Bài tốn tối ưu tổng quát

iv Các nội dung chính trong đề tài

2.1. Bài tốn tối ưu nhiều biến đa mục tiêu trong kỹ thuật

2.1.1. Bài tốn tối ưu tổng quát

Tối ưu hĩa là một trong những lĩnh vực kinh điển của tốn học cĩ ảnh hưởng đến hầu hết các lĩnh vực khoa học - cơng nghệ và kinh tế - xã hội. Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đĩ chiếm một vai trị hết sức quan trọng. Phương án tối ưu là phương án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu quả cao.

Bài tốn tối ưu tổng quát được phát biểu như sau [17]:

min f(x) với điều kiện x  D (P1) hoặc

max f(x) với điều kiện x  D (P2) Trong đĩ D  Rn được gọi là tập nghiệm chấp nhận được hay tập ràng buộc và f: D  R là hàm mục tiêu. Mỗi điểm x  D được gọi là một nghiệm chấp nhận được hay một phương án chấp nhận được (cĩ thể gọi tắt là một phương án).

Điểm x*  D mà f(x*)  f(x)  x D

Được gọi là nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm tối ưu tồn cục, hoặc nghiệm cực tiểu tồn cục (global minimizer), hoặc chỉ đơn giản là nghiệm của bài tốn (P1). Người ta cịn gọi một nghiệm tối ưu là một phương án tối ưu hay lời giải của bài tốn đã cho. Điểm x*  D được gọi là một điểm tối ưu hĩa tồn cục chặt (strictly global minimizer) nếu

f(x*) < f(x) x  D và x  x*.

Khơng phải bài tốn (P1) nào cũng cĩ nghiệm cực tiểu tồn cục và nếu bài tốn cĩ nghiệm tồn cục thì cũng chưa chắc cĩ nghiệm cực tồn cục chặt.

Giá trị tối ưu (hay giá trị cực tiểu) của bài tốn (P1) được ký hiệu là:

D x x f  ) (

min hoặc minf(x) x D.

30

Ta ký hiệu Argminf(x) x D là tập nghiệm tối ưu của bài tốn (P1). Nếu bài tốn chỉ cĩ một nghiệm tối ưu x* thì cĩ thể viết x* = argminf(x) x  D.

Điểm x*  D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương hoặc nghiệm cực tiểu địa phương của bài tốn (P1) nếu tồn tại một  - lân cận B(x*, ) của điểm x*  D

Sao cho f(x*)  f(x) x  B(x*, )  D.

Điểm x*  D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương chặt hoặc nghiệm cực tiểu địa phương chặt của bài tốn (P1) nếu tồn tại một  - lân cận B(x* , ) của điểm x*  D sao cho

f(x*) < f(x) x  B(x*, )  D và x  x*.

Lưu ý rằng, người ta cũng thường phát biểu bài tốn (P1) dưới dạng minf(x) x D hoặc f(x)  min hoặc

D x x f  ) (

min với điều kiện x D Tương tự bài tốn (P2) cũng thường được phát biểu dưới dạng maxf(x) x D hoặc f(x) max hoặc

D x x f  ) (

max , với điều kiện x  D

Các khái niệm tương tự cũng được định nghĩa cho bài tốn (P2). Cụ thể, nếu tồn tại một  - lân cận B(x*, ) của điểm x*  D sao cho

f(x*) ≥ f(x) x  B(x* , )  D

Thì x* được gọi là nghiệm tối ưu địa phương hay nghiệm cực đại địa phương của bài tốn (P2). Nếu tồn tại một - lân cận B(x*, ) của điểm x*  D sao cho

f(x*) > f(x) x  B(x* , )  D và x  x*

Điểm x*  D được gọi là nghiệm tối ưu địa phương chặt hay nghiệm cực đại địa phương chặt của bài tốn (P2).

Điểm x* D thỏa mãn f(x*)  f(x) với mọi x D được gọi là nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm tối ưu tồn cục, hoặc nghiệm cực đại tồn cục (global maximizer), hoặc chỉ đơn giản là nghiệm của bài tốn (P2). Nếu x* D thỏa mãn thì ta gọi x* một điểm tối ưu tồn cục chặt (strictly global maximizer) của bài tốn (P2) được ký hiệu là

D x x f  ) ( max hoặc maxf(x) x D.

Tương tự đối với bài tốn (P1), ta ký hiệu maxf(x) x D là tập nghiệm tối ưu của bài tốn (P2). Trường hợp bài tốn chỉ cĩ một nghiệm tối ưu x* thì cĩ thể viết x* = maxf(x) x D.