Quỏ trỡnh quột của phần tử cấu trỳc trờn hỡnh ảnh nhị phõn

Ở vớ dụ trờn ta cỏc điểm ảnh màu trắng mang giỏ trị là 1 là cỏc điểm thuộc đối tƣợng đang cần quan tõm trờn ảnh, và phần màu đen mang giỏ trị 0 là phần nằm ngoài đối tƣợng. Khi thuật toỏn đƣợc thi hành thỡ phần tử cấu trỳc sẽ lần lƣợt quột qua cỏc điểm ảnh ngoài cựng(Đi theo đƣờng kẻ màu đỏ trờn hỡnh vẽ) của đối tƣợng

sau đú thay thế cỏc điểm ảnh trờn đối tƣợng này theo mẫu phần tử cấu trỳc. Từ đú ta ứng dụng để nối cỏc nột bi đứt gẫy của văn bản do quỏ trỡnh xuống cấp, với khoảng cỏch lớn nhất của cỏc nột bị đứt góy tầm hai điểm ảnh.

2.4. Phộp co nhị phõn (Erosion[2]).

Ta cũng xột tập hợp A và tập hợp B (Phần tử cấu trỳc) trong , thỡ phộp co nhị phõn của tập hợp A bởi phần tử cấu trỳc B đƣợc kớ hiệu A B và viết dƣới dạng

cụng thức nhƣ sau:

A B = z| B z A, (0.16)

Với Bz  b z b, B, (0.17)

Phộp co nhị phõn của tập hợp A bởi phần tử cấu trỳc B là tập hợp cỏc điểm z (z nằm ở tõm điểm của phần tử cấu trỳc B) sao cho Bz là tập con của A.

Xột hỡnh vẽ sau: Hỡnh 2.8: Phộp co nhị phõn trờn hai đối tƣợng d/8 d/4 d/2 d Hướng 3d/4 d/8 d/4 d d d d/8 d/8 3d/ 4 d/8 d/8 d/ 2 d/4 d/4 d/2

Hỡnh 2.8a bao gồm:

+ Tập hợp A cú hai cạnh bờn kớch thƣớc là d.

+ Phần tử cấu trỳc vuụng B kớch thƣớc d/4(Dấu chấm đen ở giữa là tõm

điểm).

+ Cuối cựng là kết quả của phộp co nhị phõn giữa tập hợp A và phần tử cấu trỳc B.

Phần cú màu nhạt hơn là kết quả sau khi thực hiện co hỡnh ảnh bởi phần tử cấu trỳc B. Hỡnh 2.8b gồm những thành phần tƣơng tự nhƣng với phần tử cấu trỳc B là hỡnh chữ nhật, và cho ta một kết quả khỏc.

Vậy phộp co nhị phõn của ảnh A với phần tử cấu trỳc B là quỹ tớch cỏc điểm đƣợc tạo ra bởi tõm điểm của phần tử cấu trỳc B khi tịnh tiến trờn hỡnh ảnh A.

Từ đú ta cú cụng thức: A B B b B A   , (0.18)

Phộp co nhị phõn và gión nhị phõn cú thể đƣợc với nhau qua phộp bự và phộp phản xạ của tập hợp, luận lý này sẽ đƣợc minh họa qua cụng thức sau:

(A B)c=Ac B  , (0.19) Ta chứng minh cụng thức trờn là đỳng: Từ cụng thức co nhị phõn ta cú: (A B)c = z| B z Ac, (0.20) Nếu tập hợp Bz là tập con tập hợp A thỡ ta cú, BzAc=, cho nờn, trong trƣờng hợp này ta sẽ cú:

(A B)c= |  c 

z

z B A   c, (0.21)

Vỡ phần bự của phộp gión nhị phõn giữa tập hợp A và tập hợp B luụn thỏa

món:

(A B)c= |  c 

z

z B A  

| z A B z B A                 Suy ra: (A B)c= Ac B  , (dpcm)

Nhƣ vậy, phần bự của phộp co nhị phõn giữa tập hợp A và phần tử cấu trỳc B là phộp gión nhị phõn giữa phần bự của tập hợp A với phản xạ của phần tử cấu trỳc

B.

