Đối với vấn đề tối ưu hóa được đề xuất, Mesh Adaptive Direct Search (MADS) được sử dụng. Phương pháp này là một thuật tốn lặp lại thực hiện tìm kiếm thích ứng trên tháp các mắt lưới cơ bản trên khơng gian miền cùng với kiểm sốt việc thay đổi kích thước và tinh chỉnh lưới. MADS thuật tốn bao gồm một phương pháp tìm kiếm và thăm dị như trong mỗi bước lặp lại có hai bước được gọi là bước SEARCH và POLL. Mục tiêu của phép lặp MADS là tìm hàm tối thiểu trong số một số điểm thử nghiệm trên một lưới các điểm xác định trước với sự trợ giúp của các bước SEARCH. Trong bước SEARCH, các giải pháp trên các điểm thử nghiệm được tính tốn và so sánh với thời điểm đương nhiệm hiện tại. Nếu có một giải pháp đặt tốt hơn điểm hiện tại được tìm thấy, thì nó sẽ được cập nhật với điểm giải pháp cải tiến mới làm điểm khởi đầu cho lần lặp lại tiếp theo. Nếu bước SEARCH không thành công trong việc tìm kiếm cải tiến giải pháp, sau đó bước POLL được gọi để cố gắng tìm giải pháp với các thơng số mới của nó. Nếu POLL cũng khơng thành cơng trong việc tìm ra giải pháp cải tiến, lần lặp lại sai đó được gọi là một lần lặp không thành công. Lưới được xác định lại bằng cách giảm kích thước và do đó tăng độ phân giải, và tồn bộ q trình được lặp lại. Mã giả của thuật toán được đưa ra trong h3.2. Bốn bước chính của thuật tốn, khởi tạo, SEARCH step, POLL step, cập nhật tham số, được giải thích chi tiết dưới đây
3.3.1. Khởi tạo
Lặp lại được khởi tạo cho trước 𝑥0 ∈ Ω, Ω là miền không gian và 𝑥0 là giá trị khởi tạo ban đầu. Kích thước lưới, kích thước thăm dị và bộ hướng cũng được xác định trong bước này.
Điểm dùng thử sẽ là một trong số điểm của lưới 𝑀𝑘 hiện tại được xây dựng với sự giúp định hướng D ⸦ 𝑅𝑛 -> R ∪ {+∞} có hữu hạn số hướng 𝑛𝐷được chia tỷ lệ bằng một tham số kích thước mắt lưới Δ𝑚𝑘 𝜖 𝑅+. Lưới không thực sự được xây dựng mà chỉ là lớp phủ thuật toán MADS :
𝑀𝑘 = ⋃𝑥𝜖 𝑆
𝑘 { 𝑥+ △𝑘𝑚𝐷𝑧 } z 𝜖 𝑁𝑛𝐷 (3.16) Trong đó 𝑆𝑘 là tập hợp các diểm tại đó hàm mục tiêu f đã được đánh giá khi bắt đầu lần lặp đầu tiên
3.3.2. Bước SEARCH
Sau khi được khởi tạo, bước tìm kiếm cố gắng theo dõi một chức năng f tối thiểu hơn bằng cách đánh giá f tại một số điểm thử nghiệm. Tại mỗi lần lặp, thuật toán tạo ra một số lượng hữu hạn điểm thử. Trong số những thử nghiệm này, những điểm khơng khả thi thì loại bỏ, và những điểm khả thi thì được xem xét. Mục tiêu các giá trị hàm tại các điểm thử khả thi được so sánh với giá trị hiện tại 𝑓Ω(𝑥𝑘), tức là mục đích cuối cùng của hàm là tìm được các điểm mà tại đó giá trị của hàm là tốt nhất. Ý tưởng giống như thuật tốn Generalized Pattern Search (GPS) có thể được sử dụng trong bước tìm kiếm để tạo ra các điểm. Khi lưới cải tiến được tìm thấy, tùy thuộc vào người dùng để tiếp tục tìm kiếm thêm điểm giải pháp được cải thiện hoặc dừng thuộc toán. Trong cả hai trường
Hình 3.2. Lưu đồ thuật tốn Mesh Adaptive Direct Search (MADS)
hợp lặp tiếp theo sẽ được bắt đầu với điểm giải pháp được cải tiến mới 𝑥𝑘+1 ∈ Ω. Như vậy 𝑓Ω(𝑥𝑘+1) < 𝑓Ω(𝑥𝑘) với thơng số kích thước mắt lưới ∆𝑘+1𝑚 lớn hơn hoặc bằng ∆𝑘𝑚.