Momen tạo ra từ MRF trong khe lƣu chất tác dụng lên một mặt của đ a khi đó đƣợc tính theo cơng thức:
∫ ∫ (2-4)
Đối với phanh dạng đ a, kích thƣớc khe (d) là rất nhỏ so với án kính của đ a và ứng suất cũng rất nhỏ so với ứng suất . Vì vậy, phƣơng trình (2-4) có thể viết lại nhƣ sau:
∫ (2-5)
Để đơn giản hóa việc phân tích momen của MRB dạng đ a, các giả thiết sau đƣợc sử dụng:
20
Dòng lƣu chất không ị nén và chuyển động ổn định theo lớp.
Bỏ qua tác dụng của trọng lực và lực ly tâm đối với các phần tử lƣu chất chuyển động.
Khơng có vận tốc hƣớng tâm và hƣớng kính.
Chất lƣu đƣợc xem nhƣ tiếp xúc hoàn toàn với đ a và khơng ị trƣợt.
Vì khe lƣu chất là rất nhỏ, nên dịng lƣu chất đƣợc xem nhƣ điền đầy hoàn toàn trong phanhvà ỏ qua chuyển động dọc trục (hệ số qz).
Sử dụng các giả thiết trên, tốc độ trƣợt của lƣu chất trong khe có thể đƣợc tính nhƣ
sau:
(2-6)
Trong đó:Wvận tốc góc của đ a.
Mơ hình Bingham của MRF theo hƣớng qz đƣợc iểu diễn tốn học ởi phƣơng trình:
(2-7)
Trong đó:
ứng suất trƣợt tác dụng lên chất lƣu là ứng suất chảy dẻo của MRF
µ là độ nhớt sau chảy dẻo của lƣu chất.
, µ là thuộc tính của chất lƣu và giá trị của chúng phụ thuộc vào mật độ dòng từ trƣờng tác dụng vào lƣu chất (BMR), và đƣợc xác định theo cơng thức (2-2).
Thế phƣơng trình (2-6) và (2-7) vào phƣơng trình (2-5) ta đƣợc:
∫ ∫ (2-8)
Thơng thƣờng, mật độ từ trƣờng trong khe MR là hàm của án kính r, vì vậy giá trị của , µcủa MRF trong khe cũng là hàm của r và phƣơng trình (2-8) phải đƣợc tính theo dạng tích phân. Để dễ dàng trong việc tính tốn, giả sử mật độ từ trƣờng trong khe lƣu chất là hằng số và giá trị trung ình của mật độ từ trƣờng đƣợc sử dụng. Khi
21
(2-9)
Cần lƣu ý rằng, vì mật độ từ trƣờng ngang qua khe lƣu chất ở mặt trụ ngoài của đ a phanh lƣu chất là ằng 0 hoặc rất nhỏ do vậy ứng suất chảy dẻo của MRF ên trong
phanh là rất nhỏ nên có thể ỏ qua đƣợc. Xem xét các yếu tố trên, lực ma sát tác dụng lên mặt trụ ngồi của đ a đƣợc tính theo cơng thức:
(2-10)
Trong đó ứng suất tác dụng lên thành của mặt trụ ngoài của đ a, K0độ sệt tại thời
điểm từ trƣờng tác động lên lƣu chất ằng 0, tdlà ề dày của đ a, dochiều rộng khe lƣu chất.
Moment sinh ra do ma sát giữa phốt và trục đƣợc xác định theo cơng thức:
(2-11)
Trong đó:
: Moment sinh ra do ma sát của phớt lò xo với trục (Oz –in)
: Bán kính trục lắp phớt (inch) Ω: Tốc độ quay của trục (vòng/phút)
1 Oz-in = 0.00706155183333 Nm 1 inch= 0.0254 m
Từ phƣơng trình (2-9), (2-10) và (2-11) mơ men phanh của phanh đ a một cuộn dây quấn ở vỏ ên, 2 cuộn dây quấn ở vỏ ên và phanh đ a kép lần lƣợt đƣợc xác định nhƣ sau:
22