MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỔ VÀ BÀI TOÁN VUI BẬC TIỂU HỌC
2.2 Một số bài toán cổ toán vui cho học sinh giỏ
Bài 1. Trên bia mộ của nhà tốn học cổ Đi -ơ-phăng đã ghi lại những điều sau đây:
“Hỡi những người khách qua đường! Nơi đây là nơi n nghỉ của nhà tốn học Đi-ơ- phăng. Những dòng ghi dưới đây sẽ cho bạn biết ngài Đi-ô-phăng thọ bao nhiêu tuổi.
1
6 cuộc đời ngài sống ở tuổi thiếu thời hạnh phúc. Sống thêm 1
12 tuổi đời nữa thì râu
lưa thưa bắt đầu mọc trên mép. Đi-ô-phăng lấy vợ nhưng sau 5 năm và 1
7 tuổi đời nữa thì đứa con đầu lịng của ngài mới chào đời. Nhưng số phận chỉ cho cậu ta sống
1
2 tuổi đời của bố. Đứa con chết đi, cuộc đời trầm lặng và đau thương đã dày vò ngài
suốt 4 năm trời rồi ngài nhắm mắt lìa đời.
Phân tích. Theo đề bài, mỗi một giai đoạn trong cuộc đời của nhà toán học được biểu
diễn bằng các phân số có mẫu số khác nhau nên ta cần phải quy đồng mẫu số các phân số ấy để tính được tuổi của nhà tốn học.
Lời giải. Ta quy đồng mẫu số các phân số chỉ các số liệu về tuổi đời của Đi-ô-phăng:
1 42 1 14 1 12; ; ; ;
2= 84 6=84 7= 84
Nếu chia tuổi đời của Đi-ơ-phăng thành 84 phần bằng nhau thì Tuổi thiếu thời chiếm
84: 6 14= (phần) Thời gian tiếp cho đến khi lấy vợ
84: 12=7 (phần) 1
7 cuộc đời sống chưa có con chiếm
84: 7 12= ( phần) Thời gian ông sống với con chiếm
84: 2=42 (phần) Thời gian 5năm và 4năm còn lại chiếm
84 (14 7 12 42)- + + + =9
(phần) 9phần đó bằng
4 5 9+ = (năm) Tuổi thọ của Đi-ô-phăng là
Đáp số: 84 tuổi.
Bài 2. Một người qua đường hỏi ông lão chăn vịt: “ Đàn vịt của bác có bao nhiêu
con?” và được trả lời như sau
- Một nửa số vịt của tôi, thêm một nửa con nữa đang tắm mát ở dưới sông.
- Ba phần tư số vịt còn lại thêm
1
4 con nữa đang kiếm ăn ở dưới hồ.
- Bốn phần năm số vịt còn lại, thêm
1
5 con nữa đang nằm nghỉ trên bờ.
- Cịn 5 con vịt q tơi đang nhốt trong lồng kia. Đó là tất cả đàn vịt của tôi.
Hỏi đàn vịt của bác có bao nhiêu con?
Phân tích. Bài tốn này sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối vì với 3 dữ kiện đầu tiên đều là phân số chỉ số vịt đang tắm mát, đang kiếm ăn, đang nằm nghỉ nên ta khơng thể tính được số vịt trong đàn. Ta sẽ dựa vào dữ kiện cuối là số vịt cụ thể đang bị nhốt trong lồng để tính ngược lên.
Lời giải. Số vịt đang nằm nghỉ trên bờ và vịt què là
Vịt nằm nghỉ 5 con 1 5 con. 1 (5 ) 5 26 5 + ´ = (con)
Số vịt đi kiếm ăn là
Vịt kiếm ăn dưới hồ
1 4 con 1 (26 ) 4 105 4 + ´ = (con)
Số vịt của cả đàn là Vịt tắm mát 105 con 1 2 con 1 (105 ) 2 211 2 + ´ = (con) Đáp số: 211 con vịt.
