Phân loại các bài tốn tối ưu

iv Các nội dung chính trong đề tài

2.1. Bài tốn tối ưu nhiều biến đa mục tiêu trong kỹ thuật

2.1.2. Phân loại các bài tốn tối ưu

Các bài tốn tối ưu cũng cịn được gọi là các bài tốn quy hoạch tốn học, được chia ra thành các lớp sau [18÷22]:

- Bài tốn quy hoạch tuyến tính (QHTT) nếu hàm mục tiêu f(x) và tất cả các hàm ràng buộc gi(x), i = 1…m, hj(x), j = 1, …, p, đều là tuyến tính và X là một tập lồi đa diện. Một số trường hợp riêng quan trọng của bài tốn QHTT là bài tốn vận tải, bài tốn sản xuất

31 đồng bộ…

- Bài tốn tối ưu phi tuyến hay cịn gọi là bài tốn quy hoạch phi tuyến (QHPT) nếu hàm mục tiêu f(x) hoặc một trong các hàm ràng buộc gi(x), i=1,…, m, hj(x), j=1, …, p, khơng phải là tuyến tính và X khơng phải là một tập hợp lồi đa diện.

- Bài tốn quy hoạch động nếu đối tượng được xét là các quá trình cĩ thể chia ra thành nhiều giai đoạn hoặc các quá trình phát triển theo thời gian. Trong nhiều trường hợp bài tốn quy hoạch động lại cĩ thể diễn đạt như một bài tốn tĩnh và thường đưa về dạng bài tốn QHTT với kích thước lớn.

- Bài tốn quy hoạch lồi nếu hàm mục tiêu cần tìm cực tiểu là lồi (hay hàm cần tìm cực đại là lõm) và miền ràng buộc D là một tập hợp lồi. Đây là lớp bài tốn QHPT được nghiên cứu nhiều nhất. Một trường hợp riêng quan trọng của quy hoạch lồi là quy hoạch tồn phương, trong đĩ xét bài tốn tìm cực tiểu của một hàm lồi bậc hai với các ràng buộc tuyến tính.

- Bài tốn quy hoạch lõm nếu hàm mục tiêu cần tìm cực tiểu là lõm và miền ràng buộc D là một tập hợp lồi. Đây là một bài tốn điển Hình trong lớp các bài tốn QHPT khơng lồi đã được nghiên cứu khá kỹ. Đơn giản nhất là bài tốn tìm cực tiểu của một hàm lõm với các ràng buộc tuyến tính.

- Quy hoạch phân thức nếu hàm mục tiêu là thương của hai hàm số cho trước và miền ràng buộc D là một tập hợp lồi. Trường hợp riêng đáng chú ý là quy hoạch phân tuyến tính khi hàm mục tiêu là thương của hai hàm tuyến tính.

- Bài tốn quy hoạch rời rạc nếu miền ràng buộc D là một tập hợp rời rạc. Trường hợp khi các biến chỉ nhận giá trị nguyên, ta cĩ một quy hoạch nguyên. Một số trường hợp riêng quan trọng của quy hoạch nguyên là quy hoạch với biến Boole (các biến chỉ nhận giá trị 0 hay 1) và QHTT nguyên, đĩ là bài tốn QHTT với các biến số chỉ lấy giá trị nguyên.

- Bài tốn quy hoạch đa mục tiêu nếu trên cùng một miền ràng buộc ta xét đồng thời hai hay nhiều mục tiêu khác nhau (tuyến tính hoặc khơng tuyến tính).

- Ngồi ra cịn cĩ bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên khi các tham số trong bài tốn khơng cĩ giá trị xác định mà được mơ tả bởi các phân phối xác suất, quy hoạch lồi đảo khi miền ràng buộc là hiệu của hai tập hợp lồi, quy hoạch được khi hàm mục tiêu hay hàm ràng buộc là hiệu của hai hàm lồi, quy hoạch Lipschits với các hàm trong bài tốn là hàm Lipschitz, quy hoạch trong khơng gian vơ hạn chiều, quy hoạch với vơ số ràng buộc.

Trong các bài tốn tối ưu, quan trọng nhất và được sử dụng nhiều hơn cả là bài tốn tối ưu tuyến tính và phi tuyến. Mục tiêu nghiên cứu của luận án là xây dựng bộ tham số điều chỉnh gĩc phun sớm (s) và áp suất phun (pf) tối ưu để đạt được mơ men lớn nhất ở đường đặc tính ngồi, suất tiêu hao nhiên liệu của động cơ nhỏ nhất ở đường đặc tính bộ phận và lượng nhiên liệu tiêu thụ là ít nhất ở chế độ khơng tải. Trong nghiên cứu này các hàm điều chỉnh cĩ thể là hàm tuyến tính hoặc phi tuyến. Vì vậy sau đây xin trình bày kỹ hơn về bài tốn tối ưu tuyến tính và bài tốn tối ưu phi tuyến.

