Theo quan điểm của tác giả, quá trình MHHTH thƣờng đƣợc thực hiện qua 4 bƣớc (s đồ 1.5) nhƣ sau:
Bƣớc 1: Sử dụng việc chuyển đổi ngôn ngữ để hiểu vấn đề thực tiễn đƣa ra bằng vấn đề tốn học.
Bƣớc 2: Thực hiện việc tìm kiếm chiến lƣợc giải toán để đƣa ra lời giải và kết quả toán học tƣơng ứng với vấn đề toán học xác định đƣợc.
Bƣớc 3: Tiếp tục sử dụng việc chuyển đổi ngôn ngữ để hiểu lời giải và kết quả trong thực tiễn.
Bƣớc 4: Đánh giá và chọn lọc phƣơng án giải phù hợp với thực tiễn đƣa ra. Trong quá trình thực hiện MHHTH, bƣớc 4 đóng vai trị quan trọng trong việc đánh giá tồn bộ q trình thực hiện MHHTH nhằm giải quyết vấn đề thực tiễn đƣa ra có hợp lý hay khơng? Nếu nhƣ kết quả khơng phù hợp với thực tiễn thì có nghĩa là ngƣời thực hiện MHHTH chƣa có sự chính xác ở một hay một vài bƣớc nào đó. Do vậy, mũi tên ( ) thể hiện sự tồn tại của hoạt động phản ánh trong suốt quá trình thực hiện MHHTH.
1.1.6. Ý nghĩa của q trình mơ hình hóa tốn học
Với quan điểm đƣa ra MHTH là đại diện cho một tình huống, một hiện tƣợng thực tiễn hoặc một vấn đề nào đó cần nghiên cứu và q trình MHHTH là quá trình đƣa ra một MHTH cho vấn đề ngồi tốn học, giải quyết vấn đề trong mơ hình đó, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình nếu cách giải quyết chƣa tối ƣu, thì ý nghĩa của quá trình MHHTH xét trên hai khía cạnh:
MHHTH nhƣ thế nào đƣợc coi là có ý nghĩa (hiệu quả) và MHHTH có ý nghĩa (có hiệu quả) nhƣ thế nào trong quá trình dạy học.
Một mơ hình đƣợc cho là có ý nghĩa sẽ phản ánh tính đúng đắn của mơ hình đó trong việc giải quyết vấn đề. Theo Stillman và các cộng sự, quá trình MHHTH hƣớng tới 2 mục tiêu: thứ nhất, giải quyết một vấn đề đã đặt ra; thứ hai, để phát triển các kỹ năng MHH mà các cá nhân có thể chủ động áp dụng cho việc giải quyết các vấn đề thực tiễn.
"Tính xác thực" của q trình MHHTH đƣợc xem xét dƣới bốn góc độ: tính xác thực của nội dung, tính xác thực của q trình, tính xác thực của tình huống và tính xác thực của sản phẩm [98]. Do đó, tính xác thực của MHH phụ thuộc vào các
tiêu chí nhƣ: vấn đề cần giải quyết đƣợc xác định, yêu cầu cần giải quyết, mục đích
giải quyết, thuật ngữ, thơng tin, dữ liệu, công cụ ([67], [36], [21]).
Theo Palm [100] cho rằng một tình huống có tính xác thực (authentic) phải dựa trên các đặc điểm về sự việc/sự kiện, câu hỏi đặt ra, mục đích tình huống, bộ thông tin, dữ liệu, ngôn ngữ sử dụng, công cụ sử dụng để giải quyết vấn đề.
MHHTH là sự kết nối giữa toán học và thực tiễn. Lesh và Lehrer [77] khẳng định khoảng cách giữa mơ hình và các vấn đề trong thế giới thực không chỉ đơn
thuần là việc xác định các đối tƣợng tham chiếu phù hợp mà nó cịn phụ thuộc vào cách biểu diễn các kí hiệu và kinh nghiệm đƣợc tích lũy và thay đổi theo thời gian.
