Khơng giống như các kỹ thuật tối ưu hóa truyền thống u cầu thơng tin đạo hàm cấp một hoặc cao hơn để đạt được giải pháp tối ưu, thuật tốn MADS có khả năng giải quyết một vấn đề lập trình phi tuyến mà khơng u cầu thơng tin về gradient của hàm mục tiêu. MADS, sử dụng phương pháp tiếp cận cực hạn với các ràng buộc, bằng cách coi hàm mục tiêu là vô hạn đối với các điểm không khả thi và coi vấn đề là vấn đề lập trình khơng bị ràng buộc, do đó làm giảm độ phức tạp tính tốn của nó. Giải pháp tối ưu tồn bộ có thể đạt được thuật tốn tìm kiếm tận cùng (ESA) nhưng độ phức tạp của nó tăng lên theo cấp số nhân khi số lượng người dùng trong mạng tăng lên. Xét C biểu thị độ phức tạp của một thuật toán và N là số người dùng hơn mức độ phức tạp của ESA được đưa ra:
C = 22𝑁 (3.18)
Nhưng với MADS, ε – giải pháp tối ưu có thể đạt được trong số lần lặp lại hữu hạn . MADS hội tụ với số lần lặp lại hữu hạn với sự độc lập của kiến thức điểm ban đầu và gradient của hàm mục tiêu. Độ phức tạp của MADS được đưa :
C = 𝑁
2
𝑣 (3.19)
Trong đó v là khả năng chịu lỗi của ε – giải pháp tối ư từ giải pháp tối ưu từ giải pháp toàn cầu. Tương tự, độ phức tạp của OAA được đưa ra bởi:
C = 𝑁
2𝜔
Trong đó w – biểu thị số lượng các ràng buộc. Độ phức tạp của OAA là số lượng các ràng buộc cao hơn gấp nhiều lần so với độ phức tạp của MADS. Xu hướng phức tạp tính tốn của ESA, MADS và OAA được trình bày trong hình 3.3
3.4.1. Phân tích hội tụ của MADS
Trong [21], đã trình bày đầy đủ về sự hội tụ của MADS. Thuật toán hội tụ đến điểm 𝑥̂ điểm trên khơng gian, nơi nó thỏa mãn tất cả các điều kiện tối ưu cục bộ. Sự hội tụ của MADS không phụ thuộc vào điểm bắt đầu 𝑥0 mà hồn tồn phụ thuộc vào các đặc tính cục bộ của các hàm mục tiêu và ràng buộc. Trong thuật tốn, giả định rằng có ít nhất một điểm bắt đầu trong X được đưa ra, có thể có hoặc có thể khơng kiểm chế trong không gian miền khả thi Ω và tất cả các lần lặp là từ một tập hợp nhỏ gọn. Nếu khơng có sẵn thơng tin nào về hàm mục tiêu f thì 𝑥̂ có thể được coi là giới hạn cho trình tối ưu hóa cục bộ cho các mắt lưới tinh vơ hạn. Lời giải kết quả được gọi là kết quả bậc 0. Nếu tại 𝑥̂, siêu tiếp tuyến của hình nón trong miền khơng trống và f là Lipschitz gần 𝑥̂, thì tại 𝑥̂, đạo hàm có hướng tổng quát của Clarkes của f theo tất cả các hướng trong hình nón tiếp tuyến Clarke là khơng âm.
Hình 3.3. Độ phức tạp tính tốn của ESA, MADS và OAA so với số lượng người dùng
CHƯƠNG IV
KẾT QUẢ VÀ PHÂN TÍCH