32

2.1.2.1. Bài tốn tối ưu tuyến tính

Bài tốn QHTT tổng qt cĩ dạng [23÷25]:

Tìm xj, j = 1,2,…,n sao cho: f = min

1    j n j jx c (max) (2.1) Với hệ ràng buộc: i n j j ijx b a               1 , i = 1,2,…,m (2.2)             tùy xj 0 0 , j = 1,2,…,n (2.3)

(2.1) được gọi là hàm mục tiêu, nĩ cĩ thể là cực tiểu (min) hay cực đại (max).

(2.2) được gọi là các ràng buộc chung hay ràng buộc hàm, nĩ cĩ thể cĩ dạng bất đẳng thức (≤ hay ≥) hoặc cĩ dạng đẳng thức (=).

(2.3) được gọi là các ràng buộc dấu (của biến), nĩ cĩ thể khơng âm (≥0), khơng dương (≤0) hay tùy ý.

Như vậy, bài tốn QHTT là bài tốn cĩ các biểu thức xác định hàm mục tiêu và các ràng buộc chung đều ở dạng tuyến tính.

Véctơ x = (x1, x2,…,xn)T được gọi là phương án hay lời giải chấp nhận được của bài tốn QHTT nếu nĩ thỏa mãn hệ ràng buộc của bài tốn.

Phương án x* = ( T n x x

x1*, *2,..., *) được gọi là phương án tối ưu hay lời giải tối ưu, nghiệm tối ưu của bài tốn QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đĩ là tốt nhất.

Tức là: f(x*) = j n j j j n j jx f x c x c              1 * 1 )

( là giá trị hàm mục tiêu tại phương án x=(x1,x2,…,xn)T bất kỳ. (Dấu ≤ ứng với bài tốn cực tiểu. Dấu ≥ ứng với bài tốn cực đại).

2.1.2.2.Bài tốn tối ưu phi tuyến

a) Bài tốn quy hoạch phi tuyến khơng ràng buộc

Bài tốn quy hoạch phi tuyến khơng ràng buộc được phát biểu như sau [17, 21÷24]: min f(x) với điều kiện x Rn (2.4) Trong đĩ: f : Rn  R là hàm phi tuyến.

33

(i) Phương pháp gradient

Đây là phương pháp thơng dụng nhất để giải bài tốn cực tiểu khơng ràng buộc (2.4) vì nĩ rất đơn giản và cĩ thể áp dụng được cho những lớp hàm rất rộng. Trong các thuật tốn giải bài tốn (2.4) theo phương pháp gradient, tại mỗi bước lặp k, ta chọn hướng giảm dk của hàm f tại điểm xk là dk = f(xk), đĩ chính là hướng mà theo đĩ hàm mục tiêu f giảm nhanh nhất tại xk.

(ii) Phương pháp Newton

Phương pháp Newton giải bài tốn tối ưu khơng ràng buộc Min {f(x)|x  Rn}

Với hàm mục tiêu phi tuyến f khả vi hai lần trên Rn, chính là việc ứng dụng phương pháp Newton cổ điển giải hệ phương trình phi tuyến n ẩn, n phương trình để tìm điểm dừng của hàm f, tức giải hệ phương trình.

f(x) =0

Phương pháp Newton giải hệ n ẩn, n phương trình cĩ những cách sau đây - Phương pháp Newton cổ điển giải hệ phương trình phi tuyến

- Phương pháp Newton thuần túy (pure Newton) giải bài tốn tối ưu khơng ràng buộc - Phương pháp Newton với bước điều chỉnh hay phương pháp Newton suy rộng - Phương pháp tựa Newton (Quasi Newton Methods).

(iii) Phương pháp cực tiểu hàm một biến

Trong nhiều bước tính tốn của bài tốn quy hoạch nhiều biến, ta thường phải tìm cực tiểu của hàm theo một hướng nào đĩ, tức tìm cực tiểu hàm số một biến. Phần này trình bày hai phương pháp đơn giản để giải bài tốn.

Min f(x) với điều kiện x[a,b]  R

Trong đĩ f: [a,b] → R là hàm đơn mốt (unimodal function) và giả sử bài tốn trên cĩ nghiệm cực tiểu x*  (a,b).

Cĩ hai phương pháp để tìm cực tiểu của hàm một biến là: - Phương pháp chia đơi

- Phương pháp lát cắt vàng

(iv) Phương pháp tìm kiếm trực tiếp

Mục này dùng để trình bày hai thuật tốn giải bài tốn Min f(x) với điều kiện x  Rn

Theo phương pháp tìm kiếm trực tiếp là: Thuật tốn của Hooke và Jeeves và thuật tốn tìm kiếm theo đơn hình (Sequential simplex search algorithm) [60].