Ok-Ki Kang [87] khẳng định tất cả các bƣớc thực hiện trong một chu trình MHH đều quan trọng, nó tạo ra sự khác nhau khi một mơ hình tốn học đƣợc lựa chọn để đƣa ra quyết định tốt hơn dù nó là một mơ hình tốt hay khơng tốt.
Nhƣ vậy, một q trình MHHTH có hiệu quả sẽ phụ thuộc vào nhiều yếu tố, các bƣớc tiến hành và các giai đoạn thực hiện q trình.
Ví ụ 1.1. Khi đầu tƣ vào 2 thị trƣờng A và B, lãi suất (%) thu đƣợc là biến
ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất tƣơng ứng:
-1 5 8 -2 6 9
P 0,2 0,5 0,3 P 0,2 0,4 0,4
+ Nếu quan tâm vào lãi kì vọng thu được cao thì định hƣớng giải quyết bài
tốn về so sánh giá trị kì vọng
Vậy muốn có lãi trung bình cao nên đầu tƣ vào thị trƣờng B.
+ Nếu muốn kinh doanh ổn định thì định hƣớng giải quyết bài toán về so
Vậy muốn kinh doanh ổn định nên đầu tƣ vào thị trƣờng A.
+ Nếu muốn giảm thiểu độ rủi ro khi đầu tư vào cả hai thị trƣờng, nên chia tỉ lệ đầu tƣ nhƣ thế nào (giả sử 2 thị trƣờng A và B là độc lập).
Gọi a là tỷ lệ tiền lãi đầu tƣ vào thị trƣờng A và là tỷ lệ tiền lãi đầu tƣ vào thị trƣờng B. Lãi khi đầu tƣ vào cả 2 thị trƣờng là:
Do đó, bài tốn trong trƣờng hợp này là tìm giá trị của a để hàm số sau đạt
giá trị nhỏ nhất: .
Nhƣ vậy, với việc xác định tình huống và mục đích cần đạt đƣợc tƣơng ứng với tình huống đƣa ra sẽ giúp cho việc thực hiện các bƣớc tiếp theo của quá trình MHHTH để tìm ra phƣơng án giải quyết vấn đề hợp lý và hiệu quả.
Theo Tran, D. và cộng sự [106], bất cứ MHTH nào đều đƣợc sử dụng trong những điều kiện nhất định. Những điều kiện này vừa là yếu tố để đánh giá tình huống thực hiện quá trình MHHTH, vừa là cơ sở để phát hiện ra những yếu tố khác có tác động tới MHTH đƣợc lựa chọn trong quá trình giải quyết vấn đề.
Theo Ok-Ki Kang [87], việc thực hiện MHH là hoạt động thể hiện tƣ duy, rất hữu ích cho việc giảng dạy, đánh giá cũng nhƣ nghiên cứu. Khi quan sát quan sát học sinh thực hiện các nhiệm vụ và khi kiểm tra kết quả mà ngƣời học đƣa ra thì họ có thể nắm đƣợc những ƣu điểm và hạn chế về nhận thức của học sinh. Thậm chí giáo viên có thể nhận ra đƣợc thói quen tƣ duy của học sinh, từ đó có phƣơng pháp dạy hiệu quả hơn. MHH đƣợc cho có hiệu quả để ngƣời dạy có thể phát triển sự hiểu biết và khung lý luận cho ngƣời học.
Theo Trần Vui [28] cho rằng MHHTH ngoài việc cung cấp kiến thức và kĩ năng tốn học thì nó cịn giúp cho ngƣời học kết nối tốn học với thực tế cuộc sống và giải quyết các vấn đề thực tiễn bằng các công cụ tốn học. Bên cạnh đó, một số năng lực có thể phát triển hơn nhƣ năng lực suy luận, sáng tạo, khám phá, giải quyết vấn đề.
