Chương 1: Những vấn đề lí luận về dạy học mơ hình hóa trong mơn xác suất và thống kê
Trình bày những kiến thức cơ sở về mơ hình hóa tốn học, q trình mơ hình hóa tốn học, q trình mơ hình hóa tốn học trong mơn XS - TK, quy trình dạy học mơ hình hóa tốn học.
Chương 2: Nghiên cứu thực tiễn
Trong chương này tôi dự kiến khảo sát thực tiễn với các mục đích:
- Khái qt về chương trình giảng dạy môn XS - TK tại bậc đại học thuộc ngành KT và QTKD, từ đó đưa ra được đánh giá chung về vị trí và vai trị của mơn XS - TK trong tồn bộ chương trình đào tạo bậc đại học ngành KT và QTKD hiện nay.
- Hiểu biết của SV và GV về quá trình MHHTH? Thực trạng kỹ năng MHHTH trong XS - TK của SV như thế nào?
- Phân tích thực trạng DH MHHTH trong mơn XS - TK tại bậc đại học thuộc ngành KT và QTKD.
Chương 3: Tổ chức dạy học mơ hình hóa tốn học trong mơn XS - TK cho sinh viên ngành KT và QTKD.
Đề xuất một số biện pháp để DH MHHTH trong nội dung dạy XS - TK cho SV ngành KT và QTKD đạt hiệu quả. Các biện pháp đưa ra nhằm củng cố sự hiểu biết của người học về ứng dụng của XS - TK trong thực tiễn chuyên ngành, đồng thời nắm được cơ bản các bước, giai đoạn thực hiện quá trình MHHTH.
Chương 4: Thực nghiệm sư phạm
Mục đích của chương đó là khảo sát tính hiệu quả và khả thi của các đề xuất tổ chức dạy học đã nêu ở chương 3 bằng việc thực nghiệm tại cơ sở đào tạo.
Chương 1
NHỮNG VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC TRONG MƠN XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
1.1. Mơ hình hóa toán học và q trình mơ hình hóa toán học
1.1.1. Mơ hình
Theo Lesh và Thomas ([91], tr. 7), mơ hình là một hệ thống dùng để mơ tả (giải thích hoặc thiết kế) một hệ thống khác nhằm giải quyết một số mục đích được chỉ định rõ ràng.
Một hệ thống là một tập hợp các đối tượng liên quan, có thể là thực hoặc ảo, vật chất hoặc tinh thần, đơn giản hoặc phức tạp. Cấu trúc của một hệ thống là một tập hợp các mối quan hệ giữa các đối tượng của nó. Bản thân hệ thống được gọi là tham chiếu của mơ hình.
Theo Mason và cộng sự (trích dẫn theo [16], tr. 15), mơ hình được mơ tả như một vật dùng để thay thế để qua đó hình dung và thấy được các đặc trưng của sự vật/sự việc trên thực tế. Thơng qua mơ hình ta có thể thao tác, khám phá đặc điểm, thuộc tính, tính chất của đối tượng cần nghiên cứu mà khơng phải tìm kiếm đối tượng thật. Về trực giác, mơ hình thường được tư duy theo ý nghĩa vật lý, tức là một bản sao của đối tượng thực tế, chỉ khác về kích thước. Bên cạnh đó, N.D.Nam ([16], tr. 16); P.T. Tình [22] đưa ra khái niệm mơ hình là tập hợp các quy tắc biểu diễn một sự vật, hiện tượng diễn ra trong suy nghĩ của người quan sát.
Theo Lesh và Doerr ([76], tr. 10), mơ hình là các hệ thống khái niệm (bao gồm các yếu tố, quan hệ, phép toán và các quy tắc biểu diễn) được thể hiện bằng việc sử dụng các kí hiệu bên ngồi, thường được dùng để cấu trúc, xây dựng, miêu tả hoặc giải thích các nội dung phức tạp trong tự nhiên.
Tuy nhiên, theo quan điểm của Greefrath và các cộng sự ([64], tr. 9), mơ hình được coi là sự biểu diễn một cách đơn giản hóa các vấn đề trong thực tế, tức là, các mơ hình chỉ phản ánh được một số khía cạnh ở một mục tiêu nào đó. Đối với mỗi mục tiêu, phần quan sát của thực tế thường bị loại bỏ, không được xem xét đến và các mối quan hệ giữa các yếu tố trong thực tiễn thì bị hạn chế trong quá trình biểu diễn bằng mơ hình.