34

Các thuật này được dùng để giải bài tốn trên khi hàm mục tiêu f(x) khơng khả vi hoặc cĩ khả vi nhưng việc lấy các đạo hàm riêng là khĩ khăn do f(x) cấu trúc phức tạp hoặc khi cĩ ít thơng tin về f(x).

b) Bài tốn quy hoạch phi tuyến cĩ ràng buộc

Bài tốn quy hoạch phi tuyến cĩ ràng buộc tổng quát được phát biểu như sau [17]: Min {f(x)|xX}

Trong đĩ X  Rn và hàm số f xác định trên X.

Dưới đây trình bày một số phương pháp để giải bài tốn quy hoạch phi tuyến cĩ ràng buộc.

(i) Phương pháp nhân tử Lagrange

Hàm số L(x, l1..., lm , m1, ...mk) = f(x) +      k j j j i m i ig x h x 1 1 ) ( ) ( m l (2.5)

Với các số thực l10, ..., lm0, m1,...mk, được gọi là hàm Lagrange tương ứng với bài tốn quy hoạch phi tuyến

Min f(x) với điều kiện xX

Trong đĩ X= {xRn| gi(x)0, i=1, ...m, hj(x) = 0, j=1,..., k}, các số khơng âm l1, ....lm và các số m1, ..., mkđược gọi là các nhân tử Lagrange.

Thuật tốn để giải bài tốn này như sau:

Bước 1: Lập hàm Lagrange L(x, l1..., lm , m1, ...mk) = f(x) +      k j j j i m i ig x h x 1 1 ) ( ) ( m l (2.6)

Bước 2: Giải hệ sau:

(2.7)

Mỗi một nghiệm của hệ này tương ứng với một bộ tham số l1..., lm , m1, ...mk của bài tốn đang xét ở trên.

(ii) Phương pháp tuyến tính hĩa giải quy hoạch lồi

Xét bài tốn quy hoạch lồi

min f(x) v.đ.k x  X (P1) Gradient L(x, l1..., lm , m1, ...mk) = 0 l1≥ 0, …., lm≥ 0 li i( ) = 0, i = 1… m i( ) ≤ 0, i = 1… m ℎi( ) = 0, i = 1… m

35

Trong đĩ X=x Rn  gi(x)0, i=1,…..,m là tập lồi compac và f, gi. i = 1…m là các hàm lồi khả vi trên Rn.

Bằng việc thêm biến mới t và ràng buộc t  f(x), cĩ thế chứng minh rằng bài tốn (P1) tương đương với bài tốn sau:

min t

với điều kiện gi(x) 0, i=1…m gm+1(x) 0

Trong đĩ gm+1(x)= f(x) - t. Vì vậy ta chỉ cần xét bài tốn cĩ dạng

min(c,x) với điều kiện x X (P2)

Trong đĩ X x Rn gi(x)0, i=1,…..,m là tập lồi compac và f, gi, i= 1,….,m là các hàm lồi khả vi trên Rn và c Rn.

Ý tưởng của phương pháp xấp xỉ tuyến tính là đưa việc giải tốn quy hoạch lồi (P2) về việc giải một dãy các bài tốn QHTT.

min(c,x)x Xk

Với Xk, k = 1, 2, 3… là các đa diện lồi thỏa mãn X1 X2………….X,

mà dãy nghiệm tối ưuxk  tương ứng của chúng hội tụ đến nghiệm của bài tốn này. Sử dụng thuật tốn do Keylley đề xuất năm 1960 để giải bài tốn trên [60].

(iii) Phương pháp hướng cĩ thể giải bài tốn cực tiểu hàm trơn với ràng buộc tuyến tính

Xét bài tốn

Min f(x) với điều kiện x  X

Trong đĩ f là hàm khả vi trên Rn và X  Rn là tập lồi đa diện khác rỗng xác định bởi X: = {xRn|Axb, Ex=e}

Với A là ma trận cấp mn với các hàng ai  Rn, i=1, ..., m, E là ma trận cấp kn với bRm và e  Rm.

Sử dụng thuật tốn do Zoutendijk đề xuất năm 1960 để giải bài tốn trên [60]. (iv) Phương pháp Frank-Wolfe giải bài tốn quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính

Xét quy hoạch lồi

Min f(x) với điều kiện x  X.