Gravemeijer và Stephan [62] chỉ ra rằng MHTH không bị giới hạn để diễn tả các tình huống thực tế với ngơn ngữ tốn học bằng cách sử dụng các mơ hình đƣợc xác định trƣớc. Nó liên kết các hiện tƣợng liên quan đến nhau trong một tình huống với các khái niệm và các cách biểu diễn tốn học, từ đó diễn giải lại chúng. Để có thể biểu diễn hiệu quả các tình huống thực tiễn bằng ngơn ngữ tốn học, ngƣời học phải có kĩ năng tốn học cao hơn ngồi những kĩ năng về số học, tính tốn, nhƣ lý
luận, giải thích và ƣớc lƣợng ([76], tr.59-70). Nhƣ vậy MHH có thể phát triển các kĩ năng, đặc biệt là lý luận, nhận thức, trực quan hóa khơng gian, trí tƣởng tƣợng, trực giác, ƣớc lƣợng kết quả, sáng tạo hay định hƣớng trong những tình huống khơng chuẩn mực,….
Theo [87], một khía cạnh quan trọng của các vấn đề đƣợc MHH là suy đốn tình huống đã cho. Trong một hoạt động MHH, một mơ hình có thể đƣợc phát triển, mở rộng hoặc sửa đổi để thực hiện một số mục đích khác nhau. Do đó, MHH thúc đẩy việc đặt vấn đề cũng nhƣ việc giải quyết vấn đề vì trong quá trình MHHTH sẽ khiến cho ngƣời học cần phải đặt câu hỏi và đặt ra các phỏng đoán.
Theo [32], Ayla đƣa ra tầm quan trọng của MHH dựa trên hai ý tƣởng: “ toán học ứng dụng” và “ứng dụng tốn học”. Trong đó với ý tƣởng thứ nhất thì các hoạt động tốn học của ngƣời học đƣợc kích thích ở các cấp độ khác nhau. Với ý tƣởng thứ hai, sử dụng toán học trong mơi trƣờng khơng tốn học, điều này tác giả cho rằng sẽ làm tăng động lực của ngƣời học, sự hình thành khái niệm toán học và năng lực tƣ duy toán học.
Ví ụ 1.2. Một cửa hàng bách hóa đang xem xét việc thực hiện một chính
sách quản lý tín dụng mới, trong nỗ lực nhằm cắt giảm số lƣợng khách hàng tín dụng khơng trả các khoản thanh tốn nợ của họ.
Vậy hƣớng giải quyết trong tình huống này nhƣ thế nào? Có liên quan gì tới kiến thức XS - TK mà GV muốn giới thiệu hoặc nhắc lại cho SV để có thể áp dụng.
Giả sử lựa chọn định hƣớng: đình chỉ tín dụng đối với bất kỳ khách hàng nào đã có hai lần trễ hạn một tuần hay lâu hơn, trong việc trả góp nợ hàng tháng (xác
định mơ hình thực).
GV có thể gợi ý: Muốn xác định khách hàng nào bị đình chỉ tín dụng thì cần thống kê và kiểm tra hồ sơ tín dụng của tất cả các khách hàng trong quá khứ để làm cơ sở ra quyết định. Lúc này, SV bắt đầu tƣ duy chuyển tình huống đã đề xuất sang mơi trƣờng tốn học để thực hiện phƣơng án giải quyết vấn đề bằng việc thống kê số liệu và phân tích dựa trên số liệu đó.
Giả sử thống kê hồ sơ tín dụng trong quá khứ cho thấy 90% trong tất cả những ngƣời khơng trả các khoản thanh tốn nợ của họ đều đã trễ hạn đối với ít nhất là hai khoản thanh toán hàng tháng. Ngƣời điều tra điều tra tìm ra rằng có 2% trong tất cả khách hàng tín dụng đã thật sự không trả các khoản thanh toán nợ và 45% số ngƣời đã trả các khoản thanh tốn nợ thì đã có ít nhất hai khoản thanh tốn hàng tháng trễ hạn.