Bài 3. Ba con ếch nằm ở dưới đáy của một cái giếng sâu 40 m. Trong một ngày chúng leo được 16 m mỗi con. Sau đó, con thứ nhất bị tụt xuống 14 m, con thứ hai bị tụt xuống 13 m, con thứ ba bị tụt xuống 12 m. Ngày hôm sau chúng lại tiếp tục leo. Hỏi cần mấy ngày thì mỗi con ếch ra khỏi miệng giếng?
Phân tích. Để giải bài tốn này, học sinh cần phân tích bài tốn tránh nhầm lẫn dẫn
đến giải sai đề. Bài toán cho biết cái giếng sâu 40 m và mỗi ngày chúng leo được 16 m. Tuy nhiên học sinh cần chú ý: sau mỗi ngày, ba con ếch lại tụt xuống và quãng đường mỗi con ếch bị tụt xuống là khác nhau. Vì thế khi giải tốn học sinh phải tính được quãng đường mà mỗi con ếch leo được trong một ngày. Tiếp theo mới tính được thời gian để mỗi con ếch leo lên miệng giếng.
Điều mấu chốt của bài tốn đó là: vì mỗi ngày chúng leo được 16m
từ mốc ngày cuối
cùng lên miệng giếng sẽ là 16m
. Nên mốc leo đến ngày gần cuối sẽ là 40 16 24- = (m)
Lời giải. Sau khi leo được 16m
mỗi ngày: Chú ếch thứ nhất bị tụt xuống 14 m nên một ngày chú leo được
Để leo được đến mét thứ 24 chú phải mất
24: 2 12= (ngày) Để leo lên miệng giếng chú phải leo tiếp 16m
nữa tức là chú phải mất thêm một ngày nữa, vậy nên là để leo lên miệng giếng chú ếch thứ nhất phải mất:
12 1 13+ = (ngày)
Chú ếch thứ hai bị tụt xuống 13 m nên một ngày chú leo được: 16 13- =3 (m)
Để leo được đến mét thứ 24 chú phải mất
24: 3=8 (ngày) Để leo lên được miệng giếng chú phải leo tiếp 16m
nữa tức là chú phải mất thêm một
ngày nữa, vậy nên để leo lên miệng giếng chú ếch thứ hai phải mất: 8 1 9+ = (ngày) Chú ếch thứ ba bị tụt xuống 12 m nên một ngày chú leo được
16 12- =4 (m)
Để leo được đến mét thứ 24 chú phải mất: 24: 4 6= (ngày) Để leo lên miệng giếng chú phải leo tiếp 16m
nữa tức là chú phải mất thêm một ngày
nữa, vậy nên để leo lên miệng giếng chú ếch thứ ba phải mất: 6 1 7+ =
(ngày)
Vậy để leo lên được miệng giếng, chú ếch thứ nhất phải mất 13ngày, chú ếch thứ hai mất 9 ngày, chú ếch thứ ba mất 7 ngày.
Bài 4
Thuyền to chở được sáu người
Thuyền nhỏ chở được bốn người là đông Một đồn trai, gái sang sơng
Mười thuyền to nhỏ giữa dịng đang trơi Tồn đồn có cả trăm người
Hỏi trên sơng có bao nhiêu thuyền to, nhỏ mỗi loại?
Phân tích. Bài tốn được trình bày dưới dạng một bài thơ lục bát. Học sinh cần phân
tích kĩ dữ liệu bài tốn, bài tốn cho biết gì và u cầu tìm gì? Bài tốn cho biết tất cả có 10 cái thuyền to và nhỏ trên sông, thuyền to chở được 6 người, thuyền bé chở được 4 người, có tất cả 100 người và hỏi bao nhiêu thuyền to, thuyền nhỏ mỗi loại nên chúng ta cần quan tâm tới số người đang ở trên chiếc thuyền đó chứ khơng cần quan tâm tới những người trên bờ. Có rất nhiều phương pháp để giải bài tốn này.