Trong đĩ f là hàm lồi trên Rn và X  Rn là tập lồi đa diện xác định bởi X = {xRn|Axb}

36

Sử dụng thuật tốn của Frank-Wolfe đề xuất năm 1956 để giải bài tốn quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính [61]. Thuật tốn được trình bày như sau:

Bước khởi đầu tìm một điểm bất kì x0  X, đặt k:= 0; Bước lặp k (k=0, 1, 2…)

(k1) giải bài tốn QHTT

minf(xk,x-xk) với điều kiện xX được phương án tối ưu uk X (k2) Kiểm tra điều kiện tối ưu

If (f(xk,uk-xk)  0 Then Dừng thuật tốn (lấy xopt := xk) Else Đặt dk := uk – xk và chuyển bước (k3)

(k3) Xác định điểm xk+1 := xk + tkdk , trong đĩ tk= argmin(t)= f(xk + tdk) t0,1

(k4) If f(xk+1  0 Then Dừng thuật tốn (xopt := xk+1) Else Đặt k:= k+1 và quay lại bước lặp k

(v) Phương pháp hàm phạt

Xét bài tốn Min {f(x)|xD}

Trong đĩ D là tập compac xác định bởi D= {xRn| gi(x)0, i=1, ...m},

F và gi: Rn →R, i = 1,..., m là các hàm khả vi liên tục.

Cĩ hai phương pháp hàm phạt: Phương pháp hàm phạt điểm ngồi (Exteror penalty function method) và Phương pháp hàm phạt điểm trong [61] (Interor penalty function method).

- Phương pháp hàm phạt điểm ngồi

Trong phương pháp này, hàm phạt p(x) được định nghĩa bởi

p(x)=    m i 1 (gi(x)), Trong đĩ  là hàm một biến liên tục và thỏa mãn (y) = 0 nếu y  0 và (y) > 0 nếu y > 0.

Thơng thường hàm p(x) cĩ dạng p(x)   m i 1 max0, gi(x) hoặc p(x)   m i 1 max0, gi(x)2 (2.8)

37

Hàm mục tiêu của dãy bài tốn tối ưu khơng rõ ràng buộc tương ứng với bài tốn (P3rb) là

(x,) = f(x) + kp(x)

trong đĩ dãy tham số k là dãy số dương đơn điệu tăng đến . Đại lượng kp(x) là lượng phạt.

Thuật tốn giải hàm này như sau:

Bước chuẩn bị:

Cho số >0 đủ bé (để kiểm tra điều kiện dừng của thuật tốn). Xác định một điểm x1 Rn chọn một tham số phạt 1 >0 và một số m>1. Đặt k=1;

Bước lặp k (k=1,2….)

Bước k1. Xuất phát từ xk giải bài tốn tối ưu khơng ràng buộc min(x, k) với điều kiện xRn

nhận được nghiệm xk+1;

Bước k2. If kp(xk+1) < Then Dừng thuật tốn

(lấy xk+1 là nghiệm tối ưu của bài tốn)

Else Chuyển Bước k3;

Bước k3. Đặt tham số phạt mới k+1 := mk, đặt k:= k+1. Chuyển về Bước k

- Phương pháp hàm phạt điểm trong

Phương pháp này được sử dụng khi biết trước một điểm trong x1 của tập chấp nhận được, tức gi(x1) < 0 với mọi i= 1,…m. Hàm phạt p(x) phải thỏa mãn tính chất:

1. khơng âm và liên tục trên tập intDx Rngi(x)<0,i=1…m;

2. p(x) + khi gi(x)0-.

Vì vậy người ta cịn gọi hàm phạt p(x) này là hàm chắn (barrier function). Hai hàm chắn điển hình thường được sử dụng là.

p(x) = -   m i 1 ln-gi(x) và p(x) = -   m i1 gi(x) 1

Phương pháp hàm phạt điểm xuất phát từ một điểm trong x1 của tập chấp nhận được D, giải một dãy các bài tốn tối ưu khơng ràng buộc

min(x, k)= f(x) + kp(x) với điều kiện xRn trong đĩ k là dãy số dương.

38 Thuật tốn giải hàm này như sau:

Bước chuẩn bị: Cho số >0 đủ bé (để kiểm tra điều kiện dừng của thuật tốn). Xác định một điểm x1 D thỏa màn gi(x1)<0, i=1…m. Chọn một tham số phạt 1 >0 và một số m(0,1). Đặt k=1;

Bước lặp k ( k=1,2…….)

Bước k1. Xuất phát từ xk giải bài tốn tối ưu khơng ràng buộc min(x, k) với điều kiện xRn nhận được nghiệm xk+1;

Bước k2. If kp(xk+1) < Then dừng thuật tốn

(lấy xk+1 là nghiệm tối ưu của bài tốn)

Else Chuyển Bước k3;

Bước k3. Đặt tham số phạt mới k+1 := m k. Đặt k:= k+1. Chuyển về bước k.