Khi đó, GV hƣớng dẫn SV xây dựng bài toán toán học hợp lý trong trƣờng hợp này đó là: Tính xem khả năng để một khách hàng có hai hay nhiều hơn các khoản thanh tốn trễ hạn sẽ thật sự khơng trả những khoản thanh tốn của mình.
Nhƣ vậy, bằng việc đƣa tình huống thực tiễn vào mơi trƣờng tốn học để tìm hƣớng giải quyết thơng qua q trình MHHTH, GV đã giúp SV thấy đƣợc tình huống đã đƣa ra có hƣớng giải quyết rõ ràng và có cơ sở thuyết phục .
Gợi ý giải. Gọi L là biến cố một khách hàng tín dụng bị trễ hạn hai tuần hay nhiều hơn với ít nhất hai khoản thanh toán hàng tháng;
D là biến cố khách hàng tín dụng khơng trả các khoản thanh tốn nợ của mình. Cần tính
Theo dữ kiện giả thiết ta áp dụng cơng thức Bayes tính đƣợc:
GV yêu cầu SV phân tích ý nghĩa kết quả vừa thu đƣợc.
Kết quả này cho thấy: nếu nhƣ quyết định ban đầu, thì xác suất chỉ vào khoảng 4% (khoảng 1 trong 25) để một khách hàng, mà bị mất những đặc quyền về tín dụng của mình, lẽ ra đã thật sự khơng trả các khoản thanh tốn nợ của mình. Tức là định hƣớng quyết định giả thiết đƣa ra chƣa thực sự tốt, trừ khi nhà kinh doanh cho là đáng bỏ công phát hiện một khách hàng không trả nợ triển vọng dù phải chịu phí tổn là mất đi 24 khách hàng tín dụng tốt.
Do đó, khi GV sử dụng MHHTH trong dạy học giúp cho SV có điều kiện tiếp cận các tình huống ngồi tốn học một cách có cơ sở, SV thấy đƣợc mối quan hệ giữa toán học và thế giới thực, từ đó định hƣớng đƣợc phƣơng án giải quyết vấn đề. Tổng quát, MHHTH sẽ tạo cơ hội để:
- Hiểu biết về thế giới trong và ngồi tốn học.
- Kết nối toán học với thế giới thực và các lĩnh vực ngồi tốn học nhƣ: xã hội, kinh tế, kĩ thuật,…
- Hỗ trợ cho việc học toán: củng cố, vận dụng các kiến thức toán học, khám phá các mối quan hệ toán học mới, sử dụng các cơng nghệ hỗ trợ tốn học,…
- Đảm bảo cho việc phát triển các năng lực toán học khác nhau và thái độ đúng đắn của con ngƣời với các vấn đề thực.
1.2. D ọ ì óa t ọ
1.2.1. Bản chất của dạy học mơ hình hóa tốn học
Henry Pollak là một trong những ngƣời tiên phong trong lĩnh vực ứng dụng và mơ hình hóa trong giáo dục tốn học. Ngay từ những năm sáu mƣơi của thế kỷ trƣớc, ông đã nghiên cứu việc áp dụng MHH trong giảng dạy toán học. DH MHHTH giúp cho sự quan tâm của học sinh đối với toán sẽ trở nên lâu dài [94].
Trong những năm gần đây, việc sử dụng MHH trong giáo dục toán học ngày càng đƣợc quan tâm. Nhiều quan điểm khác nhau về DH MHHTH đƣợc đƣa ra, tuy nhiên đều xoay quanh hai mục đích của DH MHHTH:
MHH là một phương tiện dạy học toán học: Ngƣời học khám phá những khái
niệm tốn học khi giải quyết các tình huống thực tiễn thơng qua q trình mơ hình hóa các tình huống đó ([36], tr.3-32; [35], [60], [91]).
