- Save as type ThĨ loại tập tin
Dùng chuột Kéo sang
6.4.1 Tớnh toỏn (Calculus):
ó Tính đạo hμm (diff):
ắ diff(S): Đạo hμm biểu thức symbolic S với biến của đạo hμm tự dọ
ắ diff(S,’v’) hay diff(S,sym(‘v)): Đạo hμm biểu thức symbolic S với biến lấy đạo hm lμ biến symbolic v.
ắ diff(S,n) : Đạo hμm cấp n biểu thức S, n lμ số nguyên d−ơng. Ví dụ:
>>syms x t >> y = sin(x^2); >>z = diff(y); z = 2*cos(x^2)*x
pretty(z)% hiĨn thị dạng quen thuộc 2.cos2x.x 0 2 4 6 8 10 12 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
>>y = diff(t^6,6) % đạo hμm bậc 6 của hμm t6. Y = 720
Ví dụ:
>>syms u v
>>y = u^2*v - u*v^3;
>> y2u = diff(y,u,2) %dao ham cap 2 theo u >> y3u = diff(y,v,3) %dao ham cap 3 theo v y2u = 2*v
y3u = -6*u
• Tính tích phân( int):
ắ int(S): Tớch phõn khụng xỏc định cđa biĨn thức symbolic S với biến tự do mặc định. Muốn biết biến mặc định ta dựng lệnh fỡndsym.
ắ int(S,v): Tớch phõn khụng xỏc định của biểu thức symbolic S với biến tích phõn v.
ắ int(S,a,b): Tích phõn khụng xỏc định của biểu thức symbolic S với biến tự do vμ cận lấy tích phân từ [a,b].
ắ int(S,v,a,b): Tớch phõn khụng xỏc định của biểu thức symbolic S với biến tích phân v vμ cận lấy tích phân từ [a,b].
Vidụ: >>syms x t z alpha >>int(-2*x/(1+x^2)^2) ans = 1/(1+x^2) >>int(x/(1+z^2),z) ans = x*atan(z) >>int(x*log(1+x),0,1) ans = 1/4 >>int(-2*x/(1+x^2)^2) ans = 1/(1+x^2) >> int([exp(t),exp(alpha*t)])
ans = [ exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)]
Vídơ: Tính tích phân I = ∫−∞∞
− dx e (sx)2
>>Syms x s real >>f = exp(-(s*x)^2);
>>I = int(f,x,-inf,inf)% inf lμ vô cùng lớn I =
Signum(s)/s*pi^(1/2)
Hμm signum chính lμ hμm sign (hμm dấu), nghĩa lμ sign(s) cho ta: sign(s) = 1 khi s>0; sign(s) = 0 khi s =0; sign(s) = -1 khi s<0;
• Tính giới hạn(limit):
ắ limit(F, x, a) : Tỡm giới hạn của biểu thức F khi x→ạ
ắ limit(F, a) : Tỡm giới hạn của biểu thức F với biến độc lập.
ắ limit(F) : Tỡm giới hạn của biểu thức F khi a = 0.
ắ limit(F, x, a, ‘right’) hc Lim it(F, x, a, ‘left’) : Tỡm giới hạn phải hoặc bờn trỏi Vớ dụ: >>syms x a t h >>limit(sin(x)/x) ans = 1 >>limit(1/x,x,0,’right’) ans = inf >>limit(1/x,x,0,’left’) ans = -inf >>limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) ans = cos(x) >>v = [(1+a/x)^x,exp(-x)]; >>limit(v,x,inf,’left’) ans = [exp(a),0]
• Tính tỉng cđa dãy số lμ các biến symbolic(symsum):
ắ symsum(S): Tỉng cđa biĨu thức symbolic theo biến symbolic k , k đ−ỵc xỏc định bằng lệnh findsym từ 0→k -1.
ắ symsum(S,v): Tỉng cđa biĨu thức symbolic S theo biến symbolic v,v đ−ợc xỏc định từ 0→k - 1.
ắ symsum(S,a,b), symsum(S,v,a,b): Tỉng cđa biểu thức symbolic S theo symbolic v, v đ−ợc xỏc định từ v = s đến v = b. Ví dụ: >>syms k n x >>symsum(k^2) ans = 1/3*k^3-1/2*k^2+1/6*k >>symsum(k) ans = 1/2*k^2-1/2*k >>symsum(sin(k*pi)/k,0,n) ans = -1/2*sin(k*(n+1))/k+1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1)*cos(k*(n+1))- 1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1) >>symsum(k^2,0,10) ans = 385 >>symsum(x^k/sym(‘k!’), k, 0,inf) ans = exp(x) Vi dụ: Cho tỉng cđa 2 dãy
S1 = 1 + 2 + 2 + 3 1 2 1 …. S2 = 1 + x + x2 +….. >>syms x k
>>s1 = symsum(1/k^2,1,inf) %inf lμ vô cùng. s1 = 1/6*pi^2
>>s2 = symsum(x^k,k,0,inf)
• Tìm hμm ng−ỵc (finverse):
ắ finverse(f): Tìm hμm ng−ỵc cđa f. f lμ hμm symbolic với một biến x
ắ finverse(f,u): Tìm hμm ng−ỵc cđa f. f lμ hμm symbolic với một biến ụ Ví dụ: >>syms u v x >>finverse(1/tan(x)) ans = atan(1/x) >>finverse(exp(u-2*v),u) ans = 2*v+log(u)
s2 = -1/(x-1)
• Khai triển taylor(taylor):
ắ taylor(f)
ắ taylor(f,n,v): Cho ta xấp xỉ đa thức theo Maclaurin bậc (n-1) cđa biĨu thức, hμm khai triển symbolic f vμ v lμ biến độc lập trong biĨu thức. v có thĨ lμ một xâu (string) hay lμ biến symbolic.
ắ taylor(f,n,v,a): Khai triĨn Taylor cđa biĨu thức hay hμm symbolic f quanh điĨm ạ Đối số có thể lμ giỏ trị số, một hμm symbolic hay một xâu……Nếu khụng cho gớa trị n thỡ mặc nhiờn trong Matlab n = 6.
Vi dơ: Khai triĨn Taylor cđa hμm f = exsin(x) quanh điĨm x0 = 2 (Nếu x0 = 0 ta có khai triển Maclaurin).
>>syms x >> f = exp(x*sin(x));
>>t = taylor(f,4,2)% khai triĨn 4 số hạng đầu tiờn khỏc o v xung quanh điĨm x0 = 2 Kết quả:
exp(2*sin(2))+exp(2*sin(2))*(2*cos(2)+sin(2))*(x-2)+exp(2*sin(2))*(-
sin(2)+cos(2)+2*cos(2)^2+2*cos(2)*sin(2)+1/2*sin(2)^2)*(x-2)^2+exp(2*sin(2))*(- 1/3*cos(2)-1/2*sin(2)-cos(2)*sin(2)+2*cos(2)^2-
sin(2)^2+4/3*cos(2)^3+2*cos(2)^2*sin(2)+cos(2)*sin(2)^2+1/6*sin(2)^3)*(x-2)^3
Bây giờ ta có thĨ vẽ hμm đã cho vμ hμm đà khai triển bằng chuỗi Taylor quanh điĨm x0 = 2 vμ cho nhận xét.
>>syms x
>> f = exp(x*sin(x)); >>t = taylor(f,10,2); >>xd= 1:0.05:3;
>>yd = subs(f,x,xd);% thay thế biễn x bằng xd >>ezplot(t,[1,3])% vẽ hμm symbolic
>> hold on >>plot(xd,yd,'r-')