Theo L.T.H. Châu [4], mơ hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc của hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự
vật, hiện tượng thuộc hệ thống này. Tác giả chỉ ra rằng khái niệm mơ hình cũng được hiểu theo hai nghĩa: nghĩa thứ nhất là coi như một bản sao và nghĩa thứ hai là cái thu được từ việc diễn đạt các đặc trưng chủ yếu của một tình huống theo một ngơn ngữ nào đó.
Như vậy, theo tác giả, có 2 quan điểm định nghĩa về mơ hình: một là, mơ hình được coi như một bản sao của các vấn đề mang tính lý thuyết. Hai là, mơ hình mang nghĩa là sự mô tả, là sự đại diện, đơn giản hóa cho một hệ thống thực. Tuy nhiên, cả hai cách định nghĩa trên đều nhằm mục đích là cho phép người dùng mơ hình đó để nghiên cứu, thực nghiệm nhằm tìm ra các tính chất, đặc điểm, quy luật,… của hệ thống khái niệm, những vấn đề lý thuyết và thực tiễn đặt ra.
1.1.2. Mơ hình tốn học
Theo Kai Velten ([72], tr. 12), MHTH là một bộ ba (S, Q, M) trong đó,
S là một hệ thống;
Q là một câu hỏi liên quan đến S;
M là một tập hợp các câu lệnh tốn học có thể được sử dụng để trả lời Q.
Theo Ang Keng Cheng [30], một MHTH được coi như là một hình thức tốn học của các vấn đề thực tiễn (có thể phức tạp) hoặc các tình huống trong thế giới thực, được thực hiện bằng cách đơn giản hóa hay trừu tượng hóa, tức là những vấn đề thực tiễn có thể được chuyển đổi thành vấn đề mang tính chất tốn học. Theo đó, các vấn đề tốn học được giải quyết bằng việc sử dụng tất cả các cơng cụ, giải pháp tốn học.
N.D.Nam ([16], tr. 16) dựa trên định nghĩa về mơ hình lý thuyết để đưa ra quan điểm về MHTH, khi các quy tắc tạo nên mơ hình là quy tắc tốn học thì một MHTH được tạo ra. Theo tác giả, MHTH là một cấu trúc tốn học gồm các kí hiệu, mối quan hệ tốn học biểu diễn, mơ tả các thuộc tính của đối tượng nghiên cứu.
Theo L.T.H. Châu [4], MHTH là sự giải thích bằng tốn học cho một hệ thống ngồi tốn học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này.
Các MHTH tập trung vào các đặc điểm cấu trúc và nguyên lý hàm của các đối tượng hoặc tình huống trong cuộc sống thực ([76],tr.59-70), ([36], tr.153-160), ([33], tr. 3-33). Trong hệ thống phân cấp của Lehrer và Schäuble ([36], tr.153-160), các MHTH khơng bao gồm tất cả các tính năng của tình huống thực tế được MHH, mà chỉ chứa các biểu diễn, phép tính và các quan hệ nhằm mục đích hiểu được các tình huống thực tế đó ([76], tr.59-70).
Theo English và cộng sự thì MHTH được sử dụng để hiểu các tình huống trong thực tiễn hoặc các tình huống phi tốn học theo các định dạng toán học [54].
Theo Chan [49], Greefrath và các cộng sự ([64], tr. 9), mơ hình tốn học được tạo ra với mục đích là xử lý các dữ liệu thực theo cách có thể quản lý được. Do đó, chỉ một số dữ kiện trong thực tế mới có thể chuyển được vào tốn học thơng qua MHH và được phát triển trong quá trình MHH. Các mơ hình khác nhau về tính hiệu quả hay độ phức tạp phụ thuộc vào sự hiểu biết tốn học và thơng qua việc sử dụng chúng để giải quyết vấn đề.
Shafi’i [98] khẳng định có sự đối lập giữa mức độ đơn giản của việc tính tốn với độ chính xác của mơ hình. Mơ hình càng gần với thực tế thì cơng cụ tính toán được sử dụng càng phức tạp.
Herzt [68] đưa ra ba tiêu chí để lựa chọn một MHTH sử dụng để giải quyết vấn đề nào đó là tính chấp nhận được, tính chính xác và tính phù hợp.
Tính chấp nhận được: Một mơ hình tốn học được chấp nhận nếu nó khơng
mâu thuẫn với các nguyên tắc về tư duy logic.
Tính chính xác: thể hiện ở các mối quan hệ trong thế giới thực đều được biểu
diễn trên mơ hình.
Tính phù hợp: Herzt cho rằng một mơ hình được coi là phù hợp nếu nó mơ tả
nội dung thích hợp cùng những thơng tin liên quan tới nó. Nếu một mơ hình được lựa chọn phù hợp, nó có thể đánh giá, dự đoán được các vấn đề thực tiễn.