Một ứng dụng quan trọng của phộp co nhị phõn là dựng để loại trừ cỏc chi tiết khụng cần thiết trờn hỡnh ảnh. Vớ dụ, trờn một hỡnh ảnh , ta cú cỏc đối tƣợng cú cỡ tƣơng ứng 1,4,6 và 11 điểm ảnh, Bõy giờ nếu muốn loại trừ cỏc đối tƣợng nhỏ khụng cần thiết trờn ảnh, chỉ để lại cỏc đối tƣợng cú kớch thƣớc lớn, nhƣ trong hỡnh vẽ đối tƣợng ta cần giữ lại là những đối tƣợng cú kớch thƣớc 11 điểm ảnh. Ta sẽ sử dung phần tử cấu trỳc cú kớch thƣớc 10x10 điểm ảnh để thực hiện phộp co nhị phõn ( Erosion ). Kết quả sẽ chỉ cũn lại 3 đối tƣợng cú kớch thƣớc 1 điểm ảnh(Hỡnh 2.9b). Sau đú để cỏc đối tƣợng trở lại kớch thƣớc ban đầu ta sử dụng phộp gión nhị phõn( Dilation ) với phần tử cấu trỳc cú kớch cỡ tƣơng ứng (Hỡnh 2.9c).

Hỡnh 2.9: Quỏ trỡnh lọc đối tƣợng sử dụng phộp co nhị phõn và phộp gión nhị phõn.

)

b

)

Quỏ trỡnh thực hiện cú thể đƣợc minh họa rừ ràng qua hỡnh vẽ sau:

Hỡnh 2.10: Ứng dụng của phộp co ảnh dƣới dạng số nhị phõn.

a) Hỡnh ảnh ban đầu; b) Hỡnh ảnh quỏ trỡnh co nhị phõn trờn đối tƣợng với phần tử cấu trỳc 9x9, phần tử đƣợc tụ đậm màu sẽ cú giỏ trị 1 sau quỏ trỡnh co nhị phõn; c) Phúng to đối tƣợng và giỏ trị của đối tƣợng sau quỏ trỡnh co nhị phõn với phần tử cấu trỳc 9x9.

2.5. Một số tớnh chất của phộp toỏn hỡnh thỏi

Để thuận tiện trong việc cài đặt ta cú thể phõn tớch và đơn giản húa cỏc mẫu phức tạp, dƣới đõy là một số tớnh chất cơ sở của phộp toỏn hỡnh thỏi.

2.5.1. Cỏc mệnh đề -Mệnh đề 1: Tớnh chất gia tăng -Mệnh đề 1: Tớnh chất gia tăng a) X X' X B  X' B, B X B X'B, B b) BB'X B  X' B, X X B XB', X a) b) c)

-Mệnh đề 2: Tớnh chất phõn phối với phộp 

a) X(BB)(XB)(XB),

b) X BB=(X B)(X B), - Mệnh đề 3: Tớnh chất phõn phối với phộp giao (X Y ) B=(X B) (Y B), - Mệnh đề 4: Tớnh chất kết hợp

a) (XB)BX(BB),

b) (X B) B=X (BB),

2.5.2. Định lý

Giả sử, X là một đối tƣợng trong ảnh, B là phần tử cấu trỳc, khi đú X sẽ bị chặn trờn và chặn dƣới bởi tập close của X theo B.

Ta cú,(XB) B  X (X B) B, Chứng minh, Ta cú:     x X Bx X B, (Vỡ x x X X B B    ) ( ) x X B

   B(Theo định nghĩa của phộp co),

(X B)

  B  X ,

(0.22)

Mặt khỏc,  y (X B) B,

Suy ra:  x X Bsao cho, yBx ( Vỡ (X B) B= x

x X B B  ) , x B X y X     Suy ra: X (X B)B, (0.23)

Từ (1.22) và (1.23) ta cú: (XB) B X (X B)B, 2.5.3. Hệ quả Tớnh Bất biến: a) ((XB) B)B=(XB), b) ((X B)B) B=(X B), Thật vậy, từ định lý trờn ta cú: X (XB) B,

Do đú, theo tớnh chất gia tăng ta cú:

(( ) X B X B     B)B, (0.24) Mặt khỏc cũng theo định lý trờn ta cú: (X B)B  X X ((X B)B) B  X B, (0.25) Từ (1.24) và (1.25) ta cú: ((XB) B)B=XB. Và ((X B)B) B=X B. 2.6. Phộp mở ảnh (Opening[2]) và phộp đúng ảnh (Closing[2]).

