Chương 2 Mơ hình hồi quy hai biến
2.7. Trình bày kết quả hồi quy
Chúng ta chỉ có thể thực hiện bằng cách tính tay trong một số trường hợp đơn giản.Nói
chung chúng ta phải thực hiện các bước tính tốn nhờ vào các phần mềm hỗ trợ như:
Eviews (Econometrics Views), Rats (Regression Analysis Tempral Series).
a/ Trường hợp đơn giản, khi không dùng phần mềm ứng dụng để chạy hồi quy, cần trình bày các kết quả tính:
- Các hệ số hồi quy và hồi quy ước lượng SRF:
𝑏̂ =𝑋𝑌̅̅̅̅−𝑋̅𝑌̅𝑆2(𝑋) ; 𝑎̂ = 𝑌̅ − 𝑏̂. 𝑋̅; 𝑌̂ = 𝑎̂ + 𝑏̂. 𝑋 - Các tổng bình phương các độ lệch: TSS, ESS, RSS
Bộ mơn Tốn – Thống kê Bài giảng Kinh tếlượng
- Hệ số 𝑅2, 𝜎̂: 𝑅2 = 𝐸𝑆𝑆𝑇𝑆𝑆= 𝑆𝑆22(𝑋)(𝑋). 𝑏̂; 𝜎̂ = √𝑛−2𝑅𝑆𝑆
- Sai số chuẩn của các hệ số hồi quy (nếu cần): 𝑠𝑒̂(𝑎̂), 𝑠𝑒̂(𝑏̂), … 𝑠𝑒̂(𝑎̂) = 𝑆(𝑋)𝜎̂ . √𝑋̅̅̅̅𝑛2; 𝑠𝑒̂(𝑏̂) =𝑆(𝑋)√𝑛𝜎̂
- Các g.trị của thống kê t và F (nếu cần): 𝑡 =𝑠𝑒̂(𝑏̂)𝑏̂ ; 𝐹 =𝑅21−𝑅.(𝑛−2)2
Chẳng hạn trong ví dụ trên, ta có kết quả hồi được tính tốn trực tiếp và trình bày như sau: * 𝑏̂ = 0,578182; 𝑎̂ = 20,50909; 𝑌̂ = 20,50909 + 0,578182. 𝑋; * 𝑅𝑆𝑆 = 257,8909; 𝑇𝑆𝑆 = 11289,60013; 𝐸𝑆𝑆 = 11031,70923; * 𝑅2 = 𝐸𝑆𝑆𝑇𝑆𝑆= 0,977157; 𝜎̂ = √𝑛−2𝑅𝑆𝑆 = 5,677708; * 𝑠𝑒̂(𝑎̂) = 5,608465; 𝑠𝑒̂(𝑏̂) = 0,031255; * 𝑡 =𝑠𝑒̂(𝑏̂)𝑏̂ = 3,656810; 𝐹 =𝑅21−𝑅.(𝑛−2)2 = 342,2132
b/ Với sự trợ giúp của Eviews, các kết quả của việc phân tích hồi quy được chỉ ra các thông tin trong bảng dưới đây:
Dependent Variable: ... Method: Least Squares Date: ....... Time: ....... Sample: ............
Included observations: .........
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ... ................. ................... ................... ................ ... ................ ................... ................... ................ R-squared ................. Mean dependent var ................ Adjusted R-squared ................. S.D. dependent var ................ S.E. of regression ................. Akaike info criterion ................ Sum squared resid ................. Schwarz criterion ................ Log likelihood ................. Hannan-Quinn criter. ................ F-statistic ................. Durbin-Watson stat ................ Prob(F-statistic) .................
Bộ mơn Tốn – Thống kê Bài giảng Kinh tếlượng 40 60 80 100 120 140 160 180 40 80 120 160 200 240 280 X Y Chú giải:
* Dependent Variable: Biến phụ thuộc
* Method: Least Squares: Phương pháp (ước lượng): Phương pháp bình phương bé nhất
* Date:..... Time:...: ngày...giờ (thực hiện) * Sample:...: Mẫu sử dụng hay phạm vi quan sát được sử dụng * Included observations: ...: Tổng số quan sát trong mẫu thực hiện * Cột Variable : cho biết danh sách các biến giải thích trong mơ hình. Lưu ý là C dùng để
chỉ hằng số trong hàm hồi quy tương ứng với hằng số a, cũng được coi là một biến (biến hằng).