Lời giải. Giả sử 10 thuyền đều là thuyền to. Như vậy 10 thuyền sẽ chở được số người là
10 6 60´ = (người) Theo bài ra thì số người đang trên thuyền là
100 48- =52 (người) Như vậy số người dư ra là
60 52 8- = (người) 8 người dư ra là vì lúc này trên thuyền nhỏ sẽ hụt đi
6 4 2- = 6 4 2- = (người) Số thuyền nhỏ là 8: 2=4 (chiếc) Số thuyền to là 10 4 6- = (chiếc) Đáp số: 4 chiếc thuyền nhỏ. 6 chiếc thuyền to.
Bài 5. Có 12 cái bánh chia cho 12 người: đàn bà 1 người 2 bánh, đàn ông một bánh 2 người và trẻ em bốn cháu 1 bánh. Cuối cùng mọi người đều được nhận phần bánh của mình. Hỏi có bao nhiêu đàn ơng, bao nhiêu đàn bà và bao nhiêu trẻ em?
Phân tích. Theo đề bài, đàn bà 1 người 2 bánh, đàn ông một bánh 2 người và trẻ em bốn cháu 1 bánh nên số bánh đàn ông và trẻ em nhận được là một phần hai và một phần tư cái bánh. Ta sẽ giả sử mỗi người được chia số bánh nhiều gấp 4 lần để tính được thuận tiện hơn.
Lời giải. Giả sử mỗi người được chia số bánh nhiều gấp 4 lần thì tất cả cần 12 4´ =48 (cái bánh)
Lúc này đàn bà mỗi người 8 cái bánh, đàn ông mỗi người 2 cái bánh và trẻ em mỗi cháu được 1 cái bánh.
Gọi số đàn bà là B , số đàn ông là Ơ và số trẻ em là E thì ta có
B + Ơ + E = 12B ´ +8 Ô ´ +2 E = 48 B ´ +8 Ô ´ +2 E = 48 B ´ +7 Ô + B + Ô + E =48
Mà B +Ô+ E =12 nên suy ra B ´ +7 Ô =48 12 36- =
Theo đề bài thì số đàn bà phải nhỏ hơn 6 (vì nếu có 6 đàn bà thì khơng cịn bánh cho đàn ơng và cháu nhỏ). Ta có bảng sau B Ơ Nhận xét 1 29 Loại, vì tất cả chỉ có 12người 2 22 Loại, vì tất cả chỉ có 12người 3 15 Loại, vì tất cả chỉ có 12người 4 8 Loại, vì khơng có trẻ em 5 1 Khi đó trẻ em là: 12 5 1 6- - = Thử lại: 1 1 2 5 1 6 12 2 4 ´ + ´ + ´ = (cái bánh)
Vậy có 5 đàn bà, 1 đàn ông và 6 trẻ em.
Đáp số: 5 đàn bà, 1 đàn ông, 6 trẻ em.
Bài 6. Kỉ và Tị mang gà ra chợ đổi lấy ngựa và bị. Họ tính rằng cứ 85 con gà thì đổi được 1 con ngựa và 1 con bò, cứ 5 con ngựa thì đổi được 12 con bị. Sau khi đã đổi được một số bị và ngựa, Kỉ nói: “Nếu ta đổi thêm một số bò đúng bằng số ngựa đúng
bằng số ngựa mà ta vừa đổi sẽ được 17 con cả ngựa lẫn bò, nhưng như thế thì ta khơng đủ gà để đổi”. Tị nhận xét: “Nếu ta đổi thêm một số bò đúng bằng số bị mà ta
vừa đổi thì chẳng những ta được 19 con cả ngựa lẫn bò mà số gà đem đi đổi vừa hết.” Nhận xét của hai người đều đúng, bạn hãy tính xem Kỉ và Tị đã mang bao nhiêu gà ra
chợ?
Lời giải. Nếu đổi thêm số ngựa bằng số ngựa đã đổi thì sẽ được 17 con. Nếu đổi thêm số bị đúng bằng số bị đã đổi thì sẽ được 19 con.