Ở cỏc chủ đề trờn đó nờu một số khỏi niệm cũng nhƣ phƣơng thức gión nhị phõn và co nhị phõn cỏc đối tƣợng trờn một ảnh. Sau đõy là hai khỏi niệm cũng rất quan trọng trong phộp toỏn hỡnh thỏi, đú là phộp mở ảnh (Opening) và phộp đúng ảnh (Closing). Phộp mở ảnh và phộp đúng ảnh là hai phộp toỏn đƣợc mở rộng từ hai phộp toỏn hỡnh thỏi cơ bản là phộp co nhị phõn và phộp gión nhị phõn. Phộp mở ảnh thƣờng làm trơn biờn của đối tƣợng trong ảnh, nhƣ loại bỏ những phần nhụ ra cú kớch thƣớc nhỏ. Phộp đúng ảnh cũng tƣơng tự làm trơn biờn của đối tƣợng trong ảnh

nhƣng ngƣợc với phộp mở. Phộp toỏn này thƣờng làm hợp nhất cỏc đoạn gẫy hẹp, loại bỏ cỏc lỗ hổng nhỏ và làm đầy cỏc khe hở trong chu tuyến.

2.6.1. Phộp mở ảnh.

Bài toỏn đặt ra là làm thể nào để cú thể làm trơn biờn của đối tƣợng loại bỏ những điểm nhụ thừa, cú kớch thƣớc nhỏ khụng cần thiết. Từ đú, ta đặt ra giải phỏp nhƣ sau: sử dụng phộp co nhị phõn, lƣợc bỏ cỏc điểm ảnh bờn gần phớa ngoài bề mặt đối tƣợng, chỉ để lại chỉ giữ lại cỏc phần tử cơ bản cấu hỡnh lờn hỡnh dạng của đối tƣợng. Từ cỏc phần tử sau khi co nhị phõn ta sẽ sử dụng phộp gión nhị phõn để tỏc động lờn đối tƣợng. Cuối cựng ta sẽ cú đối tƣợng mới từ cỏc phần tử cơ bản đú, đối tƣợng này sẽ đỏp ứng đƣợc yờu cầu bài toỏn đặt ra.

Nhƣ vậy, để thực hiện phộp đúng ảnh ta phải trải qua hai giai đoạn là co ảnh và gión ảnh. Đầu tiờn sử dụng phộp co và phần tử cấu trỳc cú kớch thƣớc tƣơng ứng để tỏc động lờn đối tƣợng trong ảnh đỳng theo yờu cầu. Tƣơng tự với phộp gión nhị phõn ta sẽ thu đƣợc kết quả.

Với tập hợp A là đối tƣợng trong hỡnh ảnh và B là phần tử cấu trỳc, ( ) là ký

hiệu của phộp mở ảnh giữa tập hợp A và phần tử cấu trỳc B, phộp mở ảnh đƣợc xỏc định bởi cụng thức:

Hỡnh 2.11: Quỏ trỡnh thực hiệp phộp mở ảnh.

Trờn phƣơng diện ý nghĩa hỡnh học, giả sử ta cú phần tử cấu trỳc B dạng một

hỡnh trũn, khi đú biờn của tập hợp A B gồm quỹ tớch cỏc điểm thuộc biờn của phần tử cấu trỳc B, khi B tịnh tiến trờn đƣờng biờn tập hợp A, và cỏch biờn của tập hợp A khoảng cỏch xa nhất (Hỡnh 2.12), hỡnh 2.12a là đối tƣợng ban đầu, hỡnh 2.12c là đối tƣợng sau khi thực hiện phộp mở ảnh. Tất cả cỏc hƣớng gúc ngoài đều đƣợc làm trơn, trong khi những gúc hƣớng vào trong đều khụng bị ảnh hƣởng. Những chỗ nhọn nhỏ thừa nhụ ra sẽ bị lƣợc bỏ.

Từ luận điểm này ta cú cụng thức: x x B A A B B   , (0.26)

Hỡnh 2.12: Phộp mở ảnh trờn phƣơng diện ý nghĩa hỡnh học.

)

a

)

Khu vực tụ đậm là đối tƣợng mới sau khi thực hiện phộp toỏn, khu vực trong viền nột đứt là đối tƣợng cũ trƣớc khi thực hiện phộp toỏn.

2.6.2. Phộp đúng ảnh.

Tƣơng tự nhƣ phộp mở ảnh, nhƣng quỏ trỡnh thực hiện phộp đúng ảnh cú xu hƣớng ngƣợc lại, với mục đớch, làm đầy những chỗ thiếu hụt của đối tƣợng trờn ảnh dựa vào cỏc phần tử cơ bản ban đầu.