Meyer [83] gợi ý sáu nguyên tắc cần thực hiện khi đo lường một mơ hình:
Độ chính xác, tính mơ tả thực tế, mức độ rõ ràng, độ mạnh của mơ hình, tính tổng qt và hiệu quả.
Tính chính xác: kết quả đưa ra từ mơ hình là đúng hoặc gần đúng. Tính mơ tả thực tế: dựa trên các giả thuyết đúng.
Tính rõ ràng: dự đốn và mơ hình lựa chọn phải đồng nhất. Tính mạnh: Ít bị ảnh hưởng bởi lỗi của bộ dữ liệu ban đầu. Tính tổng quát: áp dụng được với nhiều tình huống.
Tính hiệu quả: Kết quả cuối cùng có ý nghĩa hoặc có thể gợi mở cho việc sử
dụng những mơ hình khác.
Theo Ok-Ki Kang [87], sử dụng một mơ hình có sẵn thì chưa thực sự có hiệu quả trong việc giải quyết một tình huống nào đó, hoặc cũng có thể có các mơ hình có sẵn hiệu quả hơn để sử dụng trong cùng một tình huống. Do đó, việc dựa vào
một số ngun tắc đánh giá mơ hình từ đó lựa chọn mơ hình thích hợp nhất cho việc giải quyết vấn đề.
Như vậy, theo quan điểm của tác giả thì một mơ hình tốn học là một tập hợp các kí hiệu và các mối quan hệ tốn học, nó đại diện cho một tình huống, một hiện tượng thực tiễn hoặc một vấn đề nào đó cần nghiên cứu. Trong mỗi một tình
huống đưa ra, việc xây dựng hay lựa chọn, đánh giá, kiểm tra một mơ hình là quan trọng để đưa ra lời giải cuối cùng hợp lý nhất.
Phân loại mơ hình toán học
Các mơ hình tốn học có thể được phân loại theo cách sử dụng (mơ tả hoặc tối ưu hóa), mức độ ngẫu nhiên (xác định và ngẫu nhiên) và mức độ cụ thể (cụ thể hoặc tổng quát).
* Mơ hình mơ tả - Mơ hình tối ưu (Descriptive Models - Optimization Models) Các mơ hình mơ tả được sử dụng chỉ để mơ tả một cái gì đó về mặt tốn học. Ví dụ như, các mơ hình xác suất phổ biến trong danh mục này bao gồm giá trị trung bình, trung vị, chế độ, phạm vi và tiêu chuẩn. Do đó, các cụm từ này cịn được gọi là "thống kê mô tả". Bảng cân đối, báo cáo thu nhập và tỷ lệ tài chính cũng được mơ tả về bản chất.
Các mơ hình tối ưu hóa được sử dụng để tìm ra một giải pháp tối ưu. Mơ hình tối ưu hóa bao gồm:
Tham số đầu vào: Dữ liệu được cung cấp hoặc được điều chỉnh.
Biến quyết định: Các biến đại diện cho các yếu tố cần nghiên cứu để đưa ra
các quyết định.
Hàm mục tiêu: Hàm của các biến quyết định. Đây là hàm tối thiểu hóa(hoặc
tối đa hóa) mà người thực hiện mong muốn có được.
Sự ràng buộc: Giới hạn của biến: các giá trị làm cho các biến quyết định có ý nghĩa.
Ràng buộc chung: các hạn chế, yêu cầu và mối liên hệ khác có thể giới hạn giá trị của các biến quyết định.
* Mơ hình ngẫu nhiên - Mơ hình xác định (Deterministic - Stochastic Models) Các mơ hình ngẫu nhiên là các mơ hình trong đó kết quả cuối cùng không được biết một cách chắc chắn, tuy nhiên nó có thể biểu thị bởi một phân phối của tất cả các kết quả có được. Cịn đối với mơ hình xác định, tất cả các kết quả có được một cách chính xác bởi các dữ liệu thu thập được tại thời điểm hiện tại và các giá trị của các biến đầu vào của mơ hình.
Các mơ hình ngẫu nhiên có thể bị ảnh hưởng một cách ngẫu nhiên bởi sự thay đổi theo thời gian của các yếu tố trong hệ thống mơ hình. Mơ hình xác định là một mơ hình trong đó tập hợp các được xác định duy nhất bởi các tham số trong mơ hình và các cách biểu diễn trước đó.
* Mơ hình tuyến tính và phi tuyến tính (Linear - Nonlinear Models)
Các mơ hình tốn học tuyến tính và phi tuyến tính thường được tạo bởi các biến, đó là sự mơ hình hóa của các yếu tố mang tính định lượng được mơ tả và các toán tử hoạt động trên các biến này, có thể là tốn tử đại số, hàm, toán tử vi phân,... Nếu tất cả các tốn tử trong một mơ hình tốn học là tuyến tính, thì mơ hình tốn học được gọi là tuyến tính. Ngược lại, mơ hình sẽ được gọi là phi tuyến tính.
1.1.3. Mơ hình hóa tốn học
❖ Mơ hình hóa
Theo Greefrath [64], tác giả xem xét trong mơi trường tốn học và cho thấy MHH là một chu trình giữa thực tiễn và tốn học và nó được lặp đi lặp lại nhiều lần. Theo Hestenes ([91], tr. 34), cấu trúc một chu kỳ mơ hình hóa có thể được phân tách thành bốn giai đoạn chính: xây dựng mơ hình, phân tích, xác nhận và triển khai. Tuy nhiên, Hestenes nhấn mạnh rằng các giai đoạn có thể khác nhau trong mỗi chu kỳ, tùy thuộc vào mục tiêu của người thực hiện MHH. Hơn nữa, các giai đoạn không nhất thiết phải được thực hiện theo thứ tự tuyến tính.
Xây dựng mơ hình: sử dụng phối hợp tất cả các công cụ khác nhau để xây
dựng một mơ hình khoa học hồn chỉnh và mạch lạc tương ứng với tình huống thực tế.
Phân tích mơ hình: giai đoạn này liên quan đến việc trích xuất thơng tin một
mơ hình, chẳng hạn như giải thích các yếu tố, dự đoán thử nghiệm, hoặc trả lời những vấn đề về các đối tượng được mơ hình hóa, thực hiện giải quyết vấn đề,…
Xác nhận mơ hình: liên quan đến việc đánh giá tính đầy đủ của mơ hình để
mơ tả đặc điểm của hệ thống, quy trình cần tìm hiểu ban đầu.
Triển khai mơ hình: bao gồm việc điều chỉnh một mơ hình trong bối cảnh
khác để mô tả các hệ thống, quy trình tương ứng phù hợp với bối cảnh đó.
Lesh và cộng sự [76] đưa ra nhận xét rằng MHH là bước đầu tiên và cần thiết trong việc áp dụng tốn học. Vì MHH khơng phản ánh đúng - sai, quá trình lại diễn ra từ từ theo từng bước nên thuận lợi cho việc sáng tạo và cải tiến. Từ đó, nhóm các nhà nghiên cứu đưa ra định nghĩa mơ hình hóa như một q trình trong
đó tồn tại những hệ thống khái niệm và sử dụng những mơ hình để sáng tạo và phát triển mơ hình mới trong bối cảnh mới.
Theo N.D.Nam ([16], tr. 16), MHH là quá trình tạo ra các mơ hình để giải quyết các vấn đề tốn học.
Như vậy, theo tác giả, MHH là q trình gồm các bước có thể được lặp đi lặp lại: đơn giản hóa vấn đề/tình huống, xây dựng/sử dụng mơ hình, làm việc với mơ hình và xác minh kết quả. MHH sử dụng trong nghiên cứu này được coi như là
một phương tiện để giải quyết vấn đề. ❖ Mơ hình hóa toán học
MHHTH được định nghĩa và mô tả theo nhiều cách.
Quan điểm của Greer [63] đã coi MHHTH là sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học.
MHHTH là quá trình biểu diễn lại những vấn đề thực tiễn theo ngơn ngữ tốn học trong việc tìm kiếm phương án giải quyết vấn đề đó [22].
Haines và Crouch ([36], tr. 417-424) mô tả MHHTH như là một q trình có tính chu kì, trong đó các vấn đề thực tiễn được biểu diễn lại bằng ngơn ngữ tốn học và giải quyết trong mơi trường tốn học; sau đó kết quả sẽ được kiểm tra lại trong thực tiễn.
Theo Chan [48], MHHTH được hiểu là việc sử dụng tốn học để mơ tả, biểu diễn và giải quyết các vấn đề phát sinh trong các tình huống thực tế.
Theo Trần Vui [28], MHHTH là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng các cơng cụ tốn học.
Trong nghiên cứu của Maria và cộng sự, các tác giả trích dẫn MHHTH là một q trình sử dụng tốn học để biểu diễn, phân tích, đưa ra dự đốn hoặc cung cấp thông tin về thế giới thực (dẫn theo [81], tr. 337). MHH là một quá trình được lặp đi lặp lại và ln có sự điều chỉnh. Các tác giả cịn cho rằng MHH có chứa các vấn đề phức tạp, có kết thúc mở, đòi hỏi người học cần lựa chọn cách tiếp cận, xây