Ba lần số ngựa và số bò đã đổi là 17 19 36+ = (con) Số ngựa và bò đã đổi là 36: 3 12= (con) Số ngựa đã đổi là 17 12- =5 (con) Số bò đã đổi là
19 12- =7 (con) 5 con ngựa 5 con bò đổi hết
5 85 425´ = (con gà) 5 con ngựa và 5 con bị có giá trị bằng
5 12 17+ = (con bò) 1 con bò đổi hết
425: 17=25 (con gà) 1 con ngựa đổi hết
85 25 60- = (con gà) Số gà họ mang ra chợ để đổi là
60 5 25 7 2 650´ + ´ ´ = (con gà)
Đáp số: 650 con gà.
Bài 7. Ngày xưa, trong một ngơi đền cổ có 3 vị thần giống hệt nhau. Thần Thật Thà ln nói thật, thần Dối Trá ln nói dối và thần Khơn Ngoan lúc nói thật lúc nói dối. Các vị thần vẫn trả lời câu hỏi của khách đến lễ đền nhưng khơng ai xác định được chính xác các vị thần. Một hơm có một nhà hiền triết từ xa đến thăm đền. Để xác định được các vị thần, ông hỏi thần bên trái :
- Ai ngồi cạnh ngài ? - Đó là thần Thật Thà Ơng hỏi thần ngồi giữa : - Ngài là ai ?
- Ta là thần Khôn Ngoan
Sau cùng ông hỏi thần bên phải : - Ai ngồi cạnh ngài ?
- Đó là thần Dối Trá Nhà hiền triết thốt lên:
- Tôi đã xác định được các vị thần.
Hỏi nhà hiền triết đã suy luận như thế nào ?
Phân tích. Ta thấy cả 3 câu hỏi của học giả đều nhằm xác định một thông tin Thần ngồi giữa là thần gì. Kết quả nhận được câu trả lời:
Thần bên phải là thần Dối Trá
Thần ngồi giữa là thần Khơn Ngoan Thần bên trái là thần Thật Thà.
Vì chỉ có thần Thật Thà ln nói thật nên ta sẽ dựa vào vị thần này để đoán tên của các vị thần cịn lại.
Lời giải. Giả sử ơng ngồi bên trái là thần Thật Thà. Nhưng khi ông khác hỏi ông thần
Thật Thà rằng người cạnh ơng là ai, thì ơng trả lời rằng: đó là thần Thật Thà nên ông này đã nối dối. Suy ra người ngồi bên trái không phải thần Thật Thà.
Xét trường hợp 1: người ngồi bên trái là Dối Trá.
Thần Dối Trá nói người ngồi giữa là thần Thật Thà nhưng do thần Dối Trá ln nói dối nên suy ra sự thật là người ngồi giữa là thần Khôn Ngoan nên suy ra người bên phải là thần Thật Thà. Nhưng vị thần Thật Thà này lại nói người cạnh mình là thần Dối Trá (vơ lý vì ngồi giữa là thần Khơn Ngoan, thần Thật Thà đã nói dối). Vậy loại trường hợp này.
Xét trường hợp 2: người ngồi bên trái là thần Khôn Ngoan.
Nếu người ngồi bên phải là thần Thật Thà suy ra theo lời thần Thật Thà nói, người ngồi giữa là thần Dối Trá nên trường hợp này hợp lí.
thần Thật Thà nhưng ơng ngồi giữa lại nói mình là thần Khơn Ngoan suy ra ơng này đã nói dối (vơ lý vì thần Thật Thà ln nói thật).
Kết luận: thứ tự từ trái sang phải là
Thần Khôn Ngoan, thần Dối Trá, thần Thật Thà.
