
Bài tập 2.16. Cho A và Blà các ma trận vuông cấp lẻ. Chứng minh rằng nếuAB=0 thì ít nhất một trong hai ma trậnA+AT và B+BTlà suy biến.