Với tập hợp A là đối tƣợng trong ảnh, B là phần tử cấu trỳc.   là ký hiệu phộp đúng ảnh. Khi đú phộp đúng ảnh của tập hợp A bởi Phần tử cấu trỳc B, kớ hiệu là (A B ), xỏc định bởi:

(A B )=(AB) B, (1.28)

Cho một hỡnh ảnh nhị phõn, với đối tƣợng trong ảnh cú những khu vực bị đứt góy, khụng liền mạch. éể khắc phục hiện tƣợng này ta ỏp dụng phộp đúng ảnh, với

A là đối tƣợng ban đầu, B là phần tử cấu trỳc cú kớch thƣớc 3x3 (Hỡnh 2.13a). Khi

ỏp dụng phộp đúng ảnh, đầu tiờn đối tƣợng này sẽ đƣợc mở rộng bằng phộp gión nhị phõn theo phần tử cấu trỳc B. Lỳc này những khu vực thiếu hụt sẽ đƣợc bự lờn, và khu vực đứt sẽ đƣợc nối lại (Hỡnh 2.13b). Sau đú ỏp dụng phộp co nhị phõn để đƣa đối tƣợng về trạng thỏi ban đầu (Hỡnh 2.13c).

Hỡnh 2.13: Quỏ trỡnh thực hiện phộp đúng ảnh.

Trờn phƣơng diện ý nghĩa hỡnh học tƣơng tự nhƣ phộp mở ảnh, ngoại trừ việc phần tử cấu trỳc trong phộp đúng ảnh này cú cỏch thức thực hiện đối nghịch với phộp mở ảnh.

Cho một đối tƣợng trong ảnh tƣơng tự nhƣ đối tƣợng ở (hỡnh 2.12). Khi thực hiện phộp đúng ảnh thỡ hỡnh trũn(phần tử cấu trỳc) cú xu hƣớng quột bờn ngoài đƣờng biờn của đối tƣợng (Hỡnh 2.14).

AB A1 B ) a ) b ) c

Hỡnh 2.14: Minh họa phộp đúng ảnh trờn phƣơng diện ý nghĩa hỡnh học. Quan sỏt trờn hỡnh vẽ ta cú thể thấy cỏc gúc hƣớng vào của đối tƣợng đƣợc Quan sỏt trờn hỡnh vẽ ta cú thể thấy cỏc gúc hƣớng vào của đối tƣợng đƣợc làm trơn, cỏc gúc hƣớng ra thỡ khụng cú tỏc động gỡ. Độ lừm do phần tử cấu trỳc tạo ra ở bờn trỏi đối tƣợng nhỏ hơn bờn phải, vỡ thế kớch thƣớc phần tử cấu trỳc cũng rất quan trọng trong độ trơn của gúc.

Một điểm w đƣợc coi là một phần tử của (A B ) khi và chỉ khiBz  A , với

mọi wBzkhi Bz tịnh tiến.

Nhƣ trong quan hệ giữa phộp gión nhị phõn và phộp co nhị phõn. Phần bự của phộp đúng giữa hai tập hợp là phộp mở giữa phộp bự và phộp phản xạ của hai tập hợp; tức là: (A • B)c = (Ac ), (1.29) 2.6.3. Cỏc tớnh chất của Phộp mở ảnh và phộp đúng ảnh. *Tớnh chất 1: Đối với phộp mở ảnh a) A B A, c) Nếu CD thỡ C BD B, d) (A B) B A B, ) a ) b c) c

*Tớnh chất 2: Đối với phộp đúng ảnh a) A A B,

b) Nếu CD thỡ C B  D B, c) (A B )  B A B,

d) A B Khi và chỉ khi Bz  , A

Cỏc tớnh chất trờn giải thớch cỏc kết quả nhận đƣợc khi phộp toỏn mở và đúng ảnh đƣợc sử dụng để xõy dựng lọc phộp toỏn hỡnh thỏi. Vớ dụ, xột cấu trỳc lọc của phộp mở ảnh. Khi đú tớnh chất (1a) chỉ ra kết quả sẽ là tập hợp con của tập hợp ban đầu. Tớnh chất (1b) nghĩa là tớnh đơn điệu đƣợc bảo toàn. Tớnh chất 1c cho thấy phộp toỏn mở ảnh chỉ đƣợc sử dụng khụng hơn 1 lần, những lần sau kết quả vẫn giữ nguyờn, tƣơng tự cỏc tớnh chất cũng đƣợc suy ra đối với phộp đúng ảnh.

2.7. Phộp Biến đổi trỳng hoặc trƣợt (Hit-or-Miss)

Phộp biến đổi “trỳng hoặc trƣợt” đƣợc đƣa ra bởi Serra [6] và là một cụng cụ cơ bản để ứng dụng vào phỏt hiện hỡnh dạng của đối tƣợng.