MHH là mục đích của dạy học toán (cải thiện NL MHH cho ngƣời học):
năng lực MHH đƣợc coi nhƣ một năng lực cơ bản và mục đích giảng dạy tốn học là trang bị cho ngƣời học năng lực này để giải quyết vấn đề trong toán học và trong các ngành học khác trên thực tiễn ([36], tr.45-56; [65]; [91]). Ngƣời học đƣợc cung cấp các mơ hình đƣợc xác định trƣớc và áp dụng những mơ hình này vào các tình huống thực.
Theo các nghiên cứu ([16], tr.86, [4]), DH MHHTH sẽ làm rõ nhất vai trò động cơ của các bài tốn thực tiễn. Đây là q trình ngƣời dạy tổ chức các hoạt động giúp ngƣời học xây dựng mơ hình tốn học để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
Trong khi dạy học mơ hình với mục đích là nhấn mạnh vào kết quả (là các mơ hình) thì trọng tâm của DH MHHTH là quá trình ngƣời dạy hƣớng dẫn ngƣời học đƣa ra những miêu tả phù hợp với tình huống thực tiễn. Khi đó, việc DH MHHTH sẽ bắt đầu từ một vấn đề thực tiễn và theo đó là q trình từng bƣớc hƣớng tới giải pháp cụ thể để giải quyết các vấn đề [88].
Một số mục tiêu cơ bản của DH MHHTH đó là: các mục tiêu về hành vi (behavioral objectives) nhƣ các sự việc và kỹ năng cơ bản nhận biết sự việc đó; mục tiêu của q trình (process objectives) đạt đƣợc là các kỹ năng, kỹ xảo; mục tiêu mang tính ảnh hƣởng (affective objectives) nhƣ thái độ, niềm tin, cảm giác; mục tiêu về nhận thức (cognitive objectives) nhƣ nhận biết các loại mơ hình, hệ thống khái niệm để xây dựng, mơ tả, giải thích, vận dụng và kiểm tra các MHTH [76].
Vấn đề thực tiễn → xây dựng MHTH → Trả lời cho bài tốn thực tiễn → Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa, định lý hay công thức → Vận dụng vào giải các bài tốn thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một MHTH phù hợp.
Cụ thể, quy trình gồm 7 bƣớc:
Bƣớc1 Nêu vấn đề Mô tả về vấn đề cần giải quyết. Hƣớng dẫn đặt câu hỏi về vấn đề đó. Bƣớc 2 Đơn giản hóa vấn đề Lựa chọn câu hỏi để phát triển kiến thức. Bƣớc 3 Thiết lập vấn đề
Xây dựng giải thuyết, tính tốn, sắp xếp số liệu để ngƣời học có thể sử dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề.
Bƣớc 4 Phát triển kiến thức của bài học
Đƣa ra khái niêm, định nghĩa, định lý hoặc tính chất liên quan chặt chẽ đến vấn đề cần giải quyết.
Bƣớc 5 Trình bày ví dụ tƣơng tự
Nêu ra vấn đề tƣơng tự.
Trình bày ứng dụng của toán học.
Hƣớng dẫn sử dụng các phƣơng tiện hỗ trợ: máy tính, máy vi tính,…
Bƣớc 6 Thiết lập MHTH và giải bài toán
Giải bài toán trong vấn đề nghiên cứu ban đầu. Tổng qt hóa bài tốn.
Bƣớc 7 Hiểu lời giải và cải tiến mơ hình
u cầu ngƣời học đánh giá lời giải.
Với bậc học giáo dục chuyên nghiệp, mục tiêu của các tri thức tốn học đó là nhấn mạnh vào ứng dụng toán học trong thực tiễn. Vì thế, bản chất của DH MHHTH đó là dạy cho sinh viên (người học) giải quyết các vấn đề/tình huống thực tiễn theo quá trình MHHTH.