Bài 8. Một nhóm trẻ chăn trâu trên cánh đồng. Một em trong nhóm hơ: “Lên ngựa,
mỗi vị một con!”. Thế là một em khơng có trâu cưỡi. Phi được một đoạn, một em khác trong bọn lại hô: “Sang ngựa, hai vị một con!” Thế là một trâu khơng có người cưỡi. Hỏi có bao nhiêu trẻ, bao nhiêu trâu?
Lời giải. Sau khi thực hiện hiệu lệnh của em thứ hai “Sang ngựa, hai vị một con” thì
số trâu có người cưỡi bằng một nửa tổng số trâu. Mặt khác, theo đề bài thì lúc này một trâu khơng có người cưỡi. Ta có sơ đồ sau
Số trâu có người cưỡi: 1
Tổng số trâu: Tổng số trâu là
1 2 2´ = (con)
Sau hiệu lệnh thứ nhất, một em khơng có trâu cưỡi. Vậy số trẻ nhiều hơn số trâu là 1. Vậy số trẻ là
2 1 3+ = (em)
Đáp số: có 2 con trâu, 3 trẻ em.
Bài 9. “ Dù đã bị thất bại chua cay, nhưng thỏ vẫn tìm đến thách thức chạy đua với
rùa. Lần này, quãng đường chạy thi dài 100 m. Nhưng vẫn mắc bệnh khốc lác, thỏ nói rằng: “ Tơi sẽ chấp anh 48 m. Trên đoạn đường mà anh chạy, tôi sẽ chạy với vận tốc gấp đơi. Cịn trên đoạn đường cịn lại, tơi sẽ chạy với vận tốc bằng tốc độ của anh”. Nghĩa là thỏ để rùa xuất phát từ điểm cách điểm ban đầu 48 m và trên quãng đường 48 m này thỏ chạy với vận tốc bằng vận tốc của rùa. Nhưng cuối cùng thỏ vẫn thua. Hỏi rùa đã về đích trước thỏ bao nhiêu mét?
Phân tích. Bài tốn này được xây dựng dựa trên câu chuyện ngụ ngơn “Rùa và thỏ”.
Học sinh cần phân tích để làm rõ giả thuyết của bài toán, quãng đường chia làm 2 đoạn, đoạn đầu 48 m, ở đoạn này chỉ có thỏ chạy chứ rùa khơng chạy “Tơi sẽ chấp anh 48 m”. Và tốc độ của thỏ bằng tốc độ của rùa. Ở đoạn đường thứ hai dài 52 m, rùa bắt đầu chạy và vận tốc của thỏ gấp đơi vận tốc của rùa. Cịn trên qng đường còn lại tốc độ của thỏ và rùa là như nhau.
Lời giải. Đoạn đường rùa chạy là
100 48- =52 (m)
Khi thỏ chạy được 52 m thì rùa chạy được một quãng đường bằng một nửa quãng đường của thỏ, tức là
52: 2 26= (m)
Lúc này rùa đã đi được
26 48 74+ = (m) Vậy rùa về đích trước thỏ
74 52 22- = (m)
Bài 10. Sáng nay, ngày hội nhà giáo Việt Nam 20 – 11, các bạn học sinh đến chúc mừng cơ giáo. Bạn Ngọc trong lúc trị chuyện đã hỏi về ngày sinh của cô giáo. Thật thú vị, cô giáo đã trả lời bằng một bài tốn như sau: “Ngày sinh của cơ là một số bằng tích của 3 số tự nhiên khác nhau và khác 1, còn tháng sinh của cô lại bằng tổng của
3 số tự nhiên đó.”
Nghe xong bạn Ngọc hỏi lại : “Cơ ơi! Cách đây một tháng cô chưa tổ chức sinh nhật phải không ạ?”
Cô giáo: “Rất đúng”.
Ngọc vui mừng reo lên: “Ồ, thật là tuyệt vời, em đã biết sinh nhật của cơ rồi” Cịn các bạn? Các bạn có giỏi như bạn Ngọc khơng?
Phân tích. Ta thấy ngày sinh của cơ có thể từ ngày 1 đến ngày 31. Đó là tích 3 số tự