Cho phần tử cấu trỳc B với B=(B1,B2), trong đú B1 là tập hợp đƣợc tạo từ cỏc phần tử của B đƣợc liờn kết với đối tƣợng (B1A) , và B2 là tập hợp đƣợc tạo từ cỏc phần tử của B với bục đớch liờn kết tới phần bự của đối tƣợng (B2 c

A ). Hay núi cỏch khỏc, nếu cho B1 là phần tử cấu trỳc đƣợc ỏp dụng lờn đối tƣợng, thỡ B2 sẽ là phần tử cấu trỳc đƣợc cấu tạo từ cỏc phần tử nằm trờn phần bự của phần tử cấu trỳc B1 . Với điều kiện này, tựy thuộc vào cỏch chọn phần tử cấu trỳc B1 và B2mà chỳng ta sẽ cú nhiều đối tƣợng mới khỏc nhau với cỏc cặp phần tử cấu trỳc tƣơng ứng. Chớnh vỡ vậy, “trỳng hoặc trƣợt” là phộp biến đổi cơ sở để xõy dựng cỏc thuật toỏn nhƣ: Thuật toỏn bao lồi, làm mảnh …

Với As*B là ký hiệu của “trỳng hoặc trƣợt” giữa tập hợp A và phần tử cấu

trỳc B. Khi đú trỳng hoặc trƣợt đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

A s*B=(A B1)( Ac B2), (1.30)

Lƣu ý, phộp co nhị phõn của phần bự của A và tập hợp B2 là một trƣờng hợp đặc biệt của trỳng hoặc trƣợt bởi vỡ phần tử cấu trỳc lờn tập hợp B2 là rỗng.

Mặt khỏc ( Ac B2) = ( A )c nờn cụng thức (1.30) cú thể đƣợc viết lại nhƣ sau:

A s*B=(A B1) ( A )c, (1.31)

Suy ra: A s*B=(A B1) - ( A ), (1.32)

Hỡnh 2.15: Minh họa phộp biến đổi trỳng hoặc trƣợt

A là đối tƣợng trong ảnh (tập hợp cỏc phần cú nhón là 1 và đƣợc bụi đậm); Ac Bự của A trong ảnh; B1, B2 Phần tử cấu trỳc; A1: Kết quả của phộp co nhị phõn giữa phần tử cấu trỳc B1 và A; A2: Kết quả của phộp gión nhị phõn giữa phần tử cấu trỳc B2 với Phần bự của A.

Ứng dụng chủ yếu của hỡnh thỏi học đối với ảnh nhị phõn là phõn tớch cỏc thành phần của ảnh, chớnh vỡ nú rất cú hiệu quả trong biểu diễn và mụ tả hỡnh dạng đối tƣợng cho nờn phần này sẽ tập trung đƣa ra cỏc thuật toỏn về hỡnh thỏi[4] để trớch đƣờng biờn, cỏc thành phần liờn thụng, đƣờng bao lồi, hay tỡm xƣơng làm mảnh.

2.8.1. Trớch biờn ( Boundary Extraction)

Với ảnh đầu vào là ảnh xỏm, thỡ ta cú thể xử lý phõn đoạn ảnh bằng cỏc ngƣỡng của ảnh. Trong hỡnh ảnh mỗi điểm ảnh cú giỏ trị xỏm riờng, giỏ trị này đƣợc giới hạn trong khoảng 0 tới 255. Vỡ vậy ta cú thể thụng qua lƣợc đồ màu để lựa chọn cỏc mức xỏm thớch hợp. Khi chuyển sang ảnh nhị phõn cỏc điểm ảnh cú giỏ trị lơn hơn ngƣỡng này đều đƣợc gỏn là 255 hoặc nếu khụng thỡ sẽ đƣợc gỏn là 0. ngƣợc lại những điểm ảnh nào cú giỏ trị nằm trong ngƣỡng đều đƣợc đặt là 1, những điểm ảnh này là điểm ảnh cấu thành đối tƣợng trong ảnh nhị phõn.

Trong ảnh nhị phõn, đối tƣợng đƣợc cấu thành bởi cỏc điểm ảnh liờn thụng cú giỏ trị là 1, xột một vớ dụở hỡnh 2.16 cú 9 điểm ảnh dọc, 9 điểm ảnh ngang. Những điểm ảnh tạo nờn biờn là những điểm ảnh thuộc đối tƣợng đú nhƣng trong 8 điểm lõn cận phải cú ớt nhất một điểm ảnh cú giỏ trị là 0.

Biờn của tập hợp A phụ thuộc vào kớch thƣớc của phần tử cấu trỳc. Độ dày của