* Cột Coefficient: Cho biết giá trị của các hệ số hồi quy ước lượng 𝑎̂ 𝑣à 𝑏̂tương ứng với C và X * Cột Std. Error: cho biết giá trị của các sai số chuẩn: 𝑠𝑒̂(𝑎̂), 𝑠𝑒̂(𝑏̂) * Cột t-Statistic: cho biết giá trị của thống kê t ứng với giả thuyết tham số hồi quy = 0
(lấy cột Coefficient chia cho cột Std. Error) * Cột Prob. : cho biết giá trị p – value của thống kê t tương ứng.
* R-squared: hệ sốxác định R2; Mean dependent var.: trung bình mẫu của biến phụ thuộc (𝑌̅) * Adjusted R-squared : Hệ số xác định điều chỉnh 𝑅̅2 * Sum Squared resid : RSS (tổng bình phương các phần dư) * Log likelihood : Ln hàm hợp lý * Durbin – Watson stat: Thống kê Durbin – Watson
* S.D. dependent var.:Độ lệch mẫu điều chỉnh của biến phụ thuộc Y (S’(Y))
* S.E. of regression: sai số chuẩn của hàm hồi quy: 𝜎̂, * Akaike info criterion: tiêu chuẩn Akaike * Schwarz criterion: Tiêu chuẩn Schwarz * F- statistic: thống kê F
* Hannan-Quinn criterion: Tiêu chuẩn Hannan-Quinn * Prob(F- statistic): Xác suất P(F > F- statistic) (p-value của thống kê F)
Chẳng hạn, với số liệu trong ví dụ trên về Tiêu dùng Y (USD) và thu nhập X (USD) của 10 hộ, Eviews cung cấp biểu đồ phân tán (hình bên) của Y theo X. Các điểm phân tán rất gần xung quanh một đường thẳng. Đây là cơ sở trực quan để ta nhận dạng hồi quy PRF của Y theo X là dạng bậc nhất
𝑌̂ = 𝑎 + 𝑏. 𝑋 và kết quả hồi quy được cho bởi
Eviews như sau và chúng ta có thể thấy được sự trùng hợp kết quả giữa hai cách: tính tốn trực tiếp và sử dụng phần mềm
Bộ mơn Tốn – Thống kê Bài giảng Kinh tếlượng 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000 2,200 2,400 1,200 1,600 2,000 2,400 2,800 3,200 3,600 Y T IE U D U N G
Ví dụ 9: Các số liệu về thu nhập (Y) và tiêu dùng (C) trong khoảng thời gian từ năm 1958
đến năm 1988 được cho ở bảng dưới đây. Sử dụng phần mềm Eviews để chạy hồi quy
của thu nhập Y theo tiêu dùng C (lưu ý là khi khai biến tiêu dùng, hoặc ta để nguyên tên tiêu dùng, hoặc ta dùng một ký tự khác C (vì ký tự C mặc định là hệ số bị chặn trong mơ hình):
Bảng 2.3
a/ Với mẫu điều tra này, Eviews cho ta biểu đồ phân tán của TIEUDUNG theo Y(thu nhập) sau: Biểu đồ này cho thấy
các điểm quan sát thực nghiệm rất gần
một đường thẳng, đây là hình ảnh trực quan cho phép ta nhận dạng hồi quy của TIEUDUNG theo thu nhập Y là tuyến tính, nên mơ hình kinh tế lượng ở đây
được nhận dạng là:
{𝐸(𝑇𝐼𝐸𝑈𝐷𝑈𝑁𝐺|𝑌) = 𝑎 + 𝑏. 𝑌𝑇𝐼𝐸𝑈𝐷𝑈𝑁𝐺 = 𝑎 + 𝑏𝑌 + 𝑈
b/ Hồi quy tiêu dùng (C) theo thu nhập (Y) cho kết quả sau:
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 06/24/15 Time: 12:00 Sample: 1 10
Included observations: 10
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 20.50909 5.608465 3.656810 0.0064
X 0.578182 0.031255 18.49901 0.0000
R-squared 0.977157 Mean dependent var 118.8000 Adjusted R-squared 0.974301 S.D. dependent var 35.41751 S.E. of regression 5.677708 Akaike info criterion 6.487829 Sum squared resid 257.8909 Schwarz criterion 6.548346 Log likelihood -30.43914 Hannan-Quinn criter. 6.421442 F-statistic 342.2132 Durbin-Watson stat 1.562483 Prob(F-statistic) 0.000000
Năm C Y Năm C Y Năm C Y
1958 873.8 1494.9 1969 1298.9 2208.4 1980 1883.7 2958.7 1959 899.8 1525.7 1970 1337.7 2271.3 1981 1960.9 3115.2 1960 919.7 1551.1 1971 1405.8 2365.6 1982 2004.4 3192.3 1961 932.9 1539.3 1972 1456.6 2423.3 1983 2000.4 3187.2 1962 979.3 1629.1 1973 1492 2416.2 1984 2024.2 3248.7 1963 1005.1 1665.2 1974 1538.7 2484.8 1985 2050.7 3166 1964 1025.1 1708.7 1975 1621.8 2608.5 1986 2145.9 3277.6 1965 1069 1799.4 1976 1689.6 2744 1987 2239.9 3492 1966 1108.3 1873.3 1977 1674 2729.3 1988 2313 3570 1967 1170.6 1973.3 1978 1711.9 2695 1968 1236.3 2087.6 1979 1803.9 2826.7
Bộ mơn Tốn – Thống kê Bài giảng Kinh tếlượng
Dependent Variable: TIEUDUNG Method: Least Squares
Included observations: 31
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -161.5118 22.37920 -7.217049 0.0000
Y 0.684186 0.008848 77.32386 0.0000
R-squared 0.995173 Mean dependent var 1512.061 Adjusted R-squared 0.995007 S.D. dependent var 448.3518 S.E. of regression 31.68220 Akaike info criterion 9.811728 Sum squared resid 29109.09 Schwarz criterion 9.904243 F-statistic 5978.979 Durbin-Watson stat 0.683880 Prob(F-statistic) 0.000000
Bảng 2.4
Từ bảng 2.4, ta có: hàm hồi quy SRF ước lượng của TIEUDUNG theo Y là:
𝑇𝐼𝐸𝑈𝐷𝑈𝑁𝐺 = −161,5118 + 0,684186. 𝑌 + 𝑈̂ R2 = 0,995173,
𝑏̂ = 0.684186 > 0 𝑛ê𝑛 𝑟𝑇𝐼𝐸𝑈𝐷𝑈𝑁𝐺,𝑇𝐼𝐸𝑈𝐷𝑈𝑁𝐺̂ = √𝑅2 = √0.995173 ≈ 0.9976 , cho thấy mơ hình phù hợp rất tốt với số liệu điều tra, biến X giải thích được 99.52% sự thay đổi của biến Y; 0.48% còn lại là do tác động của nhiễu ngẫu nhiên khơng đưa vào mơ hình. Hệ số 𝑏̂ = 0,684186 cho thấy khi thu nhập Y tăng 1(đơn vị tiền tệ) thì bình quân
TIEUDUNG tăng 0,684186 (đơn vị tiền tệ).
c/ Tiến hành ước lượng khoảng tin cậy cho các hệ số hồi quy a, b, Eviews cho kết quả sau:
Coefficient Confidence Intervals Included observations: 31
90% CI 95% CI 99% CI Variable Coefficient Low High Low High Low High
C -161.5118 -199.5368 -123.4867 -207.2823 -115.7412 -223.1975 -99.82605 Y 0.684186 0.669152 0.699221 0.666090 0.702283 0.659797 0.708576
Bảng 2.5
Theo đó, các khoảng tin cậy tương ứng với các độ tin cậy 90%, 95%, 99%:
- cho a là: (-199.5368 , -123.4867); (-207.2823, -115.7412); (-223.1975, -99.82605) - cho b là: ( 0.669152, 0.699221); ( 0.666090, 0.702283); (0.659797, 0.708576) d/ Tiến hành kiểm định các giả thuyết: 𝐻0: 𝑎 = 0; 𝐻0: 𝑏 = 0 bằng phương pháp p –
value, căn cứ vào cột Prob trong bảng hồi quy, đối với cả a và b, ta đều thấy: p – value <
0,0001 << 0,01 nên ta bác bỏ cả hai giả thuyết trên, tức là thừa nhận cả a và b đều khác khơng một cách có ý nghĩa.
e/ Khoảng tin cậy cho phương sai nhiễu có dạng: ( (𝒏−𝟐). 𝝈̂𝝌 𝟐
𝜶/𝟐
𝟐 ; (𝒏−𝟐). 𝝈̂𝝌 𝟐
𝟏−𝜶/𝟐 𝟐 )
Bộ mơn Tốn – Thống kê Bài giảng Kinh tếlượng tra bảng với α = 0,05, có: 𝝌𝜶 𝟐 𝟐 = 45,7223; 𝝌 𝟏−𝜶𝟐 𝟐 = 16,0471. Từ đó: (𝑛−2). 𝜎̂2 𝜒𝛼 2 2 = 29.1003,761845,7223 = 636,64978 ;(𝑛−2). 𝜎̂𝜒 2 1−𝛼/22 = 29.1003,761816,0471 = 1813,97836 Khoảng tin cậy cần tìm cho phương sai nhiễu là: (636,64978